Gleichwertigkeit von Termen mit Variablen

Hier lernst du: wie Terme mit Variablen zueinander gleichwertig (oder äquivalent ) sein können. Hier lernst du, wie Terme mit Variablen gleichwertig (oder äquivalent) sein können.

Gleichwertigkeit von Termen mit Variablen

Was ergibt $\tab$2 Lollis + 4 Lollis? Das ist natürlich ganz einfach:2 Lollis 2 Lollis + 4 Lollis 2 Lollis + 4 Lollis = 6 Lollis Hier lernst du:

• wie Terme mit Variablen zueinander gleichwertig (oder äquivalent) sein können.

Wie sieht die Rechnung vom Anfang aus, wenn wir statt "Lollis" die Variable $x$ einsetzen? $2\cdot x+4\cdot x=6\cdot x$. Betrachten wir den Ausdruck genauer:Der Ausdruck enthält 2 Terme. Die beiden Terme sind mit einem Gleichheitszeichen miteinander verknüpft.

"Terme, die mit einem Gleichheitszeichen miteinander verknüpft sind? Das erinnert mich doch an irgendetwas ..."

Na klar! Terme können dann mit einem Gleichheitszeichen miteinander verknüpft werden, wenn sie gleichwertig (oder äquivalent) sind. Wenn sie also (nach dem Ausrechnen) denselben Wert haben.

"Aber der Wert von Termen mit Variablen ist doch unbestimmt (variabel) und lässt sich nicht ausrechnen!"

Stimmt! Aber schauen wir mal, was passiert, wenn wir ein paar unterschiedliche Zahlen in die Variable $x$ einsetzen: Ist es dir aufgefallen? Egal, welche Zahl wir in die Variable $x$ eingesetzt haben /- der Wert der beiden Terme $\tab2\cdot x+4\cdot x\align[8:c]{\text{und}}6\cdot x$ war immer gleich. Genau diese Beobachtung führt uns zur Definition von Gleichwertigkeit von Termen mit gemeinsamen Variablen: Terme mit einer gemeinsamen Variablen sind gleichwertig (oder äquivalent), wenn sie für jede Zahl, die in diese Variable eingesetzt wird, beide denselben Wert haben. /Die Gleichwertigkeit (oder Äquivalenz) zweier Terme kennzeichnest du, indem du sie mit einem Gleichheitszeichen miteinander verknüpfst:

• $2\cdot x+4\cdot x\align[4:c]{\style[red]{\style[bold]{=}}}6\cdot x$

Das Ganze gilt natürlich nur, wenn die Variable $x$ in beiden Termen für dieselbe Zahl steht. Grundsätzlich gilt: Gleiche Variablen in unterschiedlichen Termen stehen für dieselbe Zahl. Unterschiedliche Variablen können für unterschiedliche Zahlen stehen. ("Gleiche" Variable heißt hier: mit demselben Buchstaben benannte Variablen.) Betrachten wir nun die beiden Terme: $\tab2\cdot x\align[8:c]{\text{und}}3\cdot x$. /Die Terme sind für $x=0$ gleichwertig und für $x=5$ nicht gleichwertig, denn es gilt:

• $x=0:\align[5:r]{2\cdot0}\align[5]{=0}\text{ und }\align[5:r]{3\cdot0}=0$
• $x=5:\align[5:r]{2\cdot5}\align[5]{=10}\text{ und }\align[5:r]{3\cdot5}=15$

Was nun? Der wichtige Ausdruck in der Definition von Gleichwertigkeit von Termen mit gemeinsamen Variablen war: "für jede Zahl". Wenn es also auch nur eine einzige Zahl gibt, mit der (anstelle der gemeinsamen Variable) die Werte der beiden Terme ungleich sind, dann sind die Terme insgesamt nicht gleichwertig. Also sind die beiden Terme $\tab2\cdot x\align[8:c]{\text{und}}3\cdot x$. nicht gleichwertig, denn zum Beispiel für $x=5$ sind die Werte der beiden Terme nicht gleich (sogar für alle $x\neq0$).

"Muss ich also für jede Zahl prüfen, ob die Terme mit dieser Zahl (anstelle der Variable) denselben Wert haben? Aber es gibt doch unendlich viele Zahlen ...?"

Glücklicherweise geht es auch einfacher. Nämlich mit Umformungsregeln. Welche es gibt, lernst du in den Lerneinheiten, die dir nach einem kurzen Test vorgeschlagen werden. Der Ausdruck $\tab2\cdot x=3\cdot x$ ist aber dennoch nicht unsinnig. Solche Ausdrücke heißen Gleichungen, du wirst in Mathe noch ganz viel mit ihnen zu tun haben. Meist sind Gleichungen daraufhin zu untersuchen, für welche Zahlen (anstelle der Variablen $x$) die beiden Terme gleichwertig (äquivalent) sind. Diese Zahlen heißen Lösungen der Gleichung. (In unserem Beispiel ist $x=0$ die einzige Lösung.) Was genau Gleichungen sind und wie du ihre Lösungen bestimmen kannst, erfährst du in späteren Lerneinheiten. Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Was ist eine Gleichung? Was ist ein Term? Was ist eine Variable?