Einen Bruch durch einen Bruch dividieren

Hier lernst du: was ein Kehrwert ist und wie du einen Bruch durch einen Bruch dividierst. Hier lernst du, wie du einen Bruch durch einen Bruch dividierst.

Einen Bruch durch einen Bruch dividieren

Sonst gibt es hier immer ein kleines Beispiel dafür, wie man sich eine Rechenoperation oder so vorstellen kann. Nur für die Division eines Bruchs durch einen Bruch fällt uns absolut kein Beispiel ein ... Aber rechnen kann man es trotzdem. Hier lernst du:

was ein Kehrwert ist und
wie du einen Bruch durch einen Bruch dividierst.

Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, das kannst du. Und einen Bruch durch einen Bruch dividieren? Was ergibt zum Beispiel $\frac{2}{7}:\frac{3}{4}$? Lösen wir den Bruch in "normale" Rechenoperationen auf: Einen Bruch kannst du immer auch als Division durch den Nenner und Multiplikation mit dem Zähler schreiben: $\align[6:r]{\frac{2}{7}:\frac{3}{4}}=\frac{2}{7}:(3:7)$ Lösen wir nun die Klammer auf. Beachte: Die Division in der Klammer wird dabei zur Multiplikation:

$\align[5:r]{\frac{2}{7}:\frac{3}{4}}\align[11]{}$| Bruch wandeln
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2}{7}:(3:4)}$| Klammern auflösen
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2}{7}:3\cdot4}$| $:$ und $\cdot$ tauschen
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2}{7}\cdot4:3}$| einklammern
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2}{7}\cdot(4:3)}$| als Bruch schreiben
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2}{7}\cdot\frac{4}{3}}$| Brüche multiplizieren
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2\cdot4}{7\cdot3}}$
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{8}{21}}$

Ja, aber du kannst die Rechnung abkürzen:

$\align[5:r]{\frac{2}{7}:\frac{\style[red]{3}}{\style[green]{4}}}\align[11]{}$| mit Kehrwert multiplizieren
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2}{7}\cdot\frac{\style[green]{4}}{\style[red]{3}}}$
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{2\cdot4}{7\cdot3}}$
$\align[4:r]{}\align[12]{=\frac{8}{21}}$

Im Klartext: Beim Dividieren eines Bruchs durch einen Bruch wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Der Kehrwert eines Bruchs wird gebildet, indem dessen Zähler und Nenner miteinander getauscht werden.

$\align[12]{\frac{1}{4}:\frac{1}{3}}$| mit Kehrwert multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{1}}$| Brüche multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{1\cdot3}{4\cdot1}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{3}{4}}$
$\,$
$\align[12]{\frac{3}{11}:\frac{2}{3}}$| mit Kehrwert multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{3}{11}\cdot\frac{3}{2}}$| Brüche multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{3\cdot3}{11\cdot2}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{9}{22}}$
$\,$
$\align[12]{\frac{5}{8}:\frac{3}{4}}$| mit Kehrwert multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{3}}$| Brüche multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5\cdot4}{8\cdot3}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{20}{24}}$| kürzen durch 4
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5}{6}}$

Bei allen Operationen mit Brüchen ist die Rechnung oft leichter, wenn du schon vor dem Ausrechnen die Brüche möglichst weit kürzt.

$\align[12]{\frac{5}{8}:\frac{3}{4}}$| mit Kehrwert multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{3}}$| Brüche multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5\cdot4}{8\cdot3}}$| gemeinsame Teiler finden
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5\cdot\style[red]{4}}{2\cdot\style[red]{4}\cdot3}}$| durch 4 kürzen
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5\cdot\strikeout{\style[red]{4}}}{2\cdot\strikeout{\style[red]{4}}\cdot3}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5}{2\cdot3}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{5}{6}}$
$\,$
$\align[12]{\frac{7}{28}:\frac{41}{56}}$| mit Kehrwert multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{7}{28}\cdot\frac{56}{41}}$| Brüche multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{7\cdot56}{28\cdot41}}$| gemeinsame Teiler finden
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{7\cdot2\cdot\style[red]{28}}{\style[red]{28}\cdot41}}$| durch 28 kürzen
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{7\cdot2\cdot\strikeout{\style[red]{28}}}{\strikeout{\style[red]{28}}\cdot41}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{14}{41}}$

Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren