Äquivalenz von Gleichungen

Hier lernst du:

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    Hier lernst du: wann Gleichungen äquivalent sind und wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst. Hier lernst du, wann Gleichungen äquivalent sind und wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst.

    Beschreibung: Hier lernst du, wann Gleichungen äquivalent sind und wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst.

    Äquivalenz von Gleichungen


    Wie ist die Lösung der Gleichung
    $\tab 3x+4=16-x$?
    Du kannst natürlich verschiedene Werte für $x$ ausprobieren.
    /Aber wäre es nicht schön, es gäbe ein Verfahren, mit dem sich die Lösung ganz einfach ausrechnen ließe?
    /

    Ein solches Verfahren gibt es! Es heißt: Äquivalenzumformung von Gleichungen.
    Aber bevor du lernst, wie das geht, lernst du hier noch, was äquivalente Gleichungen sind.
    /

    Hier lernst du:



    (Muster Balkenwaage)



    Sieh dir die Balkenwaage an:

    Genau dann, wenn auf beiden Waagschalen dasselbe Gewicht liegt, ist die Waage im Gleichgewicht.
    /

    Betrachten wir jetzt eine Waage, deren Waagschalen bereits im Gleichgewicht sind:

    Was passiert, wenn du auf beide Waagschalen die gleichen Gewichte legst? Na klar, die Waagschalen bleiben im Gleichgewicht. Und wenn du diese Gewichte wieder entfernst? Die Waagschalen bleiben natürlich immer noch im Gleichgewicht. Also: Wenn du auf eine Balkenwaage im Gleichgewicht auf beide Waagschalen die gleichen Gewichte legst oder entfernst, bleibt die Waagschale im Gleichgewicht.


    /

    Legen wir jetzt auch ein unbekanntes Gewicht auf eine der Waagschalen.

    Bringe zunächst die Waagschalen ins Gleichgewicht. Was passiert, wenn du jetzt von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst? Die Waagschalen sind immer noch im Gleichgewicht. Aber jetzt siehst du sofort, welches Gewicht sich hinter dem "x" verbirgt: nämlich das Gewicht "2" (oder "1" und "1").



    Eine Balkenwaage, deren Waagschalen im Gleichgewicht sind, ist ein Modell für eine Gleichung:
    /

    Wenn du auf beide Waagschalen die gleichen Gewichte legst oder entfernst, veränderst du also die Gleichung:

    Die Balkenwaage zeigt zunächst die Gleichung:
    $\align[8:r]{x+1+1}=1+1+1+1$. Klar, dass die beiden Waagschalen nur dann im Gleichgewicht sind, wenn hinter dem $x$ das Gewicht "2" ist, oder? Die Gleichung hat also die Lösung $x=2$. Wenn du nun von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst, "entsteht" eine neue Gleichung. Wenn du nun von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst, "entsteht" eine neue Gleichung:
    $\align[8:r]{x}=1+1$ Auch jetzt können die beiden Waagschalen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn hinter dem $x$ das Gewicht "2" ist. Auch diese Gleichung hat also die Lösung $x=2$. Und genau das ist das Interessante daran: Die Gleichungen "$x+1+1=1+1+1+1$" und "$x=1+1$" haben dieselbe Lösung!



    Gleichungen, die genau die gleiche Lösung haben, heißen (zueinander) äquivalent.
    Äquivalente Gleichungen werden mit einem Doppelpfeil $\Leftrightarrow$ miteinander verbunden.

    Prüfe die Lösungen nach!

    $\align[10:r]{x=1+1}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}x+1+1=1+1+1+1$ $\align[5]{}$(Lösung für beide Gleichungen: $x=2$)
    $\,$ $\align[10:r]{x=3}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}x+5=8$ $\align[5]{}$(Lösung: $x=3$)
    $\,$ $\align[10:r]{x+2=3}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}x-3=-2$ $\align[5]{}$(Lösung: $x=1$)
    $\,$ $\align[10:r]{x+4=2x}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}3x=16-x$ $\align[5]{}$(Lösung: $x=4$)


    /

    Warum ist das interessant? Weil du bei manchen Gleichungen ihre Lösung leicht ablesen kannst:

    Die Gleichung
    $\align[5:r]{x}\align[5]{=4}$
    hat die Lösung: $x=4$
    $\,$ Die Gleichung
    $\align[5:r]{x}\align[5]{=76}$
    hat die Lösung: $x=76$
    $\,$ Die Gleichung
    $\align[5:r]{x}\align[5]{=\frac{2}{3}}$
    hat die Lösung: $x=\frac{2}{3}$
    $\,$ Die Gleichung
    $\align[5:r]{x}\align[5]{=a}$
    hat die Lösung: $x=a$



    "Aber das ist doch doppelt gemoppelt! $x=4$ ist die Lösung, und keine Gleichung!"
    Doch, nämlich beides! $x=4$ ist eine Gleichung, deren Lösung du leicht ablesen kannst.
    /

    Genau das kannst du nutzen, um die Lösung einer (komplizierteren) Gleichung wie "$3x+4=16-x$" zu berechnen: Um die Lösung einer Gleichung zu berechnen, forme sie um in eine äquivalente Gleichung der Form:
    $\tab x=\text{Zahl}$,
    also mit der bloßen Variablen auf der einen Seite und einer Zahl (die du ausrechnen musst) auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens. (Wie du Gleichungen in äquivalente Gleichungen umformst, lernst du in der nächsten Lerneinheit.)
    /

    Dasselbe Prinzip hast du übrigens schon genutzt! Nämlich als du die Lösung einer Gleichung angegeben hast: Beispiel für die Angabe der Lösung einer Gleichung:

    $\align[17]{x+2=6}$ $\align[3]{\Leftrightarrow}\align[2:r]{x}\align[7]{=4}$

    Eigentlich sagt diese Darstellung nur aus, dass die Gleichung "$x=4$" äquivalent ist zur Gleichung "$x+2=6$".
    Aber weil damit beide Gleichungen dieselbe Lösung haben, kannst du die Lösung der zweiten Gleichung (die du leicht ablesen kannst) direkt auf die erste Gleichung übertragen.
    Praktisch, nicht wahr?
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