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Brüche addieren und subtrahieren (2)

Hier lernst du: was ungleichnamige Brüche sind, wie du ungleichnamige Brüche addierst und wie du sie subtrahierst. Hier lernst du, Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren. Bruchrechnen, Bruchrechnung, Addition, Subtraktion, ungleichnamig

Brüche addieren und subtrahieren (2)

Eine Aufgabe, wie du sie ähnlich schon kennst: Wie viel Schokolade hast du, wenn du zu $\frac{1}{2}$ einer Schokoladentafel noch $\frac{1}{3}$ der Tafel dazunimmst?Dann hast du $\frac{5}{6}$ einer Tafel Schokolade. Und lauter verschiedene Nenner ... Hier lernst du: Wie viel ist $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$? Weil die beiden Brüche ungleiche Nenner haben, stellen wir sie auf zwei unterschiedllichen Zahlengeraden dar:Addition heißt, die Pfeile aneinanderzuhängen. Machen wir das mal! Ups! Die Pfeile zeigen nun "irgendwohin" /- nur nicht auf einen bestimmten Strich auf der Zahlengeraden! Was tun? Versuchen wir mal, die Unterteilungen auf den Zahlengeraden zu "verfeinern":Halbieren wir mal alle Teilstrecken. Super, unten haben wir jetzt einen Strich, auf den die Pfeile zeigen: genau in der Mitte zwischen $\frac{2}{3}$ und 1. Oben aber noch nicht. Versuchen wir oben eine andere Unterteilung: eine Dreiteilung. Jetzt haben wir auch oben einen Strich, auf den die aneinandergehängten Pfeile zeigen: zwischen $\frac{1}{2}$ und 1, näher an der 1. Fällt dir was auf? Oben und unten haben wir nun dieselbe Unterteilung in Teilstrecken. Was ist das für eine Unterteilung? Zählen wir nach! Genau, es ist eine Teilung der Strecke zwischen den ganzen Zahlen in 6 Teilstrecken. Und plötzlich zeigen die Pfeile auf ganz andere Brüche ... Aus der Addition $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ haben wir nun eine andere Addition gemacht: Aus $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ wird $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}$. Damit wir das Ergebnis von $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ am Zahlenstrahl ablesen können, mussten wir also die Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben: Merke dir schon mal: Haben mehrere Brüche ungleiche Nenner, nennt man sie ungleichnamig. Wichtiger aber ist: Um Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben. Ein gemeinsamer Nenner heißt Hauptnenner der Brüche.1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 3. Dann addiere die jetzt gleichnamigen Brüche. Das Ergebnis der Addition kannst du manchmal noch kürzen. "Und wie muss ich die Brüche erweitern?" Für die Addition müssen die Brüche so erweitert werden, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Und der ist immer ein gemeinsames Vielfaches der ursprünglichen Nenner. Ein Hauptnenner kann immer das Produkt aus beiden Nennern sein: Zwei Brüche haben immer ganz viele mögliche Hauptnenner. Hauptnenner von $\frac{1}{\style[green]{2}}$ und $\frac{1}{\style[red]{3}}$ sind zum Beispiel $6, 12, 18, 24$ usw. /- also alle Vielfache des Produkts der Nenner $\style[green]{2}\cdot\style[red]{3}=6$. Manche Brüche haben auch kleinere Hauptnenner als das Produkt der Nenner, zum Beispiel $\frac{1}{\style[green]{4}}$ und $\frac{3}{\style[red]{8}}$. Hier ist bereits der Nenner $\style[red]{8}$ ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner $\style[green]{4}$ und $\style[red]{8}$, denn $\style[red]{8}=\style[green]{4}\cdot2$. Suche bei der Addition von ungleichnamigen Brüchen immer einen möglichst kleinen Hauptnenner. Je kleiner der Hauptnenner ist, desto leichter ist die Rechnung. Die Rechnungist (etwas) leichter als Der kleinste Hauptnenner von zwei Brüchen ist die kleinste Zahl, die das Vielfache ihrer Nenner ist. Diese Zahl heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von zwei Zahlen. Du schreibst:Das sprichst du so: "Das kleinste gemeinsame Vielfache von 10 und 15 ist (gleich) 30." Den Hauptnenner (also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner) kannst du durch Probieren herausfinden. Oder systematisch, indem die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst: Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45? Lösungsweg:1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren. 2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen. 3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache! Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180. $\kgV(60,\ 45)=180$. Ein häufiger Fehler beim Erweitern von zwei Brüchen auf einen Hauptnenner ist es, nur die Nenner zu "erweitern". Aber:$\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\style[bold]{\neq}\frac{2}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot3}$ Wie geht nun die Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen? Ganz genauso wie bei der Addition: Um Brüche mit ungleichen Nennern zu subtrahieren, müssen du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben.1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 3. Dann subtrahiere die jetzt gleichnamigen Brüche. Und was ist bei der Addition und Subtraktion mit negativen Brüchen? Kein Problem, wenn du dir sicher in der Addition und Subtraktion mit negativen Zahlen bist: Bei negativen Brüchen musst du vor der Addition oder Subtraktion noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen: Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Brüche erweitern und kürzen Primfaktorzerlegung Brüche erweitern und kürzen Brüche addieren und subtrahieren (1)

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