Teilbarkeit
Hier lernst du: was Teilbarkeit bedeutet und wie du feststellst, ob eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl teilbar ist.
Teilbarkeit
Du hast eine Tüte mit genau 25 Lollis. Kannst du die Lollis so mit zwei Freunden oder Freundinnen teilen, dass jede und jeder gleich viele Lollis bekommt? Hier lernst du:
- was Teilbarkeit bedeutet und
- wie du feststellst, ob eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl teilbar ist.
Noch einmal: Kannst du die Lollis mit zwei Freunden oder Freundinnen so teilen, dass alle gleich viele Lollis bekommen? So kannst du vorgehen:Sortiere die Lollis reihum in drei Haufen. Ein Lolli bleibt übrig. Egal, wem du diesen letzten Lolli geben würdest __ ihr hättet dann nicht mehr gleich viele! 25 Lollis sind also nicht "ohne Rest" auf 3 Kinder aufteilbar. Aber kannst du das auch anders herausfinden? Ohne erst die Lollis verteilen zu müssen? Denn wenn du sehr, sehr viele Lollis hättest, wäre dieses Verfahren schließlich kaum noch umsetzbar. Du weißt, dass die
Anzahl der Lollis eine
natürliche Zahl ist, genau wie die
Anzahl der Kinder. Das "Lolli-Aufteilungs-Problem" kannst du daher mathematisch als
Division einer
natürlichen Zahl durch eine andere
natürliche Zahl betrachten (
modellieren). Ob eine natürliche Zahl durch eine (andere) natürliche Zahl teilbar ist, können wir folgendermaßen festlegen: Eine
natürliche Zahl heißt
teilbar durch eine (andere)
natürliche Zahl, wenn sie sich durch diese zweite Zahl
ohne Rest dividieren ("teilen") lässt.Die
Teilbarkeit zweier natürlicher Zahlen schreibst du mit einem
senkrechten Strich zwischen ihnen, zum Beispiel:
- $\style[bold]{12\mid3}$
- $\style[bold]{480\mid6}$
- $\style[bold]{1\sep000\ \mid\ 10\ }$
Das kannst du auf verschiedene Weise lesen (Achte auf die Reihenfolge der Zahlen!):
- "12 ist teilbar durch 3"
- "6 ist Teiler von 480"
- "10 teilt 1.000"
Bei
Nicht-Teilbarkeit streichst du den senkrechten Strich durch:
- $\style[bold]{25\nmid3}$, "25 ist nicht teilbar durch 3", oder "3 teilt 25 nicht", oder "3 ist kein Teiler von 25"
Und weil $25\nmid3$, kannst du 25 Lollis nicht ohne Rest auf drei Kinder aufteilen. Wie du die Teilbarkeit zwischen zwei Zahlen feststellen kannst, hast du ja schon gesehen: Um
Teilbarkeit festzustellen:
Prüfe, ob du die erste Zahl durch die zweite Zahl
ohne Rest dividieren kannst. Ist das möglich, dann ist die erste Zahl
teilbar durch die zweite Zahl. Ist das nicht möglich, ist sie
nicht teilbar. Untersuchen wir mal, durch welche Zahlen die Zahl 12 teilbar ist:12 lässt sich durch 1 natürlich ohne Rest teilen, also:
"12 ist teilbar durch 1". (Der Doppelpfeil $\Rightarrow$ bedeutet: "also".) 12 lässt sich durch 2 ohne Rest teilen, also:
"12 ist teilbar durch 2". Das gilt auch für 3 ... Das gilt auch für 3 und 4. 12 lässt sich durch 5
nicht ohne Rest teilen, also:
"12 ist nicht teilbar durch 5". 12 lässt sich durch 6 wieder ohne Rest teilen, also:
"12 ist teilbar durch 6". 12 lässt sich durch 7
nicht ohne Rest teilen, also:
"12 ist nicht teilbar durch 7". Das gilt auch für 8 ... Das gilt auch für 8, 9 ... Das gilt auch für 8, 9, 10 ... Das gilt auch für 8, 9, 10 und 11. 12 lässt sich durch sich selbst natürlich ohne Rest teilen, also:
"12 ist teilbar durch 12". Eine
natürliche Zahl ...
- kann viele Teiler haben.
- hat immer die 1 als Teiler.
- hat immer sich selbst als Teiler.
Jede natürliche Zahl hat also mindestens 2 Teiler __ bis auf die Zahl 1, die hat nur sich selbst als Teiler. Außerdem können nur Zahlen
kleiner oder
gleich der Hälfte einer Zahl ein Teiler von ihr sein (und die Zahl selbst natürlich). Die Division ist die Umkehrfunktion der Multiplikation. Also kann man Teilbarkeit auch so festlegen:
Zwei natürliche Zahlen sind jeweils
Teiler ihres
Produkts.Das Produkt von 1 und 12 ist 12, also: 1 ist Teiler von 12. 1 ist Teiler von 12, und 12 ist Teiler von 12. Das Produkt von 2 und 6 ist 12, also: 2 ist Teiler von 12. 2 ist Teiler von 12, und 6 ist Teiler von 12. Das Produkt von 3 und 4 ist 12, also: 3 ist Teiler von 12. 3 ist Teiler von 12, und 4 ist Teiler von 12. Um zu untersuchen, ob eine natürliche Zahl
teilbar durch eine zweite natürliche Zahl ist, kannst du auch so vorgehen: Prüfe, ob du die erste Zahl als
Produkt der zweiten Zahl mit einer weiteren
natürlichen Zahl darstellen kannst. Wenn es eine solche
natürliche Zahl gibt, dann ist die erste Zahl durch die zweite Zahl teilbar.
Aufgabe: Ist 21 teilbar durch 7?
Lösungsweg: Suche nach einer natürlichen Zahl, sodass 21 das Produkt von 7 und dieser natürlichen Zahl ist. Mit der 3 ist das möglich, denn $7\cdot3=21$. Weil die 3 eine natürliche Zahl ist, ist 21 durch 7 teilbar.
Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Primzahlen