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Parallelen

Hier lernst du: was Parallelen sind, welche Eigenschaften Parallelen haben und wie sich das auf Strecken und Halbgeraden übertragen lässt.

Parallelen

Nehmen wir mal an, die Eisenbahnstrecke ginge immer weiter geradeaus, unendlich weit (und die Erde sei flach). Wo begegnen sich die beiden Schienen? "Natürlich nirgendwo und niemals! Der Abstand der beiden Schienen bleibt immer gleich." Genau! Denn sie verlaufen "parallel". Hier lernst du: Sieh dir die Animation an:1. Wir zeichnen eine Gerade. 2. Wir zeichnen zwei (unterschiedliche) Senkrechten zur Geraden. Die Frage ist: Kreuzen sich diese beiden Senkrechten irgendwo? Nehmen wir mal an, die beiden Senkrechten würden sich irgendwo kreuzen. Wir nennen den Schnittpunkt Punkt $P$. Irgendwo muss der Punkt $P$ liegen. Zeichnen wir ihn also einfach mal irgendwo hin: Zeichnen wir eine Senkrechte ein, die durch $P$ läuft. Um eine andere Senkrechte zu zeichnen, müssen wir das Geodreieck verschieben. Aber: Wenn wir mit dieser Lage des Geodreiecks die Senkrechte einzeichnen, verläuft sie nicht mehr durch den Punkt $P$! Probieren wir es mit anderen Positionen des Geodreiecks. Egal, wohin wir das Geodreieck schieben: Die Senkrechte verläuft nicht mehr durch den Punkt $P$. Nur wenn wir das Geodreieck genau auf die erste Senkrechte schieben, können wir wieder eine Senkrechte durch $P$ zeichnen. Du hast gemerkt: Du kannst keine zwei unterschiedliche Senkrechten zu einer Geraden zeichnen, die durch denselben Punkt gehen. "Und wenn dieser Punkt sehr viel weiter von der Geraden entfernt wäre?" Auch dann nicht. Stelle dir einfach vor, du nimmst dann eben ein riesiges Geodreieck. Das Ergebnis wäre dasselbe. Zwei unterschiedliche Senkrechten zu einer Geraden haben also keinen gemeinsamen Punkt. Das macht sie zu etwas Besonderem. Und wie so oft bekommen sie daher einen eigenen Namen: Parallelen. Parallelen sind zwei (oder mehr) Geraden, die entweder keinen gemeinsamen Punkt haben (die sich also nirgendwo kreuzen, auch nicht in noch so großer Entfernung) oder die identisch sind. Man sagt dann auch: Die Geraden sind parallel.Dass zwei Geraden parallel sind, schreibst du mit den Bezeichnungen der Geraden und zwei senkrechten Strichen dazwischen:$a \parallel b$ Wenn du schreiben willst, dass zwei Geraden nicht parallel sind, streichst du die beiden senkrechten Striche durch:$b \nparallel c$ Parallelen haben einige interessante Eigenschaften:
  1. Zwei parallele Geraden haben gemeinsame Senkrechten.Für die Parallelen $g$ und $h$ gilt also:
    Wenn $s$ eine Senkrechte zu $g$ ist, dann ist $s$ auch eine Senkrechte zu $h$, oder kurz: Wenn $s \perp g$, dann auch $s \perp h$.
  1. Wenn eine Gerade zu zwei anderen Geraden parallel ist, sind diese auch untereinander parallel. Wenn also $\style[green]{a \parallel b}$ und $\style[blue]{a \parallel c}$, dann ist auch $\style[red]{b \parallel c}$:
"Können denn auch Strecken und Halbgeraden parallel sein? Nämlich dann, wenn sie sich nicht kreuzen?" Ja und nein. Um parallel zu sein, reicht es bei Strecken und Halbgeraden nicht, dass sie sich nicht kreuzen. Es kommt darauf an, ob die Geraden parallel sind, auf denen die Strecken und Halbgeraden liegen. Zwei Strecken oder Halbgeraden (oder Geraden) sind parallel, wenn die Geraden, auf denen sie liegen, parallel sind. Die beiden Strecken $a$ und $b$ haben keinen gemeinsamen Punkt: Wenn man sie aber zu Geraden verlängert, kreuzen sich diese Geraden. Also sind die Geraden nicht parallel, und damit sind auch beide Strecken nicht parallel: $a \nparallel b$. Parallele Strecken und Kanten gibt es sehr oft in der "Realität": Die gegenüberliegenden Seiten eines Papierblatts sind meist parallel, ebenso Tischkanten, Regalbretter, die Kanten von Fließen usw. Überall da, wo es rechte Winkel gibt, gibt es meist auch Parallelen. Sieh dich einfach mal um! Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

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