Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen
Mittelpunkte von Strecken
Hier lernst du: was die Mitte zwischen zwei Punkten mit der Mitte einer Strecke zu tun hat, wie lang die Hälfte einer Strecke ist und wie du den Mittelpunkt einer Strecke zeichnest.
Mittelpunkte von Strecken
Ein neuer Baum soll gepflanzt werden. Und zwar genau in der Mitte von zwei bereits vorhandenen Bäumen.
Aber wo ist diese Mitte?
Hier lernst du:
- was die Mitte zwischen zwei Punkten mit der Mitte einer Strecke zu tun hat,
- wie lang die Hälfte einer Strecke ist und
- wie du den Mittelpunkt einer Strecke zeichnest.
Die Situation vom Anfang lässt sich "mathematisch" darstellen (
modellieren):
Wir stellen die Standorte der Bäume als Punkte dar. "Und wo ist jetzt die genaue Mitte zwischen den beiden Punkten?"
Das kommt darauf an, was wir unter "Mitte" verstehen.
Fordern wir also zuerst, dass die "Mitte"
gleich weit entfernt von den beiden Punkten sein soll. Dann können wir gleich mehrere "Mitten" einzeichnen:
Da die beiden Kreisbögen denselben Radius haben, liegt ihr Schnittpunkt von $A$ und $B$ gleich weit entfernt __ also in deren "Mitte"? Das gilt auch für die Schnittpunkte anderer Paare von Kreisbögen mit jeweils gleichem Radius. Hast du es bemerkt? Alle diese Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\Bar{AB}$.
Liegen also alle Punkte auf der Mittelsenkrechten in der Mitte der Punkte $A$ und $B$?
Das wäre wenig zufriedenstellend. Wir wollen schließlich
die Mitte zwischen $A$ und $B$ herausfinden.
Es gibt aber
einen Punkt auf der Mittelsenkrechten, der sich ganz besonders auszeichnet:
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke $\Bar{AB}$.
Damit können wir festlegen, was der
Mittelpunkt einer Strecke ist:
Der
Mittelpunkt einer
Strecke ist der Punkt
auf der Strecke, der von den beiden Endpunkten
gleich weit entfernt ist.
Der Punkt $M$ liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke $\Bar{AB}$. $M$ ist damit von $A$ und $B$ gleich weit entfernt. Und $M$ liegt auf der Strecke $\Bar{AB}$. Also ist $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\Bar{AB}$.
Der Mittelpunkt einer Strecke teilt die Strecke auf eine ganz besondere Weise.
Der
Mittelpunkt einer Strecke teilt die Strecke in
zwei gleich lange Teilstrecken.
Die Strecken $\Bar{AM}$ und $\Bar{BM}$ sind gleich lang: $|\Bar{AM}|=|\Bar{BM}|$ Die Strecken $\Bar{AM}$ und $\Bar{BM}$ bilden zusammen die Strecke $\Bar{AB}$, also $|\Bar{AM}|+|\Bar{BM}|=|\Bar{AB}|$
Das festzulegen ist jetzt ganz einfach:
Die
Mitte zwischen zwei Punkten ist der Mittelpunkt der von ihnen gebildeten
Strecke.
Jetzt zu den praktischen Beispielen:
Wie zeichne ich den Mittelpunkt einer Strecke?
Aufgabe: Zeichne den Mittelpunkt der Strecke $\Bar{AB}$ mit einem Lineal:
1. Miss mit dem Lineal die Länge der Strecke. Lege dazu das Lineal an die Strecke. Der Nullpunkt muss an einem der Endpunkte liegen. Die Länge der Strecke ist $5,2\cm$, also: $|\Bar{AB}|=5,2\cm$. 2. Teile die gemessene Länge durch 2. $5,2\cm:2=2,6\cm$ 3. Zeichne auf der Strecke einen Punkt mit diesem Abstand von einem der Endpunkte. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\Bar{AB}$.
Ähnlich bestimmst du den Mittelpunkt "realer" Strecken, wie zum Beispiel die Mitte einer Tischkante oder die genaue Mitte zwischen zwei Gegenständen. Dazu nimmst du natürlich meistens einen Zollstock oder Ähnliches statt des (kurzen) Lineals.
Bei geometrischen Zeichnungen auf einem Blatt Papier kannst du den Mittelpunkt einer Strecke genauer und einfacher mit Zirkel und Lineal zeichnen:
Aufgabe: Zeichne den Mittelpunkt der Strecke $\Bar{AB}$ mit Zirkel und Lineal:
1. Stich den Zirkel in einen Endpunkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Abstands zwischen den Endpunkten. 2. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 3. Stich den Zirkel mit derselben Öffnung in den zweiten Endpunkt und ziehe auch um diesen Punkt einen Kreisbogen. 4. Zeichne eine Gerade durch die zwei Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. 5. Markiere den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Strecke $\Bar{AB}$ mit einem Punkt $M$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\Bar{AB}$.
Um eine
Strecke mit Zirkel und Lineal
zu halbieren, zeichne ihre
Mittelsenkrechte.
Der
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke halbiert die Strecke.
Es gilt: $|\Bar{AC}|=|\Bar{BC}|$ und $|\Bar{AC}|=\frac{1}{2}|\Bar{AB}|$
Den Mittelpunkt zwischen den zwei Bäumen können wir natürlich nicht mit einem Zirkel bestimmen (oder nur mit einem sehr, sehr großen). Aber mit zwei Schnüren:
1. "Zeichne" die Strecke zwischen den beiden Bäumen, indem du eine Schnur straff zwischen ihnen spannst. 2. Miss den Abstand zwischen den Bäumen mit einer zweiten straff gespannten Schnur. 3. Halbiere die "Abstandsschnur", indem du sie doppelt nimmst. Halte die Schlaufe der straffen, doppelt genommenen Schnur auf die "Streckenschnur". Die Schlaufe liegt jetzt genau in der Mitte zwischen den beiden Bäumen.
Die Mittelpunkte ganz großer Strecken kannst du mit einer langen Schnur bestimmen:
Auf einem Fußballplatz sind bereits alle Außenlinien mit Kreide gezeichnet.
Aufgabe: Wie können John und Ela nur mit einer Schnur und Kreide die Mittelpunkte der langen Seitenlinien markieren?
So kannst du vorgehen: 1. John hält die Schnur an einem Eckpunkt fest. Ela spannt die Schnur straff bis zum anderen Eckpunkt und macht dort einen Knoten in die Schnur. 2. Ela bringt den Knoten zu Johns Ecke. John hält nun Schnurende und Knoten an die Ecke. 3. Ela zieht die so entstandene Schlaufe entlang der Seitenlinie stramm. Am Ende der Schlaufe markiert sie den Mittelpunkt der Seitenlinie. 4. Das Gleiche wiederholen sie an der anderen langen Seitenlinie. Nun können sie die Schnur straff zwischen den beiden neuen Punkten spannen und die Mittellinie einzeichnen.
Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen