Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen
Parallelen
Winkel und rechter Winkel
Senkrechten und Mittelsenkrechten
Hier lernst du: was eine Senkrechte ist, was das Besondere an Senkrechten ist, was eine Mittelsenkrechte ist, wie du Senkrechten und Mittelsenkrechten mit dem Geodreieck und mit Zirkel und Lineal zeichnest. Hier lernst du, was eine Senkrechte und eine Mittelsenkrechte ist und wie du sie mit Zirkel und Lineal zeichnest.
Beschreibung: Hier lernst du, was eine Senkrechte und eine Mittelsenkrechte ist und wie du sie mit Zirkel und Lineal zeichnest.
Senkrechten und Mittelsenkrechten
Wenn sich Geraden, Strahlen oder Strecken
kreuzen, dann immer in einem bestimmten
Winkel.
Ein besonderer und (nicht nur) in der Geometrie wichtiger Winkel ist der
rechte Winkel.
Der rechte Winkel ist sogar so besonders, dass
Geraden, die andere Linien im rechten Winkel kreuzen, einen eigenen Namen bekommen:
Senkrechte.
Hier lernst du:
- was eine Senkrechte ist,
- was das Besondere an Senkrechten ist,
- was eine Mittelsenkrechte ist,
- wie du Senkrechten und Mittelsenkrechten mit dem Geodreieck und
- mit Zirkel und Lineal zeichnest.
Senkrechte
Eine
Senkrechte ist eine
Gerade, die eine andere Gerade, eine Strecke oder eine Halbgerade
im rechten Winkel kreuzt.
Die Gerade $h$ ist eine Senkrechte zur Geraden $g$. Man sagt auch: Die Geraden (oder Strecken oder Halbgeraden) sind
rechtwinklig.
Dass sich zwei Geraden, Strecken oder Halbgeraden im rechten Winkel kreuzen, markierst du in der Zeichnung so:
- Kennzeichne einen der Winkel mit einem Punkt als rechten Winkel.
- Oder schreibe in oder unter die Zeichnung:
$g \perp h$Das sprichst du so: "Die Geraden $g$ und $h$ sind rechtwinklig."
Fällt dir was auf? Wenn $h$ eine Senkrechte zu $g$ ist, ist immer auch $g$ eine Senkrechte zu $h$!
Anders ausgedrückt:
Wenn $h\perp g$ ist, dann ist immer auch $g\perp h$.
Nein, der Winkel ist egal:
Wenn zwei Geraden oder Strecken oder Halbgeraden
rechtwinklig sind, sind automatisch
alle vier Winkel, die am Schnittpunkt anliegen,
rechte Winkel:
Das Wort
senkrecht hast du sicher schon gehört.
Man sagt zum Beispiel: "Ein Stein fällt senkrecht herunter", wenn er ganz genau
nach unten fällt, also nicht schräg oder im Bogen.
Die Fallstrecke des Steins bildet dann mit dem (ebenen) Boden, auf den er fällt, einen
rechten Winkel.
Statt: //"Die Geraden $g$ und $h$ sind
rechtwinklig"
sagt man daher manchmal auch: //"Die Geraden $g$ und $h$ sind
senkrecht."
Damit ist
nicht gemeint, dass die Geraden senkrecht "nach unten" verlaufen, sondern nur "senkrecht" in Bezug auf die andere Gerade. Also
rechtwinklig.
Wie zeichne ich eine Senkrechte mit dem Geodreieck?
Um eine Senkrechte zu einer Geraden (oder einer Strecke oder einer Halbgeraden) zu zeichnen, kannst du ein Geodreieck verwenden:
Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden $g$.
1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade. 2. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks. 3. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: $g\perp h$.
Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen Punkt?
Oft soll die Senkrechte durch einen vorgegebenen Punkt verlaufen. Das machst du so:
Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden $g$ durch den Punkt $P$.
1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade. 2. Verschiebe das Geodreieck so, dass die lange Seite am Punkt anliegt. Wichtig: Die Mittellinie muss dabei auf der Geraden, Strecke oder Halbgeraden bleiben! 3. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks durch den Punkt und die Gerade. 4. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: $g\perp h$.
Mittelsenkrechte
Eine besondere Senkrechte ist die Mittelsenkrechte:
Eine
Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte, die eine
Strecke genau in der
Mitte zwischen ihren beiden
Endpunkten schneidet.
Der Punkt $M$ ist der
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und der Strecke.
Weil die Mittelsenkrechte $h$ die Strecke $g$ genau in der Mitte schneidet, müssen die Strecken $\Bar{AM}$ und $\Bar{BM}$
gleich lang sein. Das schreibst du so:
$|\Bar{AM}|=|\Bar{BM}|$
Sprich:
"Die Länge der Strecke zwischen den Punkten $A$ und $M$ ist gleich der Länge der Strecke zwischen den Punkten $B$ und $M$."oder:
"Die Strecke zwischen den Punkten $A$ und $M$ ist genauso lang wie die Strecke zwischen den Punkten $B$ und $M$."
Eine Mittelsenkrechte kannst du mit dem Geodreieck zeichnen:
Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke $\Bar{AB}$.
1. Miss mit dem Geodreieck oder einem Lineal die Länge der Strecke $\Bar{AB}$. Du misst: $|\Bar{AB}|=6\cm$ 2. Berechne die Hälfte der gemessenen Länge. Die Hälfte der Länge der Strecke $\Bar{AB}$ ist $3\cm$. 3. Zeichne auf die Strecke einen Punkt, der $3\cm$ (also die Hälfte der Länge der Strecke) von Punkt $A$ entfernt ist. Der Punkt $M$ teilt die Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken. 4. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Strecke und mit dem Nullpunkt auf Punkt $M$. 5. Zeichne nun die Senkrechte zur Strecke $\Bar{AB}$ durch den Punkt $M$. Die Gerade $g$ ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\Bar{AB}$.
Das eben beschriebenen Verfahren hat einen großen
Nachteil: Es kann vieles schief gehen!
Zum Beispiel kannst du
- die Länge der Strecke falsch ablesen,
- dich bei der Berechnung der Hälfte der Streckenlänge verrechnen oder
- den Punkt $M$ falsch einzeichnen.
Auch bleibt an der Zeichnung unklar, dass du wirklich eine
Mittelsenkrechte gezeichnet hast.
Einfacher und genauer geht das Zeichnen der Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal:
Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke $\Bar{AB}$.
1. Stich den Zirkel in Punkt $A$ und öffne ihn etwas über die Hälfte der Streckenlänge hinaus. 2. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt $A$. 3. Stich mit derselben Zirkelöffnung in Punkt $B$ und zeichne einen Kreisbogen um Punkt $B$. Die beiden Kreisbögen kreuzen sich in zwei Punkten. 4. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade $g$ ist die Mittelsenkrechte der Strecke $\Bar{AB}$.
An den gezeichneten Kreisbögen kann man schnell sehen, dass du wirklich eine
Mittelsenkrechte gezeichnet hast! Du solltest sie daher auf keinen Fall wegradieren!
Was ist eigentlich das Besondere an einer Mittelsenkrechten? Außer, dass sie die Strecke offensichtlich in zwei gleich lange Teilstrecken teilt?
Sieh dir die Animation an:
Für jeden der Punkte auf der Mittelsenkrechten $g$ liegen die Punkte $A$ und $B$ auf demselben Kreisbogen. $A$ und $B$ sind also von diesem Punkt gleich weit entfernt.
Das gilt allgemein:
- Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke ist von deren Endpunkten gleich weit entfernt.
- Alle Punkte, die denselben Abstand zu den Endpunkten einer Strecke haben, liegen auf der Mittelsenkrechten dieser Strecke.
Toll, was?
Die Lösungen der folgenden beiden Aufgabenbeispiele kannst du dir eigentlich selbst herleiten.
Wie zeichne ich eine Senkrechte mit Zirkel und Lineal?
Oben hast du das bereits mit einem Geodreieck gemacht. Nun eben mit Zirkel und Lineal:
Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden.
1. Zeichne zwei beliebige Punkte auf die Gerade. Die Punkte "schneiden" aus der Geraden eine Strecke aus. Nun zeichnen wir die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke. 2. Stich den Zirkel in den ersten Punkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus. 3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Punkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade $h$ ist eine Senkrechte auf der Geraden $g$.
Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen gegebenen Punkt mit Zirkel und Lineal?
Auch das hast du schon mit einem Geodreieck gemacht.
Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt.
1. Stich den Zirkel in Punkt $P$ und zeichne um ihn einen Kreisbogen, der die Gerade $g$ in zwei Punkten kreuzt. Die beiden Schnittpunkte "schneiden" aus der Geraden eine Strecke aus. Jetzt musst du nur noch die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke zeichnen. 2. Stich den Zirkel in den ersten Schnittpunkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus. 3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Schnittpunkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade $h$ ist die Senkrechte auf der Geraden $g$ durch Punkt $P$.
Die
Konstruktion von
Mittelsenkrechten nur mit Zirkel und Lineal erscheint dir vielleicht recht kompliziert zu sein. Aber sie hat zwei wesentliche Vorteile:
- Sie ist nicht anfällig für Messfehler.
- Anhand der Zeichnung kann man erkennen, was für eine Gerade du gezeichnet hast.
Übe daher gut die Konstruktion von Senkrechten und Mittelsenkrechten (und in anderen Lerneinheiten auch von anderen Objekten) nur mit Zirkel und Lineal!
Konstruktionen von geometrischen Objekten nur mit Zirkel und Lineal heißen
Grundkonstruktionen.
Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen
Parallelen
Winkel und rechter Winkel