Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz
Was ist eine Variable?
Was ist ein Term?
Terme umformen (1)
Hier lernst du: was eine Termumformung ist und wie du Terme zu gleichwertigen (äquivalenten) Termen umformen kannst. Hier lernst du, wie du Terme umformen kannst: Kommutativgesetz, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
Beschreibung: Hier lernst du, wie du Terme umformen kannst: Kommutativgesetz, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
Terme umformen (1)
Stelle dir einen Klumpen Knete vor.
Knete kannst du formen: zu einer Kugel, einem Würfel, einer langen Wurst, einer Spirale. Und du kannst den Klumpen in mehrere kleinere Klümpchen teilen. Die du auch wieder jedes für sich umformen kannst.
Doch egal, wie du die Knete umformst - was immer gleich bleibt ist ihr Gewicht.
Hier lernst du:
- was eine Termumformung ist und
- wie du Terme zu gleichwertigen (äquivalenten) Termen umformen kannst.
Knete kannst du umformen. Und einen
Term?
Wenn du Knete umformst, bleibt ihr Gewicht gleich. Terme haben kein Gewicht.
Aber Terme haben einen
Wert:
Der
Wert eines Terms ist die Zahl, die herauskommt, wenn man den Term
vollständig berechnet.
- Der Wert des Terms "$5+3$" ist: $8$.
- Der Wert des Terms "$2\cdot4$" ist: $8$.
- Der Wert des Terms "$2+4\cdot5-3$" ist: $19$.
Ist es dir aufgefallen? Unterschiedliche Terme können denselben Wert haben.
Terme mit demselben Wert heißen
gleichwertig oder
äquivalent.
Gleichwertige Terme können mit einem
Gleichheitszeichen verbunden werden.
- $\align[9:r]{5+3}=2\cdot4$
- $\align[9:r]{5+3}=8$
- $\align[9:r]{4:2+3}=10-5$
Und genau daraus /- dass Terme gleichwertig sein können /- leiten wir jetzt mal die "Knetregel" ab:
Durch (korrektes)
Umformen eines Terms erzeugst du
gleichwertige Terme.
Leider ist diese Umformung nicht ganz so frei möglich wie bei der Umformung eines Klumpens Knete. Sondern sie muss bestimmten
Regeln folgen. Also
korrekt sein.
Die Regeln, nach denen du Terme umformen kannst, heißen
Rechenregeln.
Viele davon kennst du sicher schon. Aber es schadet ja nicht, sie noch einmal zu wiederholen!
Fangen wir mit etwas ganz einfachem an:
Grundrechenarten ausführen.
Ja, klar!
Grundrechenarten ausführen
$\blacksquare3+4$ $\align[13]{\blacksquare3+4}$| addieren $\align[3]{}\align[10]{=7}$ $\,$ $\blacksquare8-3$ $\align[13]{\blacksquare8-3}$| subtrahieren $\align[3]{}\align[10]{=5}$ $\,$ $\blacksquare3\cdot4$ $\align[13]{\blacksquare3\cdot4}$| multiplizieren $\align[3]{}\align[10]{=12}$ $\,$ $\blacksquare12:4$ $\align[13]{\blacksquare12:4}$| dividieren $\align[3]{}\align[10]{=3}$
Zu den einfachsten Termumformungen gehört auch, den Term in eine
andere Schreibweise umzuformen - (fast) ganz ohne zu rechnen:
Multiplikation und Potenz $\align[13]{\blacksquare4\cdot4}$| Multiplikation als Division und Bruch $\align[13]{\blacksquare2:9}$| Division als
Oft kommen in Termen gleich
mehrere Rechenoperationen vor. Dann ist es wichtig, sie in der richtigen Reihenfolge auszuführen. Das kennst du sicher schon:
1. Klammern zuerst! $\blacksquare3\cdot(4+2)$ $\align[13]{\blacksquare3\cdot(4+2)}$| in Klammer addieren $\align[3]{}\align[10]{=3\cdot6}$ $\,$ 2. Dann Potenzen! $\blacksquare3+4^2$ $\align[13]{\blacksquare3+4^2}$| potenzieren $\align[3]{}\align[10]{=3+16}$ $\,$ 3. Dann Punktrechnung vor Strichrechnung! $\blacksquare3+4\cdot2$ $\align[13]{\blacksquare3+4\cdot2}$| multiplizieren $\align[3]{}\align[10]{=3+8}$ $\,$ 4. Dann von links nach rechts! $\blacksquare9-2+4$ $\align[13]{\blacksquare9-2+4}$| subtrahieren $\align[3]{}\align[10]{=7+4}$ $\align[3]{}\align[10]{=7+4}$| addieren $\align[3]{}\align[10]{=11}$
Bei Potenzen und Brüchen gibt es noch eine Besonderheit:
Terme in
Exponenten, Zählern und Nennern müssen zuerst ausgerechnet werden:
Potenzen: $\blacksquare2^{3+1}$ $\align[13]{\blacksquare2^{3+1}}$| Exponent berechnen $\align[3]{}\align[10]{=2^4}$ $\,$ Brüche: $\blacksquare\frac{1+2}{4}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{1+2}{4}}$| in Zähler addieren $\align[3]{}\align[10]{=\frac{3}{4}}$ $\,$ $\blacksquare\frac{3}{10-3}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{3}{10-3}}$| in Nenner subtrahieren $\align[3]{}\align[10]{=\frac{3}{7}}$
Bei Brüchen gilt außerdem:
Brüche kannst du jederzeit
erweitern oder kürzen, ohne dass sich der Wert des Terms ändert:
$\blacksquare\frac{2}{3}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{2}{3}}$| mit 2 erweitern $\align[3]{}\align[10]{=\frac{2\cdot2}{3\cdot2}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\frac{4}{6}}$ $/,$ $\blacksquare\frac{4}{12}$ $\align[13]{\blacksquare\frac{4}{12}}$| durch 4 kürzen $\align[3]{}\align[10]{=\frac{4:4}{12:4}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\frac{1}{3}}$
Eine weitere wichtige Umformungsregel hat sogar einen eigenen Namen:
Kommutativgesetz
Seien $a$ und $b$ zwei beliebige Zahlen. Dann gilt:
$\blacksquare\align[6:r]{a+b}=b+a$
$\blacksquare\align[6:r]{a\cdot b}=b\cdot a$
Das heißt: Bei der
Addition können die
Summanden und bei der
Multiplikation die
Faktoren miteinander
vertauscht werden.
Addition $\align[13]{\blacksquare\style[red]{4}+\style[green]{3}}$| Summanden tauschen $\align[3]{}\align[10]{=\style[green]{3}+\style[red]{4}}$ $\,$ Multiplikation $\align[13]{\blacksquare\style[red]{4}\cdot\style[green]{3}}$| Faktoren tauschen $\align[3]{}\align[10]{=\style[green]{3}\cdot\style[red]{4}}$
Wichtig ist, dass das Kommutativgesetz
nicht für die Subtraktion und die Division gilt! Aber:
Du kannst eine
Subtraktion immer in die
Addition mit der Gegenzahl umwandeln, und eine
Division in die
Multiplikation mit dem Kehrwert.
Dann ist die Anwendung des Kommutativgesetzes wieder möglich.
Subtraktion $\align[13]{\blacksquare\style[red]{8}-\style[green]{3}}$ $\align[13]{\blacksquare\style[red]{8}-\style[green]{3}}$| Subtraktion in Addition $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{8}+\style[green]{(-3)}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{8}+\style[green]{(-3)}}$| Summanden tauschen $\align[3]{}\align[10]{=\style[green]{(-3)}+\style[red]{8}}$ $\,$ Division $\align[13]{\blacksquare\style[red]{9}:\frac{\style[purple]{2}}{\style[green]{3}}}$ $\align[13]{\blacksquare\style[red]{9}:\frac{\style[purple]{2}}{\style[green]{3}}}$| Division in Multiplikation $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{9}\cdot\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\style[red]{9}\cdot\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}}$| Faktoren tauschen $\align[3]{}\align[10]{=\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}\cdot\style[red]{9}}$ $\align[3]{}\align[10]{=\frac{\style[green]{3}}{\style[purple]{2}}\cdot\style[red]{9}}$
Zum Schluss noch ein Beispiel für eine mehrschrittige Umformung eines Terms:
Aufgabe: Wie viel ist $(2+4\cdot3^2):5$?
Lösungsweg:$\blacksquare(2+4\cdot3^2):5$ $\align[16]{\blacksquare(2+4\cdot3^2):5}$| Potenz ausrechnen $\align[3]{}\align[13]{=(2+4\cdot9):5}$ $\align[3]{}\align[13]{=(2+4\cdot9):5}$| in Klammer multiplizieren $\align[3]{}\align[13]{=(2+36):5}$ $\align[3]{}\align[13]{=(2+36):5}$| in Klammer addieren $\align[3]{}\align[13]{=38:5}$ $\align[3]{}\align[13]{=38:5}$| als Bruch schreiben $\align[3]{}\align[13]{=\frac{38}{5}}$
Das Beispiel zeigt dir, wie du eine mehrschrittige Term-Umformung übersichtlich aufschreibst:
- Schreibe jeden neuen Term in eine neue Zeile.
- Setze immer ein Gleichheitszeichen vor den neuen Term, um die Gleichwertigkeit (Äquivalenz) zum vorangehenden Term darzustellen.
- Beschreibe hinter einem Term getrennt durch einen senkrechten Strich $|$ ganz kurz die nächste Umformung.
Mit dieser Schreibweise lassen sich mehrschrittige Term-Umformungen leicht
von links nach rechts und
von oben nach unten lesen und verstehen:
- $\align[16]{(2+4\cdot3^2):5}$| Potenz ausrechnen
$\align[2]{}\align[14]{=(2+4\cdot9):5}$| in Klammer multiplizieren
$\align[2]{}\align[14]{=(2+36):5}$| in Klammer addieren
$\align[2]{}\align[14]{=38:5}$| als Bruch schreiben
$\align[2]{}\align[14]{=\frac{38}{5}}$
Wen du geübter bist, brauchst du
eindeutige Schritte nicht mehr unbedingt zu beschreiben. Auch kannst du dann manchmal mehrere Schritte zu einem Schritt zusammenfassen:
- $\align[16]{(2+4\cdot3^2):5}$| Klammer ausrechnen
$\align[2]{}\align[14]{=38:5}$
$\align[2]{}\align[14]{=\frac{38}{5}}$
Achte aber immer darauf, dass die Term-Umformung
übersichtlich und leicht nachvollziehbar bleibt!
Denn nur so kannst du
mögliche Fehler schnell erkennen!
Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz
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