Brüche mit Brüchen multiplizieren
Einen Bruch durch einen Bruch dividieren
Was ist ein Bruch? (1)
Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren
Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren
Hier lernst du: wie du einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividierst. Hier lernst du, wie du einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividierst.
Beschreibung: Hier lernst du, wie du einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividierst.
Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren
Dana hat $\frac{1}{3}$ einer Tafel Schokolade, die sie mit ihrer Freundin so teilen möchte, dass jede gleichviel bekommt.
Welchen Anteil an einer ganzen Tafel Schokolade bekommt jede?
Hier lernst du:
- wie du einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividierst.
Wie viel ist die Hälfte von 8?
Ok, easy, natürlich 4. Als Rechnung:
$\align[5:r]{8:2}=4$
Kannst du dasselbe auch mit einem Bruch machen? Wie viel ist zum Beispiel ein Drittel von $\frac{3}{4}$?
Wie viel ist $\frac{3}{4}:3$?
Schauen wir uns das auf dem
Zahlenstrahl an:
Zeichne zuerst die ganze Strecke von Null bis $\frac{3}{4}$. Wir wollen durch 3 teilen. Unterteile also die ganze Strecke in 3 gleich lange Teilstrecken. Das ist leicht, weil wir auf dem Zahlenstrahl schon die passende Unterteilung haben. Von diesen 3 Teilstrecken brauchen wir nur eine (wir teilen schließlich durch 3). Der letzte Pfeil zeigt auf den Bruch $\frac{1}{4}$. Es gilt also: $\frac{3}{4}:3=\frac{1}{4}$.
Ein zweites Beispiel:
Wie viel ist $\frac{4}{5}:3$?
Zeichne wieder die ganze Strecke von Null bis $\frac{4}{5}$. Wir wollen wieder durch 3 teilen. Wie aber kannst du die ganze Strecke in 3 gleich lange Teilstrecken unterteilen? Teile zunächst die ganze Strecke in so viele Teilstrecken, wie im Zähler angegeben ist, also in 4 Teilstrecken. Jede dieser Teilstrecken musst du nun in 3 kleinere Teilstrecken unterteilen. Dazu "verfeinere" zunächst den Zahlenstrahl, indem du jede Teilstrecke drittelst. Jetzt kannst du jede Teilstrecke in 3 gleich lange "Teil-Teilstrecken" unterteilen. Von jeder Teilstrecke brauchst du nur eine "Teil-Teilstrecke", denn du teilst ja durch 3. Die übrig gebliebenen "Teil-Teilstrecken" setzt du nun zusammen. Wie "heißt" der Strich auf dem Zahlenstrahl, bis zu den die "Teil-Teilstrecken" nun gehen? Zähle nach: Bis zur 1 sind es 15 Striche auf dem Zahlenstrahl. Wir können die Striche also neu beschriften. Und schon können wir das Ergebnis ablesen: $\tab\frac{4}{5}:3=\frac{4}{15}$.
Du siehst: Teilt man den Bruch $\frac{4}{5}$ durch 3, behält man genauso viele Teilstrecken wie beim Ausgangsbruch. Der
Zähler des Ergebnisses bleibt also gleich.
Nur ist jede Teilstrecke kürzer /- jetzt wird die ganze Strecke nämlich in 3-mal so viele Teilstrecken unterteilt. Jede Teilstrecke ist nach der Division statt $\frac{1}{5}$ der Strecke zwischen 0 und 1 nur noch $\frac{1}{15}$ dieser Strecke lang.
Der
Nenner des Bruchs muss also mit 3 multipliziert werden.
Das gilt für jeden Bruch und jede ganze Zahl als Divisor:
Beim
Dividieren eines Bruchs durch eine
ganze Zahl wird der
Nenner des Bruchs
mit der ganzen Zahl multipliziert.
Der Zähler bleibt gleich.
- $\align[12]{\frac{1}{3}:4}$| Nenner mit 4 multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{1}{3\cdot4}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{1}{12}}$ - $\align[12]{\frac{3}{8}:5}$| Nenner mit 5 multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{3}{8\cdot5}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{3}{40}}$ - $\align[12]{\frac{4}{9}:2}$| Nenner mit 2 multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{4}{9\cdot2}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{4}{18}}$| kürzen durch 2
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{9}}$
Prüfe immer schon
vor dem Ausrechnen der Multiplikation, ob du
kürzen kannst. Dann kannst du manchmal mit sehr viel kleineren Zahlen rechnen.
- $\align[12]{\frac{4}{9}:2}$| Nenner mit 2 multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{4}{9\cdot2}}$| gemeinsame Teiler finden
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\style[red]{2}}{9\cdot\style[red]{2}}}$| kürzen durch 2
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\strikeout{\style[red]{2}}}{9\cdot\strikeout{\style[red]{2}}}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{9}}$ - $\align[12]{\frac{46}{49}:23}$| Nenner mit 23 multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{46}{49\cdot23}}$| gemeinsame Teiler finden
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\style[red]{23}}{49\cdot\style[red]{23}}}$| kürzen durch 23
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot\strikeout{\style[red]{23}}}{49\cdot\strikeout{\style[red]{23}}}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{49}}$
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