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Potenzen

Hier lernst du: was eine Potenz ist, was eine Basis und ein Exponent ist, und du lernst die Potenzwerte von Potenzen mit einigen wichtigen Basen und Exponenten.

Potenzen

Betrachte die Addition $4+4+4+4+4+4$. Wie kannst du diese Rechnung "kürzer" schreiben? Na klar, als Multiplikation: $4+4+4+4+4+4$ ist dasselbe wie $6\cdot4$. Aber gibt es etwas ähnliches für die Multiplikation? Lässt sich also zum Beispiel $4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4$ irgendwie "kürzer" schreiben? Hier lernst du: Wie kannst du die Rechnung $4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4$ "kürzer" schreiben? Also eine Multiplikation mehrerer gleicher Faktoren? Die "Kurzschreibweise" für zwei gleiche Faktoren hast du schon kennengelernt: die Schreibweise als Quadratzahl: Ganz genauso geht es auch mit mehr (oder weniger) als zwei Faktoren: Eine Potenz ist die Kurzform für eine Multiplikation aus gleichen Faktoren. Eine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen. Das liest du so: "3 hoch 4 ist gleich 81." §bull Die Basis ist der Faktor der Multiplikation. §bull Der Exponent gibt an, wie oft der Faktor mit sich selbst multipliziert werden soll. §bull Basis und Exponent bilden zusammen die Potenz. §bull Der Wert der Potenz (also das Produkt der Multiplikation) heißt Potenzwert. Kommen in einer Rechnung Potenzen zusammen mit anderen Rechenoperationen vor, gibt es eine ganz wichtige Rechenregel: Potenzen musst du immer zuerst (aber nach den Klammern) ausrechnen!
$4+3^2$$=4+(3^2)=4+(3\cdot3)=4+9=13$
$2\cdot5^3$$=2\cdot(5^3)=2\cdot(5\cdot5\cdot5)=2\cdot125=250$
$5^3+2$$=(5^3)+2=(5\cdot5\cdot5)+2=125+2=127$
$3^2\cdot4^2$$=(3^2)\cdot(4^2)=(3\cdot3)\cdot(4\cdot4)=9\cdot16=144$
Wenn eine andere Rechenreihenfolge gelten soll, musst du Klammern setzen:
$(4+3)^2$$=7^2=7\cdot7=49$
$(2\cdot5)^3$$=10^3=10\cdot10\cdot10=1\sep000$
$5^{(3+1)}$$=5^4=5\cdot5\cdot5\cdot5=625$
$(3^2\cdot4)^2$$=\[(3^2)\cdot4\]^2=(3\cdot3\cdot4)^2=36^2=1\sep296$
Manche Potenzen haben besondere Namen: Mit Potenzen kann man natürlich auch rechnen. Was kommt zum Beispiel heraus, wenn man eine Potenz mit ihrer eigenen Basis multipliziert? Ein Beispiel:Schreibe die Potenz als Multiplikation. Die Klammern kannst du weglassen. Die rechte Seite kannst du wieder als Potenz schreiben. Du siehst: Die Basis bleibt gleich und der Exponent erhöht sich um 1. Multiplizierst du eine Potenz mit ihrer Basis, erhöht sich der Exponent um 1: $5\cdot5^{\style[red]{3}}=5^{\style[red]{4}}$ Manche Exponenten machen es dir ganz leicht, den Potenzwert zu bestimmen: Es folgen zwei kleinere Beweise für Matheprofis. Du kannst sie durch Anklicken von "Weiter zum Test!" überspringen. Aber sie sind spannend! Wenn man's genau nimmt, ist zum Beispiel $\style[bold]{5^1\ }$ gar keine Kurzform für eine Multiplikation! Es fehlt nämlich ein zweiter Faktor! Dass dennoch $5^1=5$ ist, beweisen wir mit einem kleinen Trick: Multipliziere die Potenz $\style[bold]{5^1}$ mit ihrer Basis $\style[bold]{5}$. Du weißt jetzt, dass sich dann der Exponent um 1 erhöht, also:$5\cdot5^{\style[red]{1}}=5^{\style[red]{2}}$ Die rechte Seite kannst du als Multiplikation schreiben: $5\cdot\style[red]{5^1}=5^2=5\cdot\style[red]{5}$ Diese Gleichung stimmt nur, wenn der Potenzwert von $\style[red]{5^1}$ mit $\style[red]{5}$ übereinstimmt. Also ist $\style[red]{5^1}=\style[red]{5}$. Und warum ist eine Potenz mit dem Exponenten 0 immer gleich 1? Für den Beweis kannst du denselben Trick anwenden. Multipliziere die Potenz mit ihrer Basis, zum Beispiel:$5\cdot\style[red]{5^0}=5^1=5$, wie wir eben bewiesen haben. Damit die Gleichung stimmt, kann an der Stelle der Potenz $\style[red]{5^0}$ nur eine $\style[red]{1}$ stehen, denn nur $5\cdot\style[red]{1}=5$. Also ist $\style[red]{5^0}=\style[red]{1}$. Quadratzahlen

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