Was ist ein Bruch?

Hier lernst du: dass ein Bruch einen Anteil an einer Zahl angeben kann, was das mit Division und Multiplikation zu tun hat und wie du die Zahl 1 ,,zerbrechen'' kannst. Hier lernst du, dass ein Bruch der Anteil an einer Zahl ist.

Was ist ein Bruch?

Du kannst Schokoladentafeln in einzelne Teilstücke zerbrechen, Längen in Teillängen unterteilen, Zeitspannen in kleinere Zeitspannen usw. Aber kannst du auch Zahlen zerbrechen? Hier lernst du:

dass ein Bruch einen Anteil an einer Zahl angeben kann,
was das mit Division und Multiplikation zu tun hat und
wie du die Zahl 1 "zerbrechen" kannst.

Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an, und zwar als Anzahl gleich großer Anteile an einem Ganzen:Die Angabe "$\frac{2}{3}$ Schokoladentafel" umfasst 2 von 3 gleich großen Anteilen an einer Schokoladentafel. Aber kannst du auch Anteile an Zahlen angeben? Was ist zum Beispiel $\frac{1}{4}$ der Zahl 20? Natürliche Zahlen kannst du dir als Anzahl von etwas vorstellen. Die natürliche Zahl 20 also zum Beispiel als "20 Lollis":20 Lollis kannst du leicht in 4 gleiche Anteile unterteilen. Jeder der 4 (gleich großen) Anteile an den 20 Lollis umfasst 5 Lollis. Ein Viertel von 20 Lollis sind also 5 Lollis: $\frac{1}{4}$ von 20 Lollis $=$ 5 Lollis /Das "Ganze" waren hier die 20 Lollis. Was haben wir mit dem "Ganzen" gemacht? Wir haben es in 4 gleiche Anteile geteilt. Die Darstellung der Lollis war nur eine Hilfe, um sich die natürliche Zahl 20 leichter vorzustellen. Eigentlich haben wir die natürliche Zahl 20 in 4 gleiche Anteile geteilt, also $\frac{1}{4}$ von $20=5$ Fällt dir was auf? $\style[bold]{\frac{1}{4}}$ von 20 ist genauso viel wie $\style[bold]{20:4}$. / Ein Bruch mit dem Zähler 1 heißt einfacher Bruch oder Stammbruch. Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen einfachen Bruch ist eine andere Schreibweise für die Division mit dem Nenner:

$\frac{1}{3}\ 12=12:3=4$
$\frac{1}{4}\ 20=20:4=5$
$\frac{1}{10}\ 100=100:10=10$

Was erhalten wir, wenn wir nicht nur einen von 4 gleichen Anteilen an 20 nehmen, sondern gleich 3? Schauen wir es uns mit der Lolli-Hilfe an:Unterteile die 20 Lollis wieder in 4 gleiche Anteile. Fasse dann 3 dieser Anteile zusammen. 3 der 4 gleichen Anteile an den 20 Lollis umfassen also zusammen 15 Lollis. Es gilt: $\frac{3}{4}$ von 20 Lollis $= 15$ Lollis. Fällt dir wieder was auf? $\style[bold]{\frac{3}{4}}$ von 20 ist genauso viel wie $\style[bold]{20:4\cdot3}$, also 20 geteilt durch den Nenner und multipliziert mit dem Zähler des Bruchs. / Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen Bruch ist eine andere Schreibweise für

die Division mit dem Nenner und
der (anschließende) Multiplikation mit dem Zähler:

$\frac{2}{3}\ 12=(12:3) \cdot2=8$
$\frac{3}{4}\ 20=(20:4) \cdot3=15$
$\frac{5}{10}\ 100=(100:10) \cdot5=50$

(Die Klammern sind eigentlich unnötig. Sie sollen nur den Rechenweg deutlicher machen.) "Division?", könntest du jetzt fragen. "War da nicht irgendwas mit Teilbarkeit und so?" Muss also die Zahl durch den Nenner teilbar sein, damit man den Anteil angeben kann? Was ist zum Beispiel $\frac{2}{5}$ von $2$ oder gar $\frac{1}{3}$ von $1$ ? Schließlich ist die 2 nicht durch 5 ohne Rest teilbar, und die 1 durch 3 schon gar nicht? Wir können ja auch nicht einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele (ganze) Lollis bekommt. Richtig! Solange wir nur mit natürlichen Zahlen (oder nur mit ganzen Zahlen) arbeiten, können wir nicht angeben, wie viel $\frac{1}{3}$ von 1 ist. Die 1 ist nicht in kleinere natürliche (oder ganze) Zahlen unterteilbar. Anders gesagt: Wir können nicht einen einzigen Lolli auf mehrere Kinder zu gleichen Teilen aufteilen. Ja, weil wir die Schokoladentafel in mehrere, gleich große Stücke zerbrochen haben. Wenn du einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen willst, dass jedes Kind gleich viel bekommt, musst du den Lolli zerbrechen. Weil das mit einem Lolli sehr schwer ist, machen wir das mit einem Kreis:Der ausgefüllte Kreis stellt eine 1 dar. Der Kreis wird in so viele gleiche Stücke zerbrochen, wie im Nenner angegeben ist. Jedes Stück stellt ein Drittel einer 1 dar. Das dunkelgrüne Stück umfasst also $\frac{1}{3}$ einer 1. Auf die gleiche Weise kannst du auch alle weiteren Bruch-Anteile an einer 1 darstellen:Der ausgefüllte Kreis stellt wieder als Ganzes eine 1 dar. Für den Anteil $\frac{1}{5}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente. Jedes Segment stellt $\frac{1}{5}$ des ganzen Kreises dar, also $\frac{1}{5}$ einer 1. Für den Anteil $\frac{1}{8}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 8 Segmente. Jedes Segment stellt $\frac{1}{8}$ einer 1 dar. Für den Anteil $\frac{3}{4}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 4 Segmente. Die drei hervorgehobenen Segmente stellen zusammen $\frac{3}{4}$ einer 1 dar. Für den Anteil $\frac{1}{2}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 2 Segmente. Ein Segment stellt $\frac{1}{2}$ des ganzen Kreises dar, also die Hälfte einer 1. Für den Anteil $\frac{3}{6}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 6 Segmente. Ein Segment stellt $\frac{3}{6}$ des Kreises dar, also wieder die Hälfte einer 1. Für den Anteil $\frac{5}{5}$ an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente. Alle Segmente zusammen stellen $\frac{5}{5}$ des Kreises dar, also die ganze 1. Bisher haben wir immer mit angegeben, von welchem Ganzen ein Bruch den Anteil angibt:

$\frac{1}{6}$ an einer Schokoladentafel
$\frac{3}{4}$ an der Zahl 20
$\frac{1}{3}$ an einem Kreis
$\frac{1}{3}$ an einer 1

Zumindest letzteres wollen wir noch etwas vereinfachen. Wenn wir mit einem Bruch einen Anteil an einer 1 angeben wollen, schreiben wir nur den Bruch ohne Angabe des Ganzen. Umgekehrt bezieht sich ein bloßer Bruch (also ohne die Angabe eines Ganzen) immer auf eine 1 als Ganzes.

Statt $\style[bold]{\frac{3}{4}}$ an einer 1 schreiben wir nur $\style[bold]{\frac{3}{4}}.$
Der Ausdruck $\style[bold]{\frac{1}{3}}$ meint immer $\style[bold]{\frac{1}{3}}$ an einer 1.
Und der Ausdruck $\style[bold]{\frac{1}{3}=\frac{2}{6}}$ meint, dass der Anteil $\style[bold]{\frac{1}{3}}$ an einer 1 ein gleich großer Anteil an einer 1 ist wie der Anteil $\style[bold]{\frac{2}{6}}$ an einer 1.

Puh, das war nicht einfach! Jetzt hättest du sicher mindestens $\frac{1}{6}$ Schokoladentafel als Belohnung, oder? Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Was ist ein Bruch? (1)