Du wirst in wenigen Sekunden auf die Aufgabenseite von „Mathe? KLARO! weitergeleitet.

Wenn das nicht automatisch funktioniert, klicke hier.

Brüche erweitern und kürzen

Hier lernst du: wie du Brüche erweiterst und wie du Brüche kürzt. Hier lernst du, wie du Brüche erweiterst und kürzt.

Brüche erweitern und kürzen

Antonio und Natalja haben in ihrer Klasse eine Umfrage gemacht. "16 von 24 Kindern kommen mit dem Fahrrad in die Schule", stellt Antonio fest. "Das sind genau zwei Drittel aller Kinder", erklärt Natalja und schreibt an die Tafel: $\tab\scale[1.4]{\frac{16}{24}=\frac{2}{3}}$ Hier lernst du: Betrachte den Bruch $\frac{2}{3}$ auf dem Zahlenstrahl:Zeichne zuerst den Bruch ein. Was passiert, wenn wir die einzelnen Streckenabschnitte halbieren? Die Striche unterteilen die Strecken zwischen den ganzen Zahlen nun in 6 Teilstrecken. Zähle nun die Striche bis zum roten Strich. Bis zum roten Strich zählst du 4 Striche. 4 von 6 Teilstrecken? Der rote Strich kennzeichnet also den Bruch $\frac{4}{6}$. Wie jetzt? Den Strich haben wir doch eben erst beim Bruch $\frac{2}{3}$ eingezeichnet? Und jetzt soll er den Bruch $\frac{4}{6}$ kennzeichnen? Genau! Es gilt nämlich: $\tab\scale[1.4]{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}}$ Das ist ja auch nicht weiter erstaunlich. Denn wenn du die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in doppelt so viele Teilstrecken unterteilst, dann musst du auch doppelt so viele Striche zählen bis zur selben Stelle auf dem Zahlenstrahl. Und das gilt nicht nur für Verdoppelungen, sondern für alle weiteren Unterteilungen. Zähl nach! Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizierst, bleibt die Bruchzahl gleich. Man sagt dazu: Der Bruch wird mit dieser Zahl erweitert. Umgekehrt kannst du viele Brüche auch kürzen. Dazu teilst du Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche natürliche (oder ganze) Zahl: Kürzen geht aber nur dann, wenn die Zahl, durch die du kürzt, ein Teiler sowohl vom Zähler als auch vom Nenner ist! Denn nur dann sind der "neue" Zähler und der "neue" Nenner wieder natürliche (oder ganze) Zahlen! Zum Beispiel darfst du $\frac{4}{6}$ nicht durch 3 kürzen, weil 3 kein Teiler vom Zähler 4 ist. ($4:3$ ergibt keine ganze Zahl.) Was passiert, wenn du es trotzdem machst? Probieren wir es aus:Und das sieht doch ziemlich blöd aus, oder? Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler dividierst, bleibt die Bruchzahl gleich. Man sagt dazu: Der Bruch wird um diese Zahl gekürzt. Du siehst: Erweitern mit und kürzen durch dieselbe Zahl führen zum "ursprünglichen" Bruch: $\align[3:r]{\frac{2}{3}}\align[10]{=\frac{2\style[red]{\cdot2}}{3\style[red]{\cdot2}}}$| erweitern mit 2
$\align[3:r]{}=\frac{4}{6}$
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{4\style[red]{:2}}{6\style[red]{:2}}}$| kürzen durch 2
$\align[3:r]{}=\frac{2}{3}$
Die beiden Operationen heben sich gegenseitig auf. "Kann man denn alle Brüche kürzen? Nein. Brüche, deren Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (außer der $1$) haben, lassen sich nicht kürzen. Solche Brüche bekommen auch einen besonderen Namen: Ein vollständig gekürzter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) haben. Einen Bruch in einen vollständig gekürzten Bruch umzuformen, heißt, diesen Bruch vollständig zu kürzen. Manchmal ist es nicht leicht zu erkennen, ob ein Bruch vollständig gekürzt ist. Du musst dann verschiedene mögliche Teiler ausprobieren. Systematisch geht das, indem du Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst. Wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren (mehr) haben, sind sie vollständig gekürzt: Bei manchen Brüchen ist es ganz einfach zu erkennen, dass sie vollständig gekürzt sind: Erkennst du die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 wieder? Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Was sind rationale Zahlen? Teilbarkeit Primfaktorzerlegung

Impressum,  Kontakt  und Datenschutzerklärung

 

© 2021 Martin Hoos, Hamburg