Hier lernst du, dass ein Bruch der Anteil an einer Zahl ist.
Hier lernst du, dass ein Bruch der Anteil an einer Zahl ist.
Was ist ein Bruch?
Du kannst Schokoladentafeln in einzelne Teilstücke zerbrechen, Längen in Teillängen unterteilen, Zeitspannen in kleinere Zeitspannen usw.
Aber kannst du auch Zahlen zerbrechen?
dass ein Bruch einen Anteil an einer Zahl angeben kann,
was das mit Division und Multiplikation zu tun hat und
wie du die Zahl 1 "zerbrechen" kannst.
Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an, und zwar als Anzahl gleich großer Anteile an einem Ganzen:
Die Angabe "\frac23 Schokoladentafel" umfasst 2 von 3 gleich großen Anteilen an einer Schokoladentafel.
Aber kannst du auch Anteile an Zahlen angeben? Was ist zum Beispiel \frac14 der Zahl 20?
Natürliche Zahlen kannst du dir als Anzahl von etwas vorstellen. Die natürliche Zahl 20 also zum Beispiel als "20 Lollis":
20 Lollis kannst du leicht in 4 gleiche Anteile unterteilen. Jeder der 4 (gleich großen) Anteile an den 20 Lollis umfasst 5 Lollis.
Ein Viertel von 20 Lollis sind also 5 Lollis: \frac14 von 20 Lollis = 5 Lollis
/Das "Ganze" waren hier die 20 Lollis.
Was haben wir mit dem "Ganzen" gemacht? Wir haben es in 4 gleiche Anteile geteilt.
Die Darstellung der Lollis war nur eine Hilfe, um sich die natürliche Zahl 20 leichter vorzustellen.
Eigentlich haben wir die natürliche Zahl 20 in 4 gleiche Anteile geteilt, also \frac14 von 20=5
Fällt dir was auf? \frac14 von 20 ist genauso viel wie 20:4.
/
Ein Bruch mit dem Zähler 1 heißt einfacher Bruch oder Stammbruch.
Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen einfachen Bruch ist eine andere Schreibweise für die Division mit dem Nenner:
\frac13\ 12=12:3=4
\frac14\ 20=20:4=5
\frac110\ 100=100:10=10
Was erhalten wir, wenn wir nicht nur einen von 4 gleichen Anteilen an 20 nehmen, sondern gleich 3?
Schauen wir es uns mit der Lolli-Hilfe an:
Unterteile die 20 Lollis wieder in 4 gleiche Anteile. Fasse dann 3 dieser Anteile zusammen. 3 der 4 gleichen Anteile an den 20 Lollis umfassen also zusammen 15 Lollis. Es gilt: \frac34 von 20 Lollis = 15 Lollis.
Fällt dir wieder was auf? \frac34 von 20 ist genauso viel wie 20:4⋅3,
also 20 geteilt durch den Nenner und multipliziert mit dem Zähler des Bruchs.
/
Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen Bruch ist eine andere Schreibweise für
die Division mit dem Nenner und
der (anschließende) Multiplikation mit dem Zähler:
\frac23\ 12=(12:3) ⋅2=8
\frac34\ 20=(20:4) ⋅3=15
\frac510\ 100=(100:10) ⋅5=50
(Die Klammern sind eigentlich unnötig. Sie sollen nur den Rechenweg deutlicher machen.)
"Division?", könntest du jetzt fragen. "War da nicht irgendwas mit Teilbarkeit und so?"
Muss also die Zahl durch den Nenner teilbar sein, damit man den Anteil angeben kann?
Was ist zum Beispiel \frac25 von 2
oder gar \frac13 von 1 ?
Schließlich ist die 2 nicht durch 5 ohne Rest teilbar, und die 1 durch 3 schon gar nicht?
Wir können ja auch nicht einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele (ganze) Lollis bekommt.
Richtig!
Solange wir nur mit natürlichen Zahlen (oder nur mit ganzen Zahlen) arbeiten, können wir nicht angeben, wie viel \frac13 von 1 ist. Die 1 ist nicht in kleinere natürliche (oder ganze) Zahlen unterteilbar.
Anders gesagt: Wir können nicht einen einzigen Lolli auf mehrere Kinder zu gleichen Teilen aufteilen.
Ja, weil wir die Schokoladentafel in mehrere, gleich große Stücke zerbrochen haben.
Wenn du einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen willst, dass jedes Kind gleich viel bekommt, musst du den Lolli zerbrechen. Weil das mit einem Lolli sehr schwer ist, machen wir das mit einem Kreis:
Der ausgefüllte Kreis stellt eine 1 dar. Der Kreis wird in so viele gleiche Stücke zerbrochen, wie im Nenner angegeben ist. Jedes Stück stellt ein Drittel einer 1 dar. Das dunkelgrüne Stück umfasst also \frac13 einer 1.
Auf die gleiche Weise kannst du auch alle weiteren Bruch-Anteile an einer 1 darstellen:
Der ausgefüllte Kreis stellt wieder als Ganzes eine 1 dar. Für den Anteil \frac15 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente. Jedes Segment stellt \frac15 des ganzen Kreises dar, also \frac15 einer 1. Für den Anteil \frac18 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 8 Segmente. Jedes Segment stellt \frac18 einer 1 dar. Für den Anteil \frac34 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 4 Segmente. Die drei hervorgehobenen Segmente stellen zusammen \frac34 einer 1 dar. Für den Anteil \frac12 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 2 Segmente. Ein Segment stellt \frac12 des ganzen Kreises dar, also die Hälfte einer 1. Für den Anteil \frac36 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 6 Segmente. Ein Segment stellt \frac36 des Kreises dar, also wieder die Hälfte einer 1. Für den Anteil \frac55 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente. Alle Segmente zusammen stellen \frac55 des Kreises dar, also die ganze 1.
Bisher haben wir immer mit angegeben, von welchem Ganzen ein Bruch den Anteil angibt:
\frac16 an einer Schokoladentafel
\frac34 an der Zahl 20
\frac13 an einem Kreis
\frac13 an einer 1
Zumindest letzteres wollen wir noch etwas vereinfachen.
Wenn wir mit einem Bruch einen Anteil an einer 1 angeben wollen, schreiben wir nur den Bruch ohne Angabe des Ganzen.
Umgekehrt bezieht sich ein bloßer Bruch (also ohne die Angabe eines Ganzen) immer auf eine 1 als Ganzes.
Statt \frac34 an einer 1 schreiben wir nur \frac34.
Der Ausdruck \frac13 meint immer \frac13 an einer 1.
Und der Ausdruck \frac13=\frac26 meint, dass der Anteil \frac13 an einer 1 ein gleich großer Anteil an einer 1 ist wie der Anteil \frac26 an einer 1.
Puh, das war nicht einfach! Jetzt hättest du sicher mindestens \frac16 Schokoladentafel als Belohnung, oder?
Hier lernst du, dass ein Bruch der Anteil an einer Zahl ist.
Was ist ein Bruch?
Du kannst Schokoladentafeln in einzelne Teilstücke zerbrechen, Längen in Teillängen unterteilen, Zeitspannen in kleinere Zeitspannen usw.
///
Aber kannst du auch Zahlen zerbrechen?
dass ein Bruch einen Anteil an einer Zahl angeben kann,
was das mit Division und Multiplikation zu tun hat und
Wie heißen die Bestandteile dieses Bruchs?
set originx=8 originy=7;
paint text value="3" x=0 y=-1 align=center valign=bottom;
paint line x=-2 y=0 x2=2 y2=0;
paint text value="7" x=0 y=0 align=center valign=top;
text="Die 3 ist der Zähler." correct;
text="Die 7 ist der Zähler.";
text="Die 7 ist der Nenner." correct;
text="Zwischen Zähler und Nenner ist der Bruchstrich." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Bruchzahlen sind dargestellt? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken
///
Wie heißen die Zahlen in einer Division?
///
1. Faktor, 2. Faktor und Produkt
Dividend, Divisor und Quotient
1. Summand, 2. Summand und Summe
Minuend, Subtrahend und Differenz
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an, und zwar als Anzahl gleich großer Anteile an einem Ganzen:
set originx=6 originy=4;
// ganze Schokolade
write value="Die Angabe ,,$\frac{2}{3}$ Schokoladentafel'' umfasst 2 von 3 gleich großen Anteilen an einer Schokoladentafel.";
// Spaltenzerlegung
groupstart id=ch6;
paint id=ch6_11 chocolatebar x=0 y=0 rows="1,1,1,1" width=10;
paint id=ch6_12 chocolatebar x=10 y=0 rows="1,1,1,1" width=10;
paint id=ch6_13 chocolatebar x=20 y=0 rows="1,1,1,1" width=10;
paint id=ch6_14 chocolatebar x=30 y=0 rows="1,1,1,1" width=10;
paint id=ch6_15 chocolatebar x=40 y=0 rows="1,1,1,1" width=10;
paint id=ch6_16 chocolatebar x=50 y=0 rows="1,1,1,1" width=10;
groupend;
delay=10;
// Zweidritteln
transform id=ch6_11 mdx=-2; transform id=ch6_12 mdx=-2;
transform id=ch6_15 mdx=2 ; transform id=ch6_16 mdx=2;
delay=4000;
transform id=ch6_11 mdx=2; transform id=ch6_12 mdx=2;
transform id=ch6_15 mdx=-2 ; transform id=ch6_16 mdx=-2;
//transform id=ch6_13 opacity=0.3; transform id=ch6_14 opacity=0.3;
transform id=ch6_15 opacity=0.3; transform id=ch6_16 opacity=0.3;
delay=2000;
wait button="Von vorne!";
//transform id=ch6_13 opacity=1; transform id=ch6_14 opacity=1;
transform id=ch6_15 opacity=1; transform id=ch6_16 opacity=1;
delay=1000;
repeat;
Aber kannst du auch Anteile an Zahlen angeben?
Was ist zum Beispiel $\frac{1}{4}$ der Zahl 20?
///
Natürliche Zahlen kannst du dir als Anzahl von etwas vorstellen.
Die natürliche Zahl 20 also zum Beispiel als ,,20 Lollis'':
set originx=40 originy=20;
paint ellipse id=e1 x=-30 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint ellipse id=e2 x=-10 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint ellipse id=e3 x=10 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint ellipse id=e4 x=30 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint lolli id=l1 x=20 y=10 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l2 x=-10 y=-4 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l3 x=10 y=-8 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l4 x=-6 y=4 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l5 x=-8 y=-7 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l6 x=-26 y=8 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l7 x=14 y=0 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l8 x=24 y=9 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l9 x=8 y=0 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l10 x=-14 y=-2 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l11 x=12 y=2 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l12 x=-12 y=-9 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l13 x=18 y=7 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l14 x=-4 y=0 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l15 x=-16 y=11 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l16 x=22 y=6 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l17 x=2 y=-6 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l18 x=-24 y=3 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l19 x=-20 y=-10 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l20 x=6 y=-11 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
delay=2000;
write value="20 Lollis kannst du leicht in 4 gleiche Anteile unterteilen.";
transform id=l6 mx=-7 my=-3;
transform id=l10 mx=-15 my=3;
transform id=l15 mx=-15 my=-8;
transform id=l18 mx=-8 my=-3;
transform id=l19 mx=-10 my=8;
delay=2000;
transform id=l1 mx=12 my=-7;
transform id=l7 mx=15 my=-5;
transform id=l8 mx=4 my=-12;
transform id=l13 mx=13 my=-8;
transform id=l16 mx=6 my=-5;
delay=2000;
transform id=l2 mx=-2 my=3;
transform id=l4 mx=-4 my=-2;
transform id=l5 mx=-1 my=6;
transform id=l14 mx=-7 my=1;
transform id=l12 mx=1 my=7;
delay=2000;
transform id=l3 mx=-3 my=5;
transform id=l9 mx=2 my=3;
transform id=l11 mx=-2 my=-1;
transform id=l20 mx=8 my=7;
transform id=l17 mx=9 my=4;
delay=2000;
transform id=e1 opacity=0.2;
transform id=e2 opacity=0.2;
transform id=e3 opacity=0.2;
transform id=e4 opacity=0.2;
write value="Jeder der 4 (gleich großen) Anteile an den 20 Lollis umfasst 5 Lollis.";
repeat button;
Ein Viertel von 20 Lollis sind also 5 Lollis:
///
$\frac{1}{4}$ von 20 Lollis $=$ 5 Lollis
////
Das ,,Ganze'' waren hier die 20 Lollis.
///
///
Was haben wir mit dem ,,Ganzen'' gemacht?
Wir haben es in 4 gleiche Anteile geteilt.
Die Darstellung der Lollis war nur eine Hilfe, um sich die natürliche Zahl 20 leichter vorzustellen.
///
Eigentlich haben wir die natürliche Zahl 20 in 4 gleiche Anteile geteilt, also
///
$\frac{1}{4}$ von $20=5$
///
Fällt dir was auf?
///
$\style[bold]{\frac{1}{4}}$ von 20 ist genauso viel wie $\style[bold]{20:4}$.
////
Ein Bruch mit dem Zähler 1 heißt einfacher Bruch oder Stammbruch.
///
Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen einfachen Bruch
ist eine andere Schreibweise für die Division mit dem Nenner:
set originy=10 originx=5;
paint text align=center x=8 y=-2 value="1" opacin;
paint line x=0 y=0 x2=16 y2=0 opacin;
paint text align=center x=8 y=5 value="Nenner" opacin;
paint text valign=middle x=17 y=0 value="Zahl" opacin;
paint latex valign=middle x=27 y=0 value="=" opacin;
paint text valign=middle x=33 y=0 value="Zahl" opacin;
paint latex valign=middle x=43 y=0 value=":" opacin;
paint text valign=middle x=46 y=0 value="Nenner" opacin;
$\frac{1}{3}\ 12=12:3=4$
$\frac{1}{4}\ 20=20:4=5$
$\frac{1}{10}\ 100=100:10=10$
Was erhalten wir, wenn wir nicht nur einen von 4 gleichen Anteilen an 20 nehmen, sondern gleich 3?
///
Schauen wir es uns mit der Lolli-Hilfe an:
set originx=40 originy=20;
paint ellipse id=e1 x=-30 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint ellipse id=e2 x=-10 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint ellipse id=e3 x=10 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint ellipse id=e4 x=30 y=0 r=8 fill=green color=none opacity=0.001;
paint ellipse id=e5 x=-10 y=0 rx=29 ry=17 fill=green color=none opacity=0.001;
paint lolli id=l1 x=20 y=10 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l2 x=-10 y=-4 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l3 x=10 y=-8 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l4 x=-6 y=4 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l5 x=-8 y=-7 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l6 x=-26 y=8 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l7 x=14 y=0 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l8 x=24 y=9 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l9 x=8 y=0 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l10 x=-14 y=-2 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l11 x=12 y=2 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l12 x=-12 y=-9 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l13 x=18 y=7 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l14 x=-4 y=0 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l15 x=-16 y=11 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l16 x=22 y=6 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l17 x=2 y=-6 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l18 x=-24 y=3 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l19 x=-20 y=-10 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
paint lolli id=l20 x=6 y=-11 rotate=random flyin=north transition=0.2s;
delay=2000;
write value="Unterteile die 20 Lollis wieder in 4 gleiche Anteile.";
transform id=l6 mx=-7 my=-3;
transform id=l10 mx=-15 my=3;
transform id=l15 mx=-15 my=-8;
transform id=l18 mx=-8 my=-3;
transform id=l19 mx=-10 my=8;
delay=2000;
transform id=l1 mx=12 my=-7;
transform id=l7 mx=15 my=-5;
transform id=l8 mx=4 my=-12;
transform id=l13 mx=13 my=-8;
transform id=l16 mx=6 my=-5;
delay=2000;
transform id=l2 mx=-2 my=3;
transform id=l4 mx=-4 my=-2;
transform id=l5 mx=-1 my=6;
transform id=l14 mx=-7 my=1;
transform id=l12 mx=1 my=7;
delay=2000;
transform id=l3 mx=-3 my=5;
transform id=l9 mx=2 my=3;
transform id=l11 mx=-2 my=-1;
transform id=l20 mx=8 my=7;
transform id=l17 mx=9 my=4;
delay=2000;
transform id=e1 opacity=0.2;
transform id=e2 opacity=0.2;
transform id=e3 opacity=0.2;
transform id=e4 opacity=0.2;
wait delay=6000;
write clear value="Fasse dann 3 dieser Anteile zusammen.";
transform id=e5 opacity=0.2;
wait delay=8000;
write clear value="3 der 4 gleichen Anteile an den 20 Lollis umfassen also zusammen 15 Lollis." delay=3000;
write value="Es gilt: $\frac{3}{4}$ von 20 Lollis $= 15$ Lollis.";
repeat button;
Fällt dir wieder was auf?
///
$\style[bold]{\frac{3}{4}}$ von 20 ist genauso viel wie $\style[bold]{20:4\cdot3}$,
///
also 20 geteilt durch den Nenner und multipliziert mit dem Zähler des Bruchs.
////
Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen Bruch
ist eine andere Schreibweise für
die Division mit dem Nenner und
der (anschließende) Multiplikation mit dem Zähler:
set originy=10 originx=5;
paint text align=center x=8 y=-2 value="Zähler" opacin;
paint line x=0 y=0 x2=16 y2=0 opacin;
paint text align=center x=8 y=5 value="Nenner" opacin;
paint text valign=middle x=17 y=0 value="Zahl" opacin;
paint latex valign=middle x=27 y=0 value="=" opacin;
paint text valign=middle x=33 y=0 value="Zahl" opacin;
paint latex valign=middle x=43 y=0 value=":" opacin;
paint text valign=middle x=46 y=0 value="Nenner" opacin;
paint latex valign=middle x=62 y=0 value="\cdot" opacin;
paint text valign=middle x=66 y=0 value="Zähler" opacin;
$\frac{2}{3}\ 12=(12:3) \cdot2=8$
$\frac{3}{4}\ 20=(20:4) \cdot3=15$
$\frac{5}{10}\ 100=(100:10) \cdot5=50$
(Die Klammern sind eigentlich unnötig. Sie sollen nur den Rechenweg deutlicher machen.)
,,Division?'', könntest du jetzt fragen.
,,War da nicht irgendwas mit Teilbarkeit und so?''
///
Muss also die Zahl durch den Nenner teilbar sein, damit man den Anteil angeben kann?
///
Was ist zum Beispiel
///
$\frac{2}{5}$ von $2$
///
oder gar
///
$\frac{1}{3}$ von $1$ ?
///
Schließlich ist die 2 nicht durch 5 ohne Rest teilbar, und die 1 durch 3 schon gar nicht?
///
Wir können ja auch nicht einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele (ganze) Lollis bekommt.
///
Richtig!
///
Solange wir nur mit natürlichen Zahlen (oder nur mit ganzen Zahlen) arbeiten,
können wir nicht angeben, wie viel $\frac{1}{3}$ von 1 ist.
Die 1 ist nicht in kleinere natürliche (oder ganze) Zahlen unterteilbar.
///
Anders gesagt: Wir können nicht einen einzigen Lolli auf mehrere Kinder zu gleichen Teilen aufteilen.
///
///
Ja, weil wir die Schokoladentafel in mehrere, gleich große Stücke zerbrochen haben.
///
Wenn du einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen willst, dass jedes Kind gleich viel bekommt,
musst du den Lolli zerbrechen.
Weil das mit einem Lolli sehr schwer ist, machen wir das mit einem Kreis:
set originx=40 originy=20;
write clear value="Der ausgefüllte Kreis stellt eine 1 dar.";
paint id=fp1 fracpie x=0 y=0 r=15 int=1 opacin;
wait delay;
write clear value="Der Kreis wird in so viele gleiche Stücke zerbrochen, wie im Nenner angegeben ist.";
paint id=arc1 arcsegment x=0 y=0 r=15 alpha1=120 alpha2=0 color=black fill=green;
paint id=arc2 arcsegment x=0 y=0 r=15 alpha1=240 alpha2=120 color=black fill=green;
paint id=arc3 arcsegment x=0 y=0 r=15 alpha1=360 alpha2=240 color=black fill=green;
delete id=fp1;
delay=10;
transform id=arc1 mdx=1.2 mdy=-1;
transform id=arc2 mdx=0 mdy=1;
transform id=arc3 mdx=-1.2 mdy=-1;
wait delay;
write clear value="Jedes Stück stellt ein Drittel einer 1 dar.";
paint id=arc2a arcsegment x=0 y=1 r=15 alpha1=240 alpha2=120 color=black fill=lightgreen opacin;
paint id=arc3a arcsegment x=-1.2 y=-1 r=15 alpha1=360 alpha2=240 color=black fill=lightgreen opacin;
delete id=arc2; delete id=arc3;
wait delay;
write clear value="Das dunkelgrüne Stück umfasst also $\frac{1}{3}$ einer 1.";
transform id=arc1 mdx=-1.2 mdy=1;
transform id=arc2a mdx=0 mdy=-1;
transform id=arc3a mdx=1.2 mdy=1;
repeat button;
Auf die gleiche Weise kannst du auch alle weiteren Bruch-Anteile an einer 1 darstellen:
set originx=40 originy=20;
write clear value="Der ausgefüllte Kreis stellt wieder als Ganzes eine 1 dar.";
paint id=fp1 fracpie x=0 y=0 r=15 int=1;
wait delay;
// ein Fünftel
write clear value="Für den Anteil $\frac{1}{5}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente.";
paint id=fp2 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=5 num=5 opacin;
wait delay;
write clear value="Jedes Segment stellt $\frac{1}{5}$ des ganzen Kreises dar, also $\frac{1}{5}$ einer 1.";
paint id=fp3 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=5 num=1 opacin;
wait delay;
delete id=fp2; delete id=fp3 opacout;
// ein Achtel
write clear value="Für den Anteil $\frac{1}{8}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 8 Segmente.";
paint id=fp2 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=8 num=8 opacin;
wait delay;
write clear value="Jedes Segment stellt $\frac{1}{8}$ einer 1 dar.";
paint id=fp3 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=8 num=1 opacin;
wait delay;
delete id=fp2; delete id=fp3 opacout;
// drei Viertel
write clear value="Für den Anteil $\frac{3}{4}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 4 Segmente.";
paint id=fp2 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=4 num=4 opacin;
wait delay;
write clear value="Die drei hervorgehobenen Segmente stellen zusammen $\frac{3}{4}$ einer 1 dar.";
paint id=fp3 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=4 num=3 opacin;
wait delay;
delete id=fp2; delete id=fp3 opacout;
// ein Halb
write clear value="Für den Anteil $\frac{1}{2}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 2 Segmente.";
paint id=fp2 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=2 num=2 opacin;
wait delay;
write clear value="Ein Segment stellt $\frac{1}{2}$ des ganzen Kreises dar, also die Hälfte einer 1.";
paint id=fp3 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=2 num=1 opacin;
wait delay;
delete id=fp2; delete id=fp3 opacout;
// drei Sechstel
write clear value="Für den Anteil $\frac{3}{6}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 6 Segmente.";
paint id=fp2 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=6 num=6 opacin;
wait delay;
write clear value="Ein Segment stellt $\frac{3}{6}$ des Kreises dar, also wieder die Hälfte einer 1.";
paint id=fp3 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=6 num=3 opacin;
wait delay;
delete id=fp2; delete id=fp3 opacout;
// drei Sechstel
write clear value="Für den Anteil $\frac{5}{5}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente.";
paint id=fp2 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=5 num=5 opacin;
wait delay;
write clear value="Alle Segmente zusammen stellen $\frac{5}{5}$ des Kreises dar, also die ganze 1.";
paint id=fp3 fracpie x=0 y=0 r=15 denom=5 num=5 opacin;
wait delay button="Von vorne!";
delete id=fp2; delete id=fp3 opacout;
repeat;
Bisher haben wir immer mit angegeben, von welchem Ganzen ein Bruch den Anteil angibt:
$\frac{1}{6}$ an einer Schokoladentafel
$\frac{3}{4}$ an der Zahl 20
$\frac{1}{3}$ an einem Kreis
$\frac{1}{3}$ an einer 1
///
Zumindest letzteres wollen wir noch etwas vereinfachen.
Wenn wir mit einem Bruch einen Anteil an einer 1 angeben wollen, schreiben wir nur den Bruch ohne Angabe des Ganzen.
///
Umgekehrt bezieht sich ein bloßer Bruch (also ohne die Angabe eines Ganzen) immer auf eine 1 als Ganzes.
Statt $\style[bold]{\frac{3}{4}}$ an einer 1 schreiben wir nur $\style[bold]{\frac{3}{4}}.$
Der Ausdruck $\style[bold]{\frac{1}{3}}$ meint immer $\style[bold]{\frac{1}{3}}$ an einer 1.
Und der Ausdruck $\style[bold]{\frac{1}{3}=\frac{2}{6}}$ meint,
dass der Anteil $\style[bold]{\frac{1}{3}}$ an einer 1 ein gleich großer Anteil an einer 1 ist wie der Anteil $\style[bold]{\frac{2}{6}}$ an einer 1.
Rechne aus:
$\frac{1}{#$zbr2_1_1a#}$ von #$zbr2_1_1c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_2a#}$ von #$zbr2_1_2c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_3a#}$ von #$zbr2_1_3c# $=$$:$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus:
$\frac{#$zbr2_2_1d#}{#$zbr2_2_1a#}$ von #$zbr2_2_1c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_2d#}{#$zbr2_2_2a#}$ von #$zbr2_2_2c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_3d#}{#$zbr2_2_3a#}$ von #$zbr2_2_3c# $=($$:$$) \cdot$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Brüche sind dunkel dargestellt? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken:
///
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=4 num=3;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=6 num=1;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=3 num=3;
/// /_
/// /_
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
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Für Lehrerinnen und Lehrer
Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!
Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen
aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“
erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen
Buchstaben-Zahlen-Code und einen Direktlink. Beides können Sie ausdrucken,
Ihren Schülerinnen und Schülern zumailen oder auch einfach nennen.
Mit dem Lerncode oder dem Link fügen Ihre Schülerinnen und Schüler die ausgewählten Lernthemen ihren Lernplänen hinzu.
Ihre Lernthemen-Auswahl:
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Martin Hoos
Hohenzollernring 31
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Tel. +49 40 22854429
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Verantwortlicher gemäß § 55 Abs. 2 RStV:
Martin Hoos
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