Potenzen

Hier lernst du:

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    Hier lernst du: was eine Potenz ist, was eine Basis und ein Exponent ist, und du lernst die Potenzwerte von Potenzen mit einigen wichtigen Basen und Exponenten.

    Potenzen


    Betrachte die Addition $4+4+4+4+4+4$.
    Wie kannst du diese Rechnung "kürzer" schreiben?

    Alle Summanden sind gleich. Also kannst du die Addition als Multiplikation schreiben:
    $4+4+4+4+4+4=6\cdot4$.


    Hm, gibt es vielleicht etwas Ähnliches für eine Multiplikation mit mehreren gleichen Faktoren?


    Hier lernst du:



    Wie kannst du eine Multiplikation mit mehreren gleichen Faktoren "kürzer" schreiben?


    Die "Kurzschreibweise" für zwei gleiche Faktoren hast du schon kennengelernt /- als Quadratzahl mit einer kleinen, hochgestellten "2":


    Ganz ähnlich ist die "Kurzschreibweise" für eine Multiplikation mit mehr (oder weniger) als zwei gleichen Faktoren.
    Klein und hochgestellt schreibst du hier die Anzahl der gleichen Faktoren:

    Ist es dir aufgefallen? Bei einer Quadratzahl steht klein und hochgestellt deshalb die "2", weil eine Quadratzahl aus 2 gleichen Faktoren besteht!


    Die Rechenausdrücke $2^3$, $5^4$, ... heißen Potenzen: Eine Potenz ist die Kurzform für eine Multiplikation mit gleichen Faktoren.
    Eine Potenz setzt sich aus einer Basis und einem Exponenten zusammen.

    Das liest du so: "3 hoch 4 ist gleich 81." §bull Die Basis ist der Faktor der Multiplikation. §bull Der Exponent gibt an, wie oft der Faktor mit sich selbst multipliziert werden soll. §bull Basis und Exponent bilden zusammen die Potenz. §bull Der Wert der Potenz (also das Produkt der Multiplikation) heißt Potenzwert.



    Für Potenzen gilt die wichtige Rechenregel: Potenzen musst du immer zuerst ausrechnen, also vor allen anderen Rechenoperationen!

    Wenn eine andere Rechenreihenfolge gelten soll, musst du Klammern setzen.

    Ist der Exponent ein Rechenausdruck, musst du ihn nicht unbedingt einklammern:
    $\tab5^{(3+1)}=5^{3+1}$
    Die hochgestellte Darstellung zeigt an, dass der Rechenausdruck "$3+1$" als Ganzes der Exponenten ist.


    Manche Potenzen haben besondere Namen:

    Mit Potenzen kann man natürlich auch rechnen. Was kommt zum Beispiel heraus, wenn man eine Potenz mit ihrer eigenen Basis multipliziert? Ein Beispiel:

    Schreibe die Potenz als Multiplikation. Die Klammern kannst du weglassen. Die rechte Seite kannst du wieder als Potenz schreiben. Du siehst: Die Basis bleibt gleich und der Exponent erhöht sich um 1.



    Multiplizierst du eine Potenz mit ihrer Basis, erhöht sich der Exponent immer um 1.


    Manche Exponenten machen es dir ganz leicht, den Potenzwert zu bestimmen: Ist der Exponent 1, ist der Potenzwert gleich der Basis.

    Ist der Exponent 0, ist der Potenzwert immer 1.

    Es folgen zwei kleinere Beweise für Matheprofis.
    Du kannst sie durch Anklicken von "Weiter zum Test!" überspringen. Aber sie sind spannend!


    Wenn man's genau nimmt, ist zum Beispiel $\style[bold]{5^1\ }$ gar keine Kurzform für eine Multiplikation! Es fehlt nämlich ein zweiter Faktor!
    Dass dennoch $5^1=5$ ist, beweisen wir mit einem kleinen Trick: Multipliziere die Potenz $\style[bold]{5^1}$ mit ihrer Basis $\style[bold]{5}$. Du weißt jetzt, dass sich dann der Exponent um 1 erhöht, also:$5\cdot5^{\style[red]{1}}=5^{\style[red]{2}}$
    Die rechte Seite kannst du als Multiplikation schreiben: $5\cdot\style[red]{5^1}=5^2=5\cdot\style[red]{5}$
    Diese Gleichung stimmt nur, wenn der Potenzwert von $\style[red]{5^1}$ mit $\style[red]{5}$ übereinstimmt. Also ist $\style[red]{5^1}=\style[red]{5}$.

    Und warum ist eine Potenz mit dem Exponenten 0 immer gleich 1? Für den Beweis kannst du denselben Trick anwenden. Multipliziere die Potenz mit ihrer Basis, zum Beispiel:$5\cdot\style[red]{5^0}=5^1=5$, wie wir eben bewiesen haben.
    Damit die Gleichung stimmt, kann an der Stelle der Potenz $\style[red]{5^0}$ nur eine $\style[red]{1}$ stehen, denn nur $5\cdot\style[red]{1}=5$. Also ist $\style[red]{5^0}=\style[red]{1}$.
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