Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren

Hier lernst du: wie du einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividierst. Hier lernst du, wie du einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividierst.

Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren

Dana hat $\frac{1}{3}$ einer Tafel Schokolade, die sie mit ihrer Freundin so teilen möchte, dass jede gleichviel bekommt. Welchen Anteil an einer ganzen Tafel Schokolade bekommt jede? Hier lernst du:

• wie du einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividierst.

Wie viel ist die Hälfte von 8? Ok, easy, natürlich 4. Als Rechnung: $\align[5:r]{8:2}=4$ Kannst du dasselbe auch mit einem Bruch machen? Wie viel ist zum Beispiel ein Drittel von $\frac{3}{4}$? Wie viel ist $\frac{3}{4}:3$? Schauen wir uns das auf dem Zahlenstrahl an:Zeichne zuerst die ganze Strecke von Null bis $\frac{3}{4}$. Wir wollen durch 3 teilen. Unterteile also die ganze Strecke in 3 gleich lange Teilstrecken. Das ist leicht, weil wir auf dem Zahlenstrahl schon die passende Unterteilung haben. Von diesen 3 Teilstrecken brauchen wir nur eine (wir teilen schließlich durch 3). Der letzte Pfeil zeigt auf den Bruch $\frac{1}{4}$. Es gilt also: $\frac{3}{4}:3=\frac{1}{4}$. Ein zweites Beispiel: Wie viel ist $\frac{4}{5}:3$?Zeichne wieder die ganze Strecke von Null bis $\frac{4}{5}$. Wir wollen wieder durch 3 teilen. Wie aber kannst du die ganze Strecke in 3 gleich lange Teilstrecken unterteilen? Teile zunächst die ganze Strecke in so viele Teilstrecken, wie im Zähler angegeben ist, also in 4 Teilstrecken. Jede dieser Teilstrecken musst du nun in 3 kleinere Teilstrecken unterteilen. Dazu "verfeinere" zunächst den Zahlenstrahl, indem du jede Teilstrecke drittelst. Jetzt kannst du jede Teilstrecke in 3 gleich lange "Teil-Teilstrecken" unterteilen. Von jeder Teilstrecke brauchst du nur eine "Teil-Teilstrecke", denn du teilst ja durch 3. Die übrig gebliebenen "Teil-Teilstrecken" setzt du nun zusammen. Wie "heißt" der Strich auf dem Zahlenstrahl, bis zu den die "Teil-Teilstrecken" nun gehen? Zähle nach: Bis zur 1 sind es 15 Striche auf dem Zahlenstrahl. Wir können die Striche also neu beschriften. Und schon können wir das Ergebnis ablesen: $\tab\frac{4}{5}:3=\frac{4}{15}$. Du siehst: Teilt man den Bruch $\frac{4}{5}$ durch 3, behält man genauso viele Teilstrecken wie beim Ausgangsbruch. Der Zähler des Ergebnisses bleibt also gleich.Nur ist jede Teilstrecke kürzer /- jetzt wird die ganze Strecke nämlich in 3-mal so viele Teilstrecken unterteilt. Jede Teilstrecke ist nach der Division statt $\frac{1}{5}$ der Strecke zwischen 0 und 1 nur noch $\frac{1}{15}$ dieser Strecke lang. Der Nenner des Bruchs muss also mit 3 multipliziert werden. Das gilt für jeden Bruch und jede ganze Zahl als Divisor: Beim Dividieren eines Bruchs durch eine ganze Zahl wird der Nenner des Bruchs mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Zähler bleibt gleich.

• $\align[12]{\frac{1}{3}:4}$| Nenner mit 4 multiplizieren
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{1}{3\cdot4}}$
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{1}{12}}$
• $\align[12]{\frac{3}{8}:5}$| Nenner mit 5 multiplizieren
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{3}{8\cdot5}}$
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{3}{40}}$
• $\align[12]{\frac{4}{9}:2}$| Nenner mit 2 multiplizieren
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{4}{9\cdot2}}$
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{4}{18}}$| kürzen durch 2
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{9}}$

Prüfe immer schon vor dem Ausrechnen der Multiplikation, ob du kürzen kannst. Dann kannst du manchmal mit sehr viel kleineren Zahlen rechnen.

• $\align[12]{\frac{4}{9}:2}$| Nenner mit 2 multiplizieren
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{4}{9\cdot2}}$| gemeinsame Teiler finden
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\style[red]{2}}{9\cdot\style[red]{2}}}$| kürzen durch 2
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\strikeout{\style[red]{2}}}{9\cdot\strikeout{\style[red]{2}}}}$
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{9}}$
• $\align[12]{\frac{46}{49}:23}$| Nenner mit 23 multiplizieren
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{46}{49\cdot23}}$| gemeinsame Teiler finden
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\style[red]{23}}{49\cdot\style[red]{23}}}$| kürzen durch 23
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\strikeout{\style[red]{23}}}{49\cdot\strikeout{\style[red]{23}}}}$
  $\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{49}}$

Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was ist ein Bruch? (1) Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren