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Assoziativ- und Distributivgesetz

Hier lernst du: wie du Klammern in Termen mit negativen Zahlen setzt oder entfernst und was das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz ist. Hier lernst du, Terme mit dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz umzuformen und zu vereinfachen.

Assoziativ- und Distributivgesetz

Es gibt Zahnklammern, Haarklammern, Nasenklammern, Wäscheklammern, Heftklammern, Büroklammern und und und ... Und es gibt Klammern in Rechenausdrücken (Termen). Und Regeln, wie sie gesetzt und entfernt werden können. Hier lernst du: Eine der wichtigsten Rechenregeln in der Mathematik hast du sicher schon gelernt: Klammern immer zuerst ausrechnen!$\blacksquare3\cdot(4+2)$ $\align[16]{\blacksquare3\cdot(4+2)}$| in Klammer addieren $\align[4]{}\align[12]{=3\cdot6}$ $\align[4]{}\align[12]{=3\cdot6}$| multiplizieren $\align[4]{}\align[12]{=18}$ Aber wann darfst du Klammern selber setzen? Oder entfernen? Ohne dass der Wert des Terms sich ändert? Und warum überhaupt? Zum "Warum": Mit dem geschickten Setzen von Klammern kannst du Terme vereinfachen, also leichter ausrechnen. Und manche Terme (nämlich solche mit "Variablen" /- was das ist, lernst du noch) kannst du sogar nur dann ausrechnen, wenn du Klammern gezielt setzt oder entfernt. Klammern richtig in Terme setzen und entfernen zu können ist also wirklich wichtig! Du wirst das in den nächsten Jahren in Mathe noch ganz, ganz oft machen. Und jetzt zum "Wie":

Klammern um negative Zahlen

Dass du eine negative Zahl besser in Klammern schreibst, weißt du sicher schon. Manchmal sieht der Term dadurch richtig unübersichtlich aus. Dann ist es oft hilfreich, negative Zahlen in positive Zahlen umzuwandeln: Eine Addition mit einer (negativen) Zahl kannst du zu einer gleichwertigen Subtraktion mit ihrer (positiven) Gegenzahl vereinfachen. $\blacksquare8+(-3)$ $\align[16]{\blacksquare8+(-3)}$| vereinfachen $\align[4]{}\align[13]{=8-3}$ Umgekehrt kannst du eine Subtraktion mit einer (negativen) Zahl zu einer gleichwertigen Addition mit ihrer (positiven) Gegenzahl vereinfachen. $\blacksquare4-(-5)$ $\align[16]{\blacksquare4-(-5)}$| vereinfachen $\align[4]{}\align[13]{=4+5}$ Man sagt auch: "Minus und Minus heben sich auf." Diese Regel führt uns zu einem allgemeineren Tipp: Eine Addition kannst du immer in eine gleichwertige Subtraktion umkehren und umgekehrt. Dabei musst du alle Zahlen im zweiten Operanden in ihre Gegenzahlen umkehren. $\blacksquare4+3$ $\align[16]{\blacksquare4+3}$| Addition zu Subtraktion $\align[4]{}\align[13]{=4-(-3)}$ $\,$ $\blacksquare4+(-3)$ $\align[16]{\blacksquare4+(-3)}$| Addition zu Subtraktion $\align[4]{}\align[13]{=4-3}$ $\,$ $\blacksquare4-3$ $\align[16]{\blacksquare4-3}$| Subtraktion zu Addition $\align[4]{}\align[13]{=4+(-3)}$ $\,$ $\blacksquare4-(-3)$ $\align[16]{\blacksquare4-(-3)}$| Subtraktion zu Addition $\align[4]{}\align[13]{=4+3}$ $\,$ Interessant ist das vor allem, wenn hinter dem Plus- oder Minusoperator ein längerer eingeklammerter Term steht. Denn dann musst du wirklich alle Zahlen innerhalb der Klammer in ihre Gegenzahlen umkehren. $\blacksquare3\style[red]{+}(-4+2)$ $\align[19]{\blacksquare3\style[red]{+}(-4+2)}$| Addition zu Subtraktion $\align[4]{}\align[15]{=3\style[red]{\minus}(4+(-2))}$ $\align[4]{}\align[15]{=3\style[red]{\minus}(4+(-2))}$| vereinfachen $\align[4]{}\align[15]{=3-(4-2)}$ $\align[4]{}\align[15]{=3-(4-2)}$| in Klammer subtrahieren $\align[4]{}\align[15]{=3-2}$ $\align[4]{}\align[15]{=1}$ $\,$ $\blacksquare7\style[red]{\minus}(-4-2)$ $\align[19]{\blacksquare7\style[red]{\minus}(-4-2)}$| Subtraktion zu Addition $\align[4]{}\align[15]{=7\style[red]{+}(4-(-2))}$ $\align[4]{}\align[15]{=7\style[red]{+}(4-(-2))}$| vereinfachen $\align[4]{}\align[15]{=7+(4+2)}$ $\align[4]{}\align[15]{=7+(4+2)}$| in Klammer addieren $\align[4]{}\align[15]{=7+6}$ $\align[4]{}\align[15]{=13}$ Es gibt natürlich immer mehrere gleichwertige Rechenwege. Das zweite Beispiel hättest du auch so ausrechnen können: $\blacksquare7-(-4-2)$ $\align[19]{\blacksquare7-(-4-2)}$| in Klammer subtrahieren $\align[4]{}\align[15]{=7-(-6)}$ $\align[4]{}\align[15]{=7-(-6)}$| vereinfachen $\align[4]{}\align[15]{=7+6}$ $\align[4]{}\align[15]{=13}$
Mit etwas Übung wirst du sicher bald immer einen guten Rechenweg finden!

Assoziativgesetz

Rechenausdrücke müssen (von Klammern usw. abgesehen) immer von links nach rechts ausgerechnet werden. Immer? Nein, nicht immer! $\blacksquare(3+4)+5$ $\align[19]{\blacksquare(3+4)+5}$| in Klammer addieren $\align[4]{}\align[15]{=7+5}$ $\align[4]{}\align[15]{=7+5}$| addieren $\align[4]{}\align[15]{=12}$ $\,$ $\blacksquare3+(4+5)$ $\align[19]{\blacksquare3+(4+5)}$| in Klammer addieren $\align[4]{}\align[15]{=3+9}$ $\align[4]{}\align[15]{=3+9}$| addieren $\align[4]{}\align[15]{=12}$ Die Terme $(3+4)+5$ und $3+(4+5)$ ergeben beide $12$:$\blacksquare\align[9:r]{(3+4)+5}=12$ $\blacksquare\align[9:r]{3+(4+5)}=12$ Und wie sieht das bei der Multiplikation aus? Ganz ähnlich: $\blacksquare(3\cdot4)\cdot5$ $\align[19]{\blacksquare(3\cdot4)\cdot5}$| in Klammer multiplizieren $\align[4]{}\align[15]{=12\cdot5}$ $\align[4]{}\align[15]{=12\cdot5}$| multiplizieren $\align[4]{}\align[15]{=60}$ $\,$ $\blacksquare3\cdot(4\cdot5)$ $\align[19]{\blacksquare3\cdot(4\cdot5)}$| in Klammer multiplizieren $\align[4]{}\align[15]{=3\cdot20}$ $\align[4]{}\align[15]{=3\cdot20}$| multiplizieren $\align[4]{}\align[15]{=60}$ Auch hier gilt also, die Terme $(3\cdot4)\cdot5$ und $3\cdot(4\cdot5)$ ergeben beide dasselbe Ergebnis: $\blacksquare\align[9:r]{(3\cdot4)\cdot5}=60$ $\blacksquare\align[9:r]{3\cdot(4\cdot5)}=60$ Die Reihenfolge spielte bei der Addition also keine Rolle, ebenso wie bei der Multiplikation. Das Tolle daran: Das gilt für beliebige Zahlen. Probier's aus! Weil diese Gesetzmäßigkeit so wichtig ist, hat sie einen eigenen Namen:

Assoziativgesetz

Seien $a$, $b$ und $c$ drei beliebige Zahlen. Dann gilt:$\blacksquare\align[9:r]{(a+b)+c}=a+(b+c)$ $\blacksquare\align[9:r]{(a\cdot b)\cdot c}=a\cdot(b\cdot c)$ Das heißt: Verkettete (= zusammenhängende) Additionen können in beliebiger Reihenfolge nacheinander ausgeführt werden. Gleiches gilt für verkettete Multiplikationen. Und wenn zwischen den Additionen irgendwo noch eine Subtraktion ist? Oder zwischen den Multiplikationen noch eine Division? Oft kannst du vorteilhaft ausklammern, wenn du umkehrst. $\blacksquare7+4-4+5$ $\align[20]{\blacksquare7+4-4+5}$| Subtraktion in Addition $\align[4]{}\align[9]{=7+4+(-4)+5}$ $\align[4]{}\align[16]{=7+4+(-4)+5}$| ausklammern $\align[4]{}\align[9]{=7+\[4+(-4)\]+5}$ $\align[4]{}\align[16]{=7+\[4+(-4)\]+5}$| in Klammer vereinfachen $\align[4]{}\align[9]{=7+(4-4)+5}$ $\align[4]{}\align[16]{=7+(4-4)+5}$| Klammer$= 0$ $\align[4]{}\align[9]{=7+5}$ $\align[4]{}\align[16]{=7+5}$| addieren $\align[4]{}\align[9]{=12}$ $\,$ $\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3$ $\align[20]{\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3}$| Division in Multiplikation $\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{8}\cdot3}$ $\align[4]{}\align[16]{=3\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{8}\cdot3}$| ausklammern $\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot(4\cdot\frac{1}{8})\cdot3}$ $\align[4]{}\align[16]{=3\cdot2\cdot(4\cdot\frac{1}{8})\cdot3}$| in Klammer multiplizieren $\align[4]{}\align[9]{=3\cdot2\cdot\frac{4}{8}\cdot3}$ $\align[4]{}\align[16]{=3\cdot2\cdot\frac{4}{8}\cdot3}$| Bruch durch 4 Das war jetzt seeeehr ausführlich. Mit etwas Übung "siehst" du manche Vereinfachungen auch sofort: Suche nach Zahlen, die sich gegenseitig "aufheben" (die also zusammen 0 ergeben) oder die du gegenseitig "wegkürzen" kannst! $\blacksquare7+4-4+5$ $\align[20]{\blacksquare7+4-4+5}$| $+4$ und $-4$ "heben sich auf" $\align[4]{}\align[9]{=7+\strikeout{4-4}+5}$ $\align[4]{}\align[9]{=7+5}$ $\align[4]{}\align[9]{=12}$ $\,$ $\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3$ $\align[20]{\blacksquare3\cdot2\cdot4:8\cdot3}$| Division als Bruch schreiben $\align[4]{}\align[9]{=\frac{3\cdot2\cdot4\cdot3}{8}}$ $\align[4]{}\align[16]{=\frac{3\cdot2\cdot4\cdot3}{8}}$| durch 8 kürzen $\align[4]{}\align[9]{=\frac{3\cdot\strikeout{2}\cdot\strikeout{4}\cdot3}{\strikeout{8}}}$ $\align[4]{}\align[9]{=3\cdot3}$ $\align[4]{}\align[9]{=9}$

Distributivgesetz

Betrachte folgende beiden Rechnungen:$\blacksquare9\cdot3+9\cdot7$ $\align[4]{}\align[9]{=27+63}$ $\align[4]{}\align[9]{=90}$ $\,$ $\blacksquare9\cdot(3+7)$ $\align[4]{}\align[9]{=9\cdot10}$ $\align[4]{}\align[9]{=90}$ Es gilt also:
  • $9\cdot3+9\cdot7=9\cdot(3+7)$
Die Gesetzmäßigkeit dahinter heißt:

Distributivgesetz

Seien $a$, $b$ und $c$ drei beliebige Zahlen. Dann gilt:$\blacksquare\align[9:r]{a\cdot b+a\cdot c}=a\cdot(b+c)$ Das heißt: Werden zwei Zahlen mit demselben Faktor multipliziert, lassen sie sich als Summe zusammenfassen. Statt zwei Multiplikationen musst du also nur noch eine Multiplikation ausrechnen. Gut, oder? $\blacksquare12\cdot4+12\cdot6$ $\align[20]{\blacksquare12\cdot4+12\cdot6}$| Distributivgesetz $\align[4]{}\align[9]{=12\cdot(4+6)}$ $\align[4]{}\align[16]{=12\cdot(4+6)}$| in Klammer addieren $\align[4]{}\align[16]{=12\cdot10}$ $\align[4]{}\align[16]{=120}$ Das Distributivgesetz gilt auch für Subtraktionen und Divisionen. Und gemäß dem Kommutativgesetz kannst du auch mit ausgetauschten Faktoren rechnen: $\blacksquare12\cdot4+6\cdot12$ $\align[20]{\blacksquare12\cdot4+6\cdot12}$| "Mann, ist das kompliziert! Da rechne ich die Terme doch lieber direkt aus!" Das kannst du natürlich auch immer machen. Aber manchmal ist es einfacher, einen Term auszurechnen, nachdem du ihn vorher umgeformt hast. Und bei Termen mit Variablen (das lernst du in einem anderen Lernthema!) geht das sogar oft gar nicht anders. Was ist eine Variable? Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz

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