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Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10

Hier lernst du: wie du schnell feststellen kannst, ob eine natürliche Zahl durch 2, 3, 5 oder 10 teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10

In Mathe musst du oft prüfen, ob eine natürliche Zahl ein Teiler einer anderen natürlichen Zahl ist. Bei manchen Zahlen ist das ganz leicht. Hier lernst du: Ob eine natürliche Zahl teilbar ist durch eine zweite natürliche Zahl, kannst du immer folgendermaßen prüfen: Du dividierst die erste durch die zweite Zahl. Wenn das ohne Rest möglich ist, ist sie durch die zweite Zahl teilbar, sonst nicht. Bei vielen Zahlen brauchst du aber gar nicht (oder kaum) zu rechnen. Die Zahl 1 teilt jede natürliche Zahl. Und jede natürliche Zahl ist durch sich selbst teilbar: Ganz leicht kannst du auch die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch 2, 3, 5 und 10 feststellen.

Teilbarkeit durch 2

Ob eine natürliche Zahl durch 2 teilbar ist, ist nur abhängig von ihrer letzten Ziffer: Eine natürliche Zahl ist teilbar durch 2, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist __ also 0, 2, 4, 6 oder 8. Ist 16 durch 2 teilbar? Betrachte nur die letzte Ziffer. Betrachte nur die letzte Ziffer: 6 ist gerade. Also: $\style[bold]{16\mid2\ }$. Ist 90 durch 2 teilbar? 0 ist gerade. Also: $\style[bold]{90\mid2\ }$. Ist 347 durch 2 teilbar? 7 ist ungerade. Also: $\style[bold]{347\nmid2\ }$. Ist 9005 durch 2 teilbar? 5 ist ungerade. Also: $\style[bold]{9005\nmid2\ }$. Ist 40238 durch 2 teilbar? 8 ist gerade. Also: $\style[bold]{40238\mid2\ }$. Super leicht, oder? Und so geht es auch weiter.

Teilbarkeit durch 5

Auch bei der Teilbarkeit durch 5 brauchst du nur die letzte Ziffer zu betrachten: Eine natürliche Zahl ist teilbar durch 5, wenn ihre letzte Ziffer entweder 0 oder 5 ist. Ist 45 durch 5 teilbar? Betrachte nur die letzte Ziffer. Betrachte nur die letzte Ziffer: Die letzte Ziffer ist 5. Also: $\style[bold]{45\mid5\ }$. Ist 90 durch 5 teilbar? Die letzte Ziffer ist 0. Also: $\style[bold]{90\mid5\ }$. Ist 347 durch 5 teilbar? Die letzte Ziffer ist weder 0 noch 5. Also: $\style[bold]{347\nmid5\ }$. Ist 9005 durch 5 teilbar? Die letzte Ziffer ist 5. Also: $\style[bold]{9005\ \mid\ 5\ }$. Ist 40238 durch 5 teilbar? Die letzte Ziffer ist weder 0 noch 5. Also: $\style[bold]{40238\ \nmid\ 5\ }$.

Teilbarkeit durch 10

Bei der Teilbarkeit durch 10 ist es sogar noch einfacher: Eine natürliche Zahl ist teilbar durch 10, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Ist 40 durch 10 teilbar? Betrachte nur die letzte Ziffer. Betrachte nur die letzte Ziffer: Die letzte Ziffer ist 0. Also: $\style[bold]{40\mid10\ }$. Ist 90 durch 10 teilbar? Die letzte Ziffer ist 0. Also: $\style[bold]{90\mid10\ }$. Ist 347 durch 10 teilbar? Die letzte Ziffer ist keine 0. Also: $\style[bold]{347\nmid10\ }$. Ist 9005 durch 10 teilbar? Die letzte Ziffer ist keine 0. Also: $\style[bold]{9005\ \nmid\ 10\ }$. Ist 40230 durch 10 teilbar? Die letzte Ziffer ist 0. Also: $\style[bold]{40230\ \mid\ 10\ }$.

Teilbarkeit durch 3

Etwas schwieriger stellt du die Teilbarkeit einer natürlichen Zahl durch 3 fest, nämlich mit einem verblüffenden Trick. Dazu musst du aber zuerst wissen, wie du eine "Quersumme" berechnest: Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Um die Quersumme zu berechnen, addiere die einzelnen Ziffern ohne Berücksichtigung ihrer Stelle. Jetzt können wir uns an die Teilbarkeit durch 3 machen: Eine natürliche Zahl ist teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Ist 45 durch 3 teilbar? Berechne die Quersumme: $4+5=9$. Die Quersumme 9 ist teilbar durch 3. Also: $\style[bold]{45\mid3\ }$. Ist 327 durch 3 teilbar? Berechne die Quersumme: $3+2+7=12$. Die Quersumme 12 ist teilbar durch 3. Also: $\style[bold]{327\mid3\ }$. Ist 427 durch 3 teilbar? Berechne die Quersumme: $4+2+7=13$. Die Quersumme 13 ist nicht teilbar durch 3. Also: $\style[bold]{427\nmid3\ }$. Ist 3427 durch 3 teilbar? Berechne die Quersumme: $3+4+2+7=16$. Die Quersumme 16 ist nicht teilbar durch 3. Also: $\style[bold]{3427\ \nmid\ 3\ }$. Ist 10020 durch 3 teilbar? Berechne die Quersumme: $1+2=3$. Die Quersumme 3 ist teilbar durch 3. Also: $\style[bold]{10020\ \mid\ 3\ }$. Aber wie weiß ich, dass die Quersumme durch 3 teilbar ist? Berechne die Quersumme der Quersumme und so weiter. Ziemlich schnell hast du dann eine Quersumme aus nur noch einer Ziffer. Wenn diese Quersumme 3, 6 oder 9 ist (also durch 3 teilbar), dann sind alle vorhergehenden Quersummen und damit auch die Zahl vom Anfang durch 3 teilbar. Aufgabe: Ist die Zahl 428492934 durch 3 teilbar? Lösungsweg:
  1. Berechne die Quersumme von 428492934:
    $4+2+8+4+9+2+9+3+4=\style[bold]{45\ }$.
  2. Berechne von 45 die Quersumme: $4+5=\style[bold]{9}$.
  3. 9 ist durch 3 teilbar. Also ist 45 und damit auch 428492934 durch 3 teilbar.
Primzahlen Teilbarkeit

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