Terme umformen (1)

Hier lernst du: was eine Termumformung ist und wie du Terme zu gleichwertigen (äquivalenten) Termen umformen kannst. Hier lernst du, wie du Terme umformen kannst. Rechenregeln, Kommutativgesetz, Termumformung, Punkt vor Strich, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Terme umformen (1)

Stelle dir einen Klumpen Knete vor. Knete kannst du formen: zu einer Kugel, einem Würfel, einer langen Wurst, einer Spirale. Und du kannst den Klumpen in mehrere kleinere Klümpchen teilen. Die du auch wieder jedes für sich umformen kannst. Doch egal, wie du die Knete umformst - was immer gleich bleibt ist ihr Gewicht. Hier lernst du:

was eine Termumformung ist und
wie du Terme zu gleichwertigen (äquivalenten) Termen umformen kannst.

Knete kannst du umformen. Und einen Term? Wenn du Knete umformst, bleibt ihr Gewicht gleich. Terme haben kein Gewicht. Aber Terme haben einen Wert: Der Wert eines Terms ist die Zahl, die herauskommt, wenn man den Term vollständig berechnet.

Der Wert des Terms "$5+3$" ist: $8$.
Der Wert des Terms "$2\cdot4$" ist: $8$.
Der Wert des Terms "$2+4\cdot5-3$" ist: $19$.

Ist es dir aufgefallen? Unterschiedliche Terme können denselben Wert haben. Terme mit demselben Wert heißen gleichwertig oder äquivalent. Gleichwertige Terme können mit einem Gleichheitszeichen verbunden werden.

$\align[9:r]{5+3}=2\cdot4$
$\align[9:r]{5+3}=8$
$\align[9:r]{4:2+3}=10-5$

Und genau daraus /- dass Terme gleichwertig sein können /- leiten wir jetzt mal die "Knetregel" ab: Durch (korrektes) Umformen eines Terms erzeugst du gleichwertige Terme. Leider ist diese Umformung nicht ganz so frei möglich wie bei der Umformung eines Klumpens Knete. Sondern sie muss bestimmten Regeln folgen. Also korrekt sein. Die Regeln, nach denen du Terme umformen kannst, heißen Rechenregeln. Viele davon kennst du sicher schon. Aber es schadet ja nicht, sie noch einmal zu wiederholen! Fangen wir mit etwas ganz einfachem an: den Grundrechenarten. Ja, klar!

Grundrechenarten

$\blacksquare3+4$ $\align[13]{\blacksquare3+4}$| addieren $\align[3]{}\align[10]{=7}$ $\,$ $\blacksquare8-3$ $\align[13]{\blacksquare8-3}$| subtrahieren $\align[3]{}\align[10]{=5}$ $\,$ $\blacksquare3\cdot4$ $\align[13]{\blacksquare3\cdot4}$| multiplizieren $\align[3]{}\align[10]{=12}$ $\,$ $\blacksquare12:4$ $\align[13]{\blacksquare12:4}$| dividieren $\align[3]{}\align[10]{=3}$ $/,$ Zu den einfachsten Termumformungen gehört auch, den Term in eine andere Schreibweise umzuformen - ganz ohne zu rechnen: Multiplikation und Potenz $\align[13]{\blacksquare4\cdot4}$| Multiplikation als Division und Bruch $\align[13]{\blacksquare2:9}$| Division als Oft kommen in Termen gleich mehrere Rechenoperationen vor. Dann ist es wichtig, sie in der richtigen Reihenfolge auszuführen. Das kennst du sicher schon: 1. Klammern zuerst! $\blacksquare3\cdot(4+2)$ $\align[13]{\blacksquare3\cdot(4+2)}$| in Klammer addieren $\align[3]{}\align[10]{=3\cdot6}$ $\,$ 2. Dann Potenzen! $\blacksquare3+4^2$ $\align[13]{\blacksquare3+4^2}$| potenzieren $\align[3]{}\align[10]{=3+16}$ $\,$ 3. Dann Punktrechnung vor Strichrechnung! $\blacksquare3+4\cdot2$ $\align[13]{\blacksquare3+4\cdot2}$| multiplizieren $\align[3]{}\align[10]{=3+8}$ $\,$ 4. Dann von links nach rechts! $\blacksquare9-2+4$ $\align[13]{\blacksquare9-2+4}$| subtrahieren $\align[3]{}\align[10]{=7+4}$ $\align[3]{}\align[10]{=7+4}$| addieren $\align[3]{}\align[10]{=11}$ $/,$ Bei Potenzen und Brüchen gibt es noch eine Besonderheit: Terme in Exponenten, Zählern und Nennern müssen zuerst ausgerechnet werden:Potenzen: $\blacksquare2^{3+1}$ $\align[13]{\blacksquare2^{3+1}}$| Exponent berechnen $\align[3]{}\align[10]{=2^4}$ $\,$ Brüche: $\blacksquare\frac{1+2}{4}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{1+2}{4}}$| in Zähler addieren $\align[3]{}\align[10]{=\frac{3}{4}}$ $\,$ $\blacksquare\frac{3}{10-3}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{3}{10-3}}$| in Nenner subtrahieren $\align[3]{}\align[10]{=\frac{3}{7}}$ $/,$ Bei Brüchen gilt außerdem: Brüche kannst du jederzeit erweitern oder kürzen, ohne dass sich der Wert des Terms ändert:$\blacksquare\frac{2}{3}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{2}{3}}$| mit 2 erweitern $\align[3]{}\align[10]{=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\frac{4}{6}}$ $/,$ $\blacksquare\frac{4}{12}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{4}{12}}$| durch 4 kürzen $\align[3]{}\align[10]{=\frac{4:4}{12:4}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\frac{1}{3}}$ $/,$ Eine weitere wichtige Umformungsregel hat sogar einen eigenen Namen:

Kommutativgesetz

Seien $a$ und $b$ zwei beliebige Zahlen. Dann gilt:$\blacksquare\align[6:r]{a+b}=b+a$ $\blacksquare\align[6:r]{a\cdot b}=b\cdot a$ Das heißt: Bei der Addition können die Summanden und bei der Multiplikation die Faktoren miteinander vertauscht werden. Addition $\align[13]{\blacksquare\style[red]{4}+\style[green]{3}}$| Kommutativgesetz $\align[3]{}\align[10]{=\style[green]{3}+\style[red]{4}}$ $\,$ Multiplikation $\align[13]{\blacksquare\style[red]{4}\cdot\style[green]{3}}$| Kommutativgesetz $\align[3]{}\align[10]{=\style[green]{3}\cdot\style[red]{4}}$ $\,$ Wichtig ist, dass das Kommutativgesetz nicht für die Subtraktion und die Division gilt! Aber: Du kannst eine Subtraktion immer in die Addition mit der Gegenzahl umwandeln, und eine Division in die Multiplikation mit dem Kehrwert. Dann ist die Anwendung des Kommutativgesetzes wieder möglich. Subtraktion $\align[13]{\blacksquare\style[red]{8}-\style[green]{3}}$ $\align[13]{\blacksquare\style[red]{8}-\style[green]{3}}$| Subtraktion in Addition $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{8}+\style[green]{(-3)}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{8}+\style[green]{(-3)}}$| Kommutativgesetz $\align[3]{}\align[10]{=\style[green]{(-3)}+\style[red]{8}}$ $\,$ Division $\align[13]{\blacksquare\style[red]{9}:\frac{\style[purple]{2}}{\style[green]{3}}}$ $\align[13]{\blacksquare\style[red]{9}:\frac{\style[purple]{2}}{\style[green]{3}}}$| Division in Multiplikation $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{9}\cdot\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{9}\cdot\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}}$| Kommutativgesetz $\align[3]{}\align[10]{=\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}\cdot\style[red]{9}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}\cdot\style[red]{9}}$ $\,$ Zum Schluss noch ein Beispiel für eine mehrschrittige Umformung eines Terms: Aufgabe: Wie viel ist $(2+4\cdot3^2):5$? Lösungsweg:$\blacksquare(2+4\cdot3^2):5$ $\align[16]{\blacksquare(2+4\cdot3^2):5}$| Potenz ausrechnen $\align[3]{}\align[13]{=(2+4\cdot9):5}$ $\align[3]{}\align[13]{=(2+4\cdot9):5}$| in Klammer multiplizieren $\align[3]{}\align[13]{=(2+36):5}$ $\align[3]{}\align[13]{=(2+36):5}$| in Klammer addieren $\align[3]{}\align[13]{=38:5}$ $\align[3]{}\align[13]{=38:5}$| als Bruch schreiben $\align[3]{}\align[13]{=\frac{38}{5}}$ Das Beispiel zeigt dir, wie du eine mehrschrittige Term-Umformung übersichtlich aufschreibst:

Schreibe jeden neuen Term in eine neue Zeile.
Setze immer ein Gleichheitszeichen vor den neuen Term, um die Gleichwertigkeit (Äquivalenz) zum vorangehenden Term darzustellen.
Beschreibe hinter einem Term getrennt durch einen senkrechten Strich $|$ ganz kurz die nächste Umformung.

Mit dieser Schreibweise lassen sich mehrschrittige Term-Umformungen leicht von links nach rechts und von oben nach unten lesen und verstehen:

$\align[16]{(2+4\cdot3^2):5}$| Potenz ausrechnen
$\align[2]{}\align[14]{=(2+4\cdot9):5}$| in Klammer multiplizieren
$\align[2]{}\align[14]{=(2+36):5}$| in Klammer addieren
$\align[2]{}\align[14]{=38:5}$| als Bruch schreiben
$\align[2]{}\align[14]{=\frac{38}{5}}$

Wen du geübter bist, brauchst du eindeutige Schritte nicht mehr unbedingt zu beschreiben. Auch kannst du dann manchmal mehrere Schritte zu einem Schritt zusammenfassen:

$\align[16]{(2+4\cdot3^2):5}$| Klammer ausrechnen
$\align[2]{}\align[14]{=38:5}$
$\align[2]{}\align[14]{=\frac{38}{5}}$

Achte aber immer darauf, dass die Term-Umformung übersichtlich und leicht nachvollziehbar bleibt! Denn nur so kannst du mögliche Fehler schnell erkennen! Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Was ist ein Term?