Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren

Hier lernst du: wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder ganzen Zahl multiplizierst. Hier lernst du, wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder einer ganzen Zahl multiplizierst.

Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren

Hugo will mit 5 Freunden einen Fußball kaufen. Jeder soll gleich viel bezahlen, also $\frac{1}{6}$ des Kaufpreises. 4 Kinder haben ihren Beitrag schon zusammen. Welcher Anteil am Kaufpreis ist das? Hier lernst du:

wie du einen Bruch mit einer natürlichen oder ganzen Zahl multiplizierst.

Welchen Anteil am Kaufpreis des Fußballs haben Hugo und seine Freunde schon zusammen, wenn 4 Kinder schon "bezahlt" haben? Das kannst du natürlich leicht ausrechnen, indem du die Brüche addierst: $\align[3]{}\align[15]{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}$| Zähler addieren
$\align[6]{}\align[12]{=\frac{1+1+1+1}{6}}$| ausrechnen
$\align[6]{}\align[12]{=\frac{4}{6}}$| kürzen durch 2
$\align[6]{}\align[12]{=\frac{2}{3}}$ Zwei Drittel des Kaufpreis haben sie also schon zusammen. Auf dem Zahlenstrahl sieht diese Addition so aus:Wir zeichnen die Summanden als Pfeile ein, beginnend vom Null-Strich. Für die Addition hängen wir die Pfeile aneinander. Die Pfeile zeigen zusammen auf $\frac{4}{6}$. Die Summe von $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}$ ist also $\frac{4}{6}$. Eben haben wir vier gleiche Brüche mit dem Zähler 1 addiert. Wie ist das mit einem anderen Zähler? Wie viel ist zum Beispiel $\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}$? Schauen wir es uns an:Wir zeichnen wieder die Summanden als Pfeile ein, beginnend vom Null-Strich. Für die Addition hängen wir die Pfeile aneinander. Die Pfeile zeigen zusammen auf $\frac{9}{10}$. Die Summe von $\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}$ ist also $\frac{9}{10}$. Wir haben also diese beiden Additionen durchgeführt:

$\align[12:r]{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}=\frac{4}{6}$
$\align[12:r]{\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}}=\frac{9}{10}$

Aber geht das auch einfacher? Klar! Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen addierst du die Zähler. Wenn du aber mehrfach denselben Bruch (mit demselben Zähler) addierst, hast du was? Natürlich eine Multiplikation!

$\align[9:r]{1+1+1+1}=4\cdot1$
$\align[9:r]{3+3+3}=3\cdot3$

Also kannst du die Additionen von gleichen Brüchen auch als Multiplikation schreiben:

$\align[12:r]{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}=4\cdot\frac{1}{6}$
$\align[12:r]{\frac{3}{10}+\frac{3}{10}+\frac{3}{10}}=3\cdot\frac{3}{10}$

Und mit der ganzen Zahl multipliziert werden muss ... /- der Zähler:

$\align[5:r]{4\cdot\frac{1}{6}}=\frac{4\cdot1}{6}$
$\align[5:r]{}=\frac{4}{6}$
$\align[5:r]{3\cdot\frac{3}{10}}=\frac{3\cdot3}{10}$
$\align[5:r]{}=\frac{9}{10}$

Bei der Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl wird der Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert. Der Nenner bleibt unverändert.

$\align[12]{2\cdot\frac{1}{3}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot1}{3}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2}{3}}$
$\align[12]{\frac{2}{11}\cdot3}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{2\cdot3}{11}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{6}{11}}$
$\align[12]{6\cdot\frac{3}{20}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{6\cdot3}{20}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{18}{20}}$| kürzen durch 2
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{9}{10}}$

Du darfst nur den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren, nicht aber den Nenner! $\tab3\cdot\frac{2}{10}\style[bold]{\neq}\frac{3\cdot2}{3\cdot10}$ Das letzte Beispiel ist interessant, denn wir konnten am Schluss noch den Bruch kürzen. Das hättest du sogar schon vor der Multiplikation machen können! Wenn in der Multiplikation die ganze Zahl und der Nenner gemeinsame Teiler haben, kannst du beide durch diese Teiler kürzen:

$\align[15]{6\cdot\frac{3}{20}}$| in ihre Teiler zerlegen
$\align[2]{}\align[13]{=2\cdot3\cdot\frac{3}{2\cdot2\cdot5}}$| gemeinsame Teiler streichen
$\align[2]{}\align[13]{=\strikeout{2}\cdot3\cdot\frac{3}{\strikeout{2}\cdot2\cdot5}}$| multiplizieren
$\align[2]{}\align[13]{=\frac{3\cdot3}{2\cdot5}}$
$\align[2]{}\align[13]{=\frac{9}{10}}$

Manche Teiler "siehst" du mit etwas Übung auch sofort. Und mit den gekürzten Zahlen rechnet es sich gleich viel leichter:

$\align[15]{10\cdot\frac{3}{40}}$| gemeinsamer Teiler: 10
$\align[2]{}\align[13]{=10\cdot\frac{3}{4\cdot10}}$| gleiche Teiler streichen
$\align[2]{}\align[13]{=\strikeout{10}\cdot\frac{3}{4\cdot\strikeout{10}}}$| multiplizieren
$\align[2]{}\align[13]{=\frac{3}{4}}$
$\align[15]{12\cdot\frac{3}{100}}$| gemeinsamer Teiler: 4
$\align[2]{}\align[13]{=3\cdot4\cdot\frac{3}{4\cdot25}}$| gleiche Teiler streichen
$\align[2]{}\align[13]{=3\cdot\strikeout{4}\cdot\frac{3}{\strikeout{4}\cdot25}}$| multiplizieren
$\align[2]{}\align[13]{=\frac{3\cdot3}{25}}$
$\align[2]{}\align[13]{=\frac{9}{25}}$

In allen Beispielen bisher waren beide Faktoren der Multiplikation positiv. Was aber, wenn die ganze Zahl oder der Bruch negativ ist? Dann wendest du ganz einfach das an, was du für die Multiplikation mit ganzen Zahlen gelernt hast:

$\align[12]{(-2)\cdot\frac{1}{3}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{(-2)\cdot1}{3}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{-2}{3}}$| Vorzeichen vorziehen
$\align[2]{}\align[10]{=-\frac{2}{3}}$
$\align[12]{4\cdot(-\frac{3}{17})}$| Vorzeichen in Zähler
$\align[2]{}\align[10]{=4\cdot\frac{-3}{17}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{4\cdot(-3)}{17}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{-12}{17}}$| Vorzeichen vorziehen
$\align[2]{}\align[10]{=-\frac{12}{17}}$
$\align[12]{(-3)\cdot(-\frac{3}{20})}$| Vorzeichen in Zähler
$\align[2]{}\align[10]{=(-3)\cdot\frac{-3}{20}}$| mit Zähler multiplizieren
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{(-3)\cdot(-3)}{20}}$
$\align[2]{}\align[10]{=\frac{9}{20}}$

Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Multiplikation und Division von ganzen Zahlen Brüche addieren und subtrahieren (1)