Punktabstände und Streckenlängen abzählen

Hier lernst du: wie du die Abstände von Punkten durch Abzählen ,,misst'' und was eine Längeneinheit ist.

Punktabstände und Streckenlängen abzählen

Was bedeutet es eigentlich, wenn man sagt: "Diese Strecke ist $5\cm$ lang", oder "Die zwei Bälle sind 5 Schritte voneinander entfernt"? Du hast ähnliche Formulierungen sicher schon ganz oft verwendet. Aber kannst du auch erklären, was sie genau bedeuten? Hier lernst du:

wie du die Abstände von Punkten durch Abzählen "misst" und
was eine Längeneinheit ist.

Was bedeutet die Aussage: "Die Strecke ist $6\cm$ lang"? Sieh dir die Animation an: "Eine Strecke ist $6\cm$ lang" bedeutet also: "Die Strecke ist so lang wie 6 aneinandergelegte Strecken, die jede 1 cm lang sind." Die 1 cm langen Strecken sind Einheitsstrecken, mit denen du die Gesamtstrecke ausmisst. Die Angabe einer Streckenlänge besteht immer aus

einer Maßzahl (das ist die Anzahl gleich langer Einheitsstrecken, die zusammen die Gesamtstrecke ergeben), und

einer Maßeinheit (das ist die Angabe der Einheitsstrecke).

Eine Längenangabe ist immer Maßzahl mal Maßeinheit, also das Produkt von Maßzahl und Maßeinheit. Die Längenangabe//$|s|=6\cm$
wäre dann die Kurzform für: //$|s|=6\cdot(1\cm)$. Sprich: "Die Länge der Strecke $s$ ist das 6-fache der Länge einer 1-cm-Einheitsstrecke." Rechnungen mit Maßangaben kannst du mit Hilfe der Rechenregeln auflösen, indem du die Maßeinheit als Platzhalter betrachtest:

$4\cdot5\cm=4\cdot(5\cm)=(4\cdot5)\cm=20\cm$ (Assoziativgesetz)
$4\cm+5\cm=(4\cm)+(5\cm)=(4+5)\cm=9\cm$ (Distributivgesetz)

Längenangaben mit Karopapier

Es gibt unterschiedliche Einheitsstrecken. Auch die Länge einer Karoseite von Karopapier kannst du als Einheitsstrecke nutzen. Die Länge einer Strecke auf Karopapier gibst du dann in "Karoseitenlängen" oder kurz: in "Karos" an. Dazu musst du nur die Karos zählen:Die Strecke $s$ ist 8 Karos lang. Bestimme nun selbst die Länge der Strecke $t$! Die Strecke $s$ ist 8 Karos lang. Die Strecke $t$ ist 4 Karos lang. Damit du die Länge einer Strecke in Karos abzählen kannst, muss die Strecke genau entlang der Linien des Karopapiers verlaufen, also nicht schräg dazu! Sieh dir die Strecken an. Die Längen welcher Strecken kannst du direkt (in Karos) abzählen? Die Längen der Strecken $a$, $b$ und $d$ kannst du abzählen. Die Längen der Strecken $c$ und $e$ kannst du nicht abzählen. Sie verlaufen schräg zu den Karoseiten. Ein Karo auf Karopapier ist in der Regel fünf Millimeter (also einen halben Zentimeter) hoch und breit. Die Einheitsstrecke "1 Karo" entspricht also der Einheitsstrecke "$5\mm$"://$1\text{ Karo}=5\mm$ Und beide entsprechen dem Fünffachen der Einheitsstrecke "$1\mm$"://$1\text{ Karo}=5\cdot(1\mm)$//$5\mm=5\cdot(1\mm)$ Streckenlängen, die du in "Karos" abgezählt hast, kannst du damit leicht auch in den Längeneinheiten "Millimeter" oder "Zentimeter" angeben. Zum Umrechnen von Streckenlängen in andere Längeneinheiten musst du die Angabe der Einheitsstrecke austauschen. Schreibe zum Beispiel:

	$\|s\|=10\text{ Karos}$
$\Leftrightarrow$	$\|s\|=10\cdot(1\text{ Karo})$	Maßeinheit durch Einheitsstrecke ersetzen
$\Leftrightarrow$	$\|s\|=10\cdot(5\mm)$	Einheitsstrecke austauschen
$\Leftrightarrow$	$\|s\|=(10\cdot5)\mm$	Maßeinheit ausklammern
$\Leftrightarrow$	$\|s\|=50\mm$	ausrechnen

Schrittlängen und Schuhlängen

Größere Abstände zweier Punkte kannst du mit Schritten oder Schuhlängen ausmessen. Zähle dazu ab, wie viele Schritte (oder Schuhlängen) du auf der kürzesten Verbindungslinie von einem Punkt zum anderen brauchst. Wenn du den Abstand zwischen zwei Punkten mit Schritten abmessen willst, musst du darauf achten, dass

deine Schritte ungefähr gleich lang sind und
du die kürzeste Verbindungslinie zwischen den Punkten abschreitest (also die geometrische Strecke zwischen den Punkten).

Du sagst dann zum Beispiel: "Die Strecke bis zum Ziel ist 20 Schritte lang", oder: "Der Abstand zwischen den beiden Bällen ist 7 Schuhlängen." Geraden und Halbgeraden Kreise und Kreisbögen Schnittpunkte Punktabstände und Streckenlängen messen