Negative und ganze Zahlen

Hier lernst du: was negative Zahlen sind, was ganze Zahlen sind und dass ,, minus 5 Grad'' keine Rechenanweisung ist.

Negative und ganze Zahlen

Ein Witz unter Mathematiker*innen: "In einem Raum sind 2 Kinder. 5 Kinder verlassen den Raum. Wie viele Kinder müssen den Raum wieder betreten, damit er leer ist?" Nun ja, "weniger als nichts" kann man nicht zählen. Mit natürlichen Zahlen kommen wir bei diesem Witz also nicht weiter. Aber die Mathematik bietet dafür einen Ausweg! (Für das Problem. Nicht für die Kinder!) Hier lernst du:

• was negative Zahlen sind,
• was ganze Zahlen sind und
• dass "minus 5 Grad" keine Rechenanweisung ist.

An einem Frühlingstag ist es am Nachmittag 15 Grad Celsius warm. In der Nacht fällt die Temperatur um 10 Grad Celsius. Wie kalt ist es in der Nacht? Auf dem Thermometer sieht das so aus:Am Nachmittag ist es 15 Grad Celsius warm. In der Nacht fällt die Temperatur um 10 Grad Celsius. Das Thermometer zeigt nun 5 Grad Celsius an. Die Skala eines Thermometers funktioniert wie ein Zahlenstrahl. Die Aufgabenstellung entspricht der Subtraktion $15-10=5$.Am Nachmittag endet die Quecksilbersäule beim 15. Strich vom Null-Strich aus. Die Abkühlung um 10 Grad Celsius entspricht der Subtraktion von 10 Strichen. Übrig bleiben $15-10=5$ Striche vom Null-Strich aus. Klar, oder? Was aber, wenn es einen richtigen Kälteeinbruch gibt und die Temperatur um ganze 25 Grad Celsius fällt? Auf dem Thermometer sieht das dann so aus:Am Nachmittag ist es noch 15 Grad Celsius warm. In der Nacht fällt die Temperatur um 25 Grad Celsius. Die Quecksilbersäule endet nun bei einem Wert weit "unter Null". Das Ganze wieder als Zahlenstrahl:Am Nachmittag endet die Quecksilbersäule wieder beim 15. Strich vom Null-Strich aus. Hoppla, wir müssen mehr Striche nach links zählen als im Zahlenstrahl vorhanden sind! Was nun? Das Problem ist: Wenn man eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahiert (hier: $15-25$), kann das Ergebnis keine natürliche Zahl sein. Aber was sonst? Du ahnst es sicher schon: Beim Thermometer ist nämlich schon ein zweiter Zahlenstrahl angebracht, der sich nach links öffnet. Und an diesem Zahlenstrahl kannst du das Ergebnis ablesen:Wir beginnen wieder beim 15. Strich auf dem rechten Zahlenstrahl. Zuerst zählen wir die 15 Striche bis zum Null-Strich herunter. Übrig bleiben $25-15=10$ Striche. Diese restlichen 10 Striche zählen wir dann auf dem linken Zahlenstrahl nach links. Auf dem linken Zahlenstrahl steht dort der Wert "$-10\gC$". Das sprichst du so aus: "minus 10 Grad Celsius". Als Rechnung: $15\gC-25\gC=-10\gC$, oder kurz: $15-25=-10$. Diesen zweiten Zahlenstrahl kannst du dir als Spiegelung des Zahlenstrahls der natürlichen Zahlen am Nullstrich vorstellen:Der Zahlenstrahl wird am Null-Strich gespiegelt. Die Zahlen am linken Zahlenstrahl erhalten ein Minus-Zeichen als Vorzeichen. Die Zahlen auf dem gespiegelten Zahlenstrahl links von der Null heißen negative Zahlen. Die Zahlen rechts von der Null heißen positive Zahlen. Negative Zahlen sind kleiner als Null. Positive Zahlen sind größer als Null. Negative Zahlen werden mit einem Minus-Zeichen als Vorzeichen gekennzeichnet: "$-3$", "$-10$", "$-2000$". Das sprichst du so aus: "minus Drei", "minus Zehn", "minus Zweitausend". In Rechenausdrücken ("Termen") werden negative Zahlen oft eingeklammert, um das Vorzeichen besser vom Minus-Operator zu unterscheiden: "$13+(-8)$", "$(-2)\cdot(-8)$". Weil die negativen Zahlen auf dem Zahlenstrahl Spiegelungen der positiven Zahlen sind, stehen immer zwei von ihnen in einer gegenseitigen Beziehung: Jede positive Zahl hat genau eine negative Zahl als Gegenzahl. Und umgekehrt. Eine Zahl und ihre Gegenzahl unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.Beispiele: Die Gegenzahl von $3$ ist $-3$, die Gegenzahl von $10$ ist $-10$, die Gegenzahl von $-1000$ ist $1000$. Die Null hat keine Gegenzahl. Auch die natürlichen Zahlen haben Gegenzahlen. Zusammen (und mit der Null) bilden sie eine neue Zahlenmenge: Die Menge der ganzen Zahlen besteht aus den natürlichen Zahlen, ihren Gegenzahlen und der Null.Das Zeichen für die Menge der ganzen Zahlen ist $\Z$, also ein "Z" mit verdoppeltem Schrägstrich. Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl