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Brüche mit Brüchen multiplizieren

Hier lernst du: wie du einen Bruch mit einem Bruch multiplizierst. Hier lernst du, wie du einen Bruch mit einem Bruch multiplizierst.

Brüche mit Brüchen multiplizieren

Vielleicht kennst du diese Aufgabe schon von einer anderen Lerneinheit: Dana hat $\frac{1}{3}$ einer Tafel Schokolade, die sie mit ihrer Freundin so teilen möchte, dass jede gleichviel bekommt. Welchen Anteil an einer ganzen Tafel Schokolade bekommt jede? Hier lernst du: Indem du eine Zahl mit einem Bruch multiplizierst, kannst du einen Anteil an dieser Zahl angeben. Kann man aber auch einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren? Wie viel ist zum Beispiel $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}$? Um einen Anteil an einem Ganzen festzustellen, musst du das Ganze in gleich große Anteile teilen. Machen wir das mal für "das Ganze" $\frac{1}{3}$ auf dem Zahlenstrahl:Die ganze Strecke geht von Null bis $\frac{1}{3}$. Halbieren wir die Strecke. Jetzt müssen wir noch den Zahlenstrahl verfeinern. Die Hälfte von $\frac{1}{3}$ ist also $\frac{1}{6}$. Als Gleichung: $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. Ein anderes Beispiel: Wie viel ist $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}$?Zeichnen wir wieder zuerst die "ganze Strecke" von Null bis $\frac{3}{4}$ ein. Dann teilen wir diese Strecke in 3 gleich lange Teilstrecken, denn der Nenner von $\frac{2}{3}$ ist 3. Von diesen 3 Teilstrecken "brauchen" wir aber nur 2 Teilstrecken, denn der Zähler von $\frac{2}{3}$ ist 2. Die beiden Pfeile zeigen zusammen auf den Bruch $\frac{2}{4}$. Es gilt also: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{4}$. Was passiert also, wenn wir einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren? Zuerst zerlegen wir den einen Bruch in so viele Anteile, wie im Nenner des anderen Bruchs angegeben ist. Dann nehmen wir so viele Anteile, wie im Zähler des anderen Bruchs angegeben ist. "Äh, was?" "In gleiche Anteile teilen" ist dividieren, und "mehrere gleiche Anteile nehmen" ist multiplizieren. Also mal in aller Ausführlichkeit: $\align[5:r]{\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}}\align[10]{=}$
$\align[5:r]{}\align[10]{\frac{3}{4}}$| in 3 gleiche Anteile teilen
$\align[5:r]{}\align[10]{:3}$| und davon 2 Anteile nehmen
$\align[5:r]{}\align[10]{\cdot2}$
$\align[5:r]{}\align[10]{=\frac{3}{4}:3\cdot2}$
Die Multiplikation des Bruchs $\frac{3}{4}$ mit der ganzen Zahl 2 können wir in den Zähler schieben. Und die Division des Bruchs durch 3 schieben wir als Multiplikation mit 3 in den Nenner. Also: $\align[5:r]{\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}}\align[10]{}$
$\align[5:r]{}\align[10]{=\frac{3}{4}:3\cdot2}$| Faktor in den Zähler
$\align[5:r]{}\align[10]{=\frac{3\cdot2}{4}:3}$| Divisor in den Nenner
$\align[5:r]{}\align[10]{=\frac{3\cdot2}{4\cdot3}}$
$\align[5:r]{}\align[10]{=\frac{6}{12}}$| kürzen durch 3 oder 6
$\align[5:r]{}\align[10]{=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}$
Langer Anlauf, schneller Sprung: Bei der Multiplikation mit zwei Brüchen multiplizierst du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner: Manchmal kannst du zur Vereinfachung Zähler und Nenner "über Kreuz" kürzen /- also der Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen Bruchs. Das kannst du vor oder nach dem Multiplizieren machen. Vor dem Multiplizieren: Nach dem Multiplizieren: Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren

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