Abstand zwischen Punkt und Gerade
Hier lernst du: was der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ist und wie du diesen Abstand misst.
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Stell dir einen geraden Fahrradweg zwischen zwei Mauern vor. Ein Poller verhindert, dass Autos den Weg benutzen können. Aber kommt denn auch ein breites Lastenfahrrad am Poller vorbei? Die Situation können wir mit geometrischen Objekten darstellen (
"modellieren"). Die Mauern stellen wir mit
Geraden dar und den Poller als
Punkt: Die "geometrische" Frage ist: Wie groß ist der
Abstand zwischen Punkt $P$ und der Geraden $g$ (oder der Geraden $h$)? Hier lernst du:
- was der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ist und
- wie du diesen Abstand misst.
Was ist der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden? Du weißt: Der Abstand zwischen zwei Punkten ist die Länge der von ihnen gebildeten Strecke. Also die Länge der kürzesten Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten. Betrachte die Animation. Es werden die Abstände des Punkts $P$ zu verschiedenen Punkten auf der Geraden $g$ gemessen:$|PA|\approx2,8\cm$ $|PA|\approx2,8\cm$, $|PB|\approx2\cm$ $|PA|\approx2,8\cm$, $|PB|\approx2\cm$, $|PC|\approx2,3\cm$ $|PA|\approx2,8\cm$, $|PB|\approx2\cm$, $|PC|\approx2,3\cm$, $|PD|\approx3,2\cm$ (Das geschlängelte Gleichheitszeichen $\approx$ heißt: "ist ungefähr gleich".) Du siehst: Die Punkte auf der Geraden können
unterschiedliche Abstände zum selben Punkt haben. Aber gibt es einen Punkt auf der Geraden $g$ mit einem
besonderen Abstand zum Punkt $P$? Ob ein Lastenfahrrad zwischen Poller und Mauer durchpasst, ist nur abhängig von der
engsten Stelle zwischen Poller und Mauer. Welcher "Punkt" auf der Mauer markiert die engste Stelle zwischen Poller und Mauer? Derjenige Punkt, dessen Abstand zum Poller
kleiner ist als der Abstand aller anderen Punkte auf der Mauer zum Poller. Genau diesen "kürzesten Abstand" nehmen wir als "besonderen" Abstand, um den Abstand zwischen Punkt und Geraden festzulegen: Der
Abstand zwischen einem
Punkt und einer Geraden ist die Länge der
kürzesten Strecke, die sich mit diesem Punkt und einem Punkt auf der Geraden zeichnen lässt.$|\Bar{PA}|\approx2,8\cm$ $|\Bar{PA}|\approx2,8\cm$, $|\Bar{PB}|\approx2\cm$ $|\Bar{PA}|\approx2,8\cm$, $|\Bar{PB}|\approx2\cm$, $|\Bar{PC}|\approx2,3\cm$ $|\Bar{PA}|\approx2,8\cm$, $|\Bar{PB}|\approx2\cm$, $|\Bar{PC}|\approx2,3\cm$, $|\Bar{PD}|\approx3,2\cm$ Die Strecke $\Bar{PB}$ ist
kürzer als alle anderen Strecken zwischen $P$ und einem Punkt auf der Geraden $g$. Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und dem Punkt $P$ ist damit $|\Bar{PB}|$, also die Länge der Strecke $\Bar{PB}$.
Das ist erstaunlich einfach: Dieser Punkt ist der
Schnittpunkt der Geraden
mit ihrer Senkrechten, die durch den vorgegebenen Punkt verläuft. Diesen Punkt kannst du mit dem Geodreieck zeichnen: Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und dem Punkt $P$ ist die Länge der Strecke $\Bar{SP}$. Oder zu zeichnest diesen Punkt mit Zirkel und Lineal: Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und dem Punkt $P$ ist die Länge der Strecke $\Bar{SP}$. Um den
Abstand zwischen einer
Geraden und einem Punkt zu bestimmen, gehe so vor:
- Zeichne die Senkrechte zur Geraden durch den vorgegebenen Punkt und
- Markiere den Schnittpunkt der Senkrechten und der Geraden.
Der
Abstand zwischen dem
Schnittpunkt und dem vorgegebenen Punkt entspricht dem gesuchten Abstand. Warum ist das so? Führen wir einen richtigen
mathematischen Beweis:1. Betrachten wir einen beliebigen Punkt auf der Geraden, zum Beispiel Punkt $A$. 2. Zeichne einen Kreisbogen um $P$ mit Radius $|PA|$. Alle Punkte
innerhalb des Kreisbogens liegen näher an $P$ als Punkt $A$ an $P$, also auch alle Punkte auf der (roten) Strecke $\Bar{AB}$ (ohne die Punkte $A$ und $B$). Der gesuchte Punkt mit dem kürzesten Abstand zu $P$ muss also auf der Strecke $\Bar{AB}$ (ohne die Randpunkte) liegen. 3. Nimm nun einen beliebigen Punkt $C$ auf der Strecke $\Bar{AB}$. 4. Zeichne einen Kreisbogen um $P$ mit Radius $|PC|$. Wieder liegen alle Punkte
innerhalb des Kreisbogens näher an $P$ als Punkt $C$, also auch alle Punkte auf der (blauen) Strecke $\Bar{CD}$ (wieder ohne $C$ und $D$). Mit diesem Verfahren kann man sich dem gesuchten Punkt immer weiter annähern. Der einzige Punkt, der aus $g$ keine Strecke "ausschneidet", liegt genau in der Mitte zwischen $A$ und $B$ (oder $C$ und $D$ usw.). Es gibt also keinen Punkt, der näher zu $P$ liegt als der Punkt genau in der Mitte zwischen $A$ und $B$. 5. Zeichne diesen Punkt $S$. Du stellst fest: Punkt $S$ wird genau so gezeichnet wie der Schnittpunkt der
Senkrechten durch $P$ und der Geraden $g$. Punkt $S$ ist also dieser Schnittpunkt.
Damit hast du die Behauptung bewiesen! Parallelen Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen