„Mathe? KLARO!“ - Terme mit Variablen umformen

Terme mit Variablen umformen

Hier lernst du: eine kürzere Schreibweise von Termen mit Variablen kennen und wie du Terme mit Variablen einfacher und schneller umformst und wie du bei der Termumformung mit Minuszeichen arbeitest. Hier lernst du ein paar Tricks bei der Umformung von Termen mit Variablen.

Beschreibung: Hier lernst du ein paar Tricks bei der Umformung von Termen mit Variablen.

Terme mit Variablen umformen

Hast du die Lerneinheit "Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze" bearbeitet?
Am Ende kam eine ziemlich lange Termumformung vor:

$\blacksquare 2+x\cdot6+4\cdot(3+x)+6$ $\align[25]{\blacksquare 2+x\cdot6+\style[red]{4\cdot(3+x)}+6}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[22]{=2+x\cdot6+\style[red]{4\cdot3+4\cdot x}+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=2+x\cdot6+\style[red]{4\cdot3}+4\cdot x+6}$| multiplizieren $\align[3]{}\align[22]{=2+x\cdot6+\style[red]{12}+4\cdot x+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=2+\style[red]{x\cdot6+12}+4\cdot x+6}$| Summanden tauschen $\align[3]{}\align[22]{=2+\style[red]{12+x\cdot6}+4\cdot x+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{2+12}+x\cdot6+4\cdot x+6}$| addieren $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{14}+x\cdot6+4\cdot x+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{x\cdot6+4\cdot x}+6}$| ausklammern $\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{(6+4)\cdot x}+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=14+(\style[red]{6+4})\cdot x+6}$| addieren $\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{10}\cdot x+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{14+10\cdot x}+6}$| Summanden tauschen $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{10\cdot x+14}+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=10\cdot x+\style[red]{14+6}}$| Summanden verbinden $\align[3]{}\align[22]{=10\cdot x+\style[red]{(14+6)}}$ $\align[3]{}\align[22]{=10\cdot x+\style[red]{(14+6)}}$| addieren $\align[3]{}\align[22]{=10\cdot x+\style[red]{20}}$ $\align[3]{}\align[22]{=10\cdot x+20}$ $\,$

Doch, wirst du! Mit ein paar Tricks ist das nämlich ganz einfach! Wie so ziemlich alles in Mathe. (Kleiner Scherz ...)

Hier lernst du:

eine kürzere Schreibweise von Termen mit Variablen kennen und
wie du Terme mit Variablen einfacher und schneller umformst und
wie du bei der Termumformung mit Minuszeichen arbeitest.

Fangen wir mit ein paar praktischen Regeln an. Sie machen dir das Schreiben und Lesen von Termen leichter: Werden in einem Term Zahlen und Variablen miteinander multipliziert, schreibe diese Faktoren in folgender Reihenfolge:

zuerst die Zahl oder die Zahlen,
dann die Variable und
unterschiedliche Variablen in alphabetischer Reihenfolge.

Schreibe also

$\align[12]{4\cdot x}$statt: $\tabx\cdot 4$
$\align[12]{2\cdot5\cdot y}$statt: $\tab2\cdot y\cdot5$
$\align[12]{a\cdot b}$statt: $\tab b\cdot a$
$\align[12]{2\cdot x\cdot y}$statt: $\tab 2\cdot y\cdot x$ oder $x\cdot y\cdot 2$

Die nächste Regel darfst du nur anwenden, wenn der Term dennoch eindeutig bleibt: Den Mal-Punkt (oder Mal-Operator) $\style[bold]{\cdot}$ kannst du

vor Variablen und
vor oder nach einer Klammer

weglassen. Schreibe also:

$\align[12]{4x}$statt: $\tab 4\cdot x$
$\align[12]{3ab}$statt: $\tab 3\cdot a\cdot b$
$\align[12]{x(4+y)}$statt: $\tab x\cdot (4+y)$
$\align[12]{(a+3)b}$statt: $\tab (a+3)\cdot b$
$\align[12]{(a+3)(a+4)}$statt: $\tab (a+3)\cdot(a+4)$

Das liest du so:

"Vier x" (statt: "Vier mal x")
"Drei a b" (statt: "Drei mal a mal b")

Aber: Bei Klammern musst du den weggelassenen Mal-Operator "mitlesen"! Du musst den Mal-Punkt nicht weglassen! Wenn du dir unsicher bist, schreibe besser den Malpunkt.

Der folgende Tipp ist immer dann hilfreich, wenn du mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen willst: Eine Termumformung kannst du abkürzen, indem du

Faktoren mit Variablen immer gleich in die "richtige" Reihenfolge bringst und
statt einer Multiplikation von mehreren Zahlen gleich ihr Produkt aufschreibst.

Die Rechenschritte, die du dabei "überspringst" (meist Kommutativgesetz und Multiplikation), musst du nicht unbedingt aufschreiben.

$\blacksquare (x+4)\cdot 3$ $\align[13]{\blacksquare (x+4)\cdot 3}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[10]{=3x+12}$ $\,$ $\blacksquare b\cdot(3+a)$ $\align[13]{\blacksquare b\cdot(3+a)}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[10]{=3b+ab}$ $\,$

Auch hier gilt: Wenn du dir unsicher bist, schreibe besser alle Schritte auf.

Mit dem Tipp kannst du die Termumformung vom Anfang schon ein wenig abkürzen:

$\blacksquare 2+x\cdot6+4\cdot(3+x)+6$ $\align[25]{\blacksquare 2+x\cdot6+\style[red]{4\cdot(3+x)}+6}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[22]{=2+6x+\style[red]{12+4x}+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=2+\style[red]{6x+12}+4x+6}$| Summanden tauschen $\align[3]{}\align[22]{=2+\style[red]{12+6x}+4x+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{2+12}+6x+4x+6}$| addieren $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{14}+6x+4x+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{6x+4x}+6}$| ausklammern $\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{(6+4)x}+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=14+(\style[red]{6+4})x+6}$| addieren $\align[3]{}\align[22]{=14+\style[red]{10}x+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{14+10x}+6}$| Summanden tauschen $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{10x+14}+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{14+6}}$| Summanden verbinden $\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{(14+6)}}$ $\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{(14+6)}}$| addieren $\align[3]{}\align[22]{=10x+\style[red]{20}}$ $\align[3]{}\align[22]{=10x+20}$

Stimmt, immer noch kompliziert.

Aber mit dem nächsten Tipp geht es schon sehr viel einfacher: Um einen Term mit einer Variablen zu vereinfachen, gehe so vor:

Löse zuerst alle Klammern auf (mit dem Distributivgesetz).
Rechne dabei Multiplikationen von Zahlen gleich aus und bringe Multiplikationen mit der Variablen in die richtige Reihenfolge.
Addiere dann die Terme mit derselben Variablen als Faktor.
Addiere schließlich die Zahlterme /- also diejenigen Zahlen, die keine Faktoren vor Variablen sind.

$\blacksquare 5+(x+3)\cdot 5+x\cdot 2$ $\align[22]{\blacksquare 5+\style[red]{(x+3)\cdot 5}+x\cdot 2}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[19]{= 5+\style[red]{5x+15}+2x}$ $\align[3]{}\align[19]{=5+\style[red]{5x}+15+\style[red]{2x}}$| Terme mit $x$ zusammenfassen $\align[3]{}\align[19]{= 5+\style[red]{7x}+15}$ $\align[3]{}\align[19]{=\style[red]{5}+7x+\style[red]{15}}$| Zahlterme zusammenfassen $\align[3]{}\align[19]{= 7x+\style[red]{20}}$ $\align[3]{}\align[19]{=7x+20}$ $\,$ $\blacksquare 2+3a+4b+5+4a+6b$ $\align[22]{\blacksquare 2+\style[red]{3a}+4b+5+\style[red]{4a}+6b}$| Terme mit $a$ zusammenfassen $\align[3]{}\align[19]{= 2+\style[red]{7a}+4b+5+6b}$ $\align[3]{}\align[19]{=2+7a+\style[red]{4b}+5+\style[red]{6b}}$| Terme mit $b$ zusammenfassen $\align[3]{}\align[19]{= 2+7a+\style[red]{10b}+5}$ $\align[3]{}\align[19]{=\style[red]{2}+7a+10b+\style[red]{5}}$| Zahlterme zusammenfassen $\align[3]{}\align[19]{= 7a+10b+\style[red]{7}}$ $\align[3]{}\align[19]{=7a+10b+7}$

Mit ein wenig Übung kannst du die verschiedenen Terme auch in einem Schritt zusammenfassen:

Um Terme zusammenzufassen, nutze den "Bleistiftrechner":

1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit genau einer Variablen als Faktor (also hier mit der Variablen $a$). Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm. 2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor $a$. Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm. Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch. 3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem $a$ errechnet. Schreibe sie mit dem Faktor $a$ als Teilergebnis auf. 4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Teilterme mit der zweiten Variablen zusammen (also hier mit der Variablen $b$). 5. Jetzt hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem $b$ errechnet. Addiere sie mit dem Faktor $b$ zum bisherigen Ergebnisterm. 6. Gehe wieder zurück zum ersten Teilterm und addiere alle reinen Zahlterme. 7. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm. Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.

Mit diesem Tipp ist die Vereinfachung des Terms vom Anfang jetzt ganz leicht: Aufgabe: Vereinfache den Term
$\tab2+x\cdot6+4\cdot(3+x)+6$
so weit wie möglich.
Lösung:

$\blacksquare 2+x\cdot6+4\cdot(3+x)+6$ $\align[25]{\blacksquare 2+x\cdot6+\style[red]{4\cdot(3+x)}+6}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[22]{=2+6x+\style[red]{12+4x}+6}$ $\align[3]{}\align[22]{=\style[green]{2}+\style[red]{6x}+\style[green]{12}+\style[red]{4x}+\style[green]{6}}$| Terme zusammenfassen $\align[3]{}\align[22]{=\style[red]{10x}+\style[green]{20}}$ $\align[3]{}\align[22]{=10x+20}$

Auch das konntest du wieder mithilfe des "Bleistiftrechners" machen:

1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit dem Faktor $x$. Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm. 2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor $x$. Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm. Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch. 3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem $x$ errechnet. Schreibe sie mit $x$ als Faktor auf. 4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Zahlterme zusammen. 5. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm. Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.

Bisher kamen in allen Termen nur Additionen vor. Aber können Variablen auch in Termen mit Subtraktionen vorkommen?
Ja, klar!

Du erinnerst dich sicher an folgende Rechenregel: Eine Subtraktion kannst du in eine Addition mit der Gegenzahl umformen:

$\blacksquare\align[15]{9-5}$ $\blacksquare\align[15]{9-5}$| als Addition $\tab=9+(-5)$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{15-27}$ $\blacksquare\align[15]{15-27}$| als Addition $\tab=15+(-27)$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$ $\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$| als Addition $\tab=3+4$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{200-0}$ $\blacksquare\align[15]{200-0}$| als Addition $\tab=200+(-0)$

Außerdem: Die Gegenzahl einer Zahl erhältst du, indem du die Zahl mit $\style[bold]{-1}$ multiplizierst:
Für die Umformung einer Subtraktion in eine Addition folgt damit:

$\blacksquare\align[15]{9-5}$ $\blacksquare\align[15]{9-5}$| als Addition $\tab=9+(-1)\cdot 5$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{15-27}$ $\blacksquare\align[15]{15-27}$| als Addition $\tab=15+(-1)\cdot 27$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$ $\blacksquare\align[15]{3-(-4)}$| als Addition $\tab=3+(-1)\cdot(-4)$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{200-0}$ $\blacksquare\align[15]{200-0}$| als Addition $\tab=200+(-1)\cdot 0$

Weil diese Umformung mit jeder Zahl möglich ist, klappt das auch mit Variablen:

$\blacksquare\align[15]{9-x}$ $\blacksquare\align[15]{9-x}$| als Addition $\tab=9+(-1)\cdot x$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{a-b}$ $\blacksquare\align[15]{a-b}$| als Addition $\tab=a+(-1)\cdot b$

Statt $(-1)\cdot x$ schreibst du kurz: $-x$. Die Umformung von oben kannst du also auch so schreiben:

$\blacksquare\align[15]{9-x}$ $\blacksquare\align[15]{9-x}$| als Addition $\tab=9+(-x)$ $\,$ $\blacksquare\align[15]{a-b}$ $\blacksquare\align[15]{a-b}$| als Addition $\tab=a+(-b)$

Damit kannst du das Distributivgesetz auch dann anwenden, wenn statt mit einer Addition mit einer Subtraktion multipliziert wird:

$\blacksquare 4\cdot(3-x)$ $\align[17]{\blacksquare 4\cdot(3\style[red]{\minus x})}$| als Addition $\align[3]{}\align[14]{=4\cdot(3\style[red]{+(-x)})}$ $\align[3]{}\align[14]{=4\cdot(3+(-x))}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[14]{=12+4(-x)}$ $\align[3]{}\align[14]{=12+4\style[red]{(-x)}}$| $-x$ auflösen $\align[3]{}\align[14]{=12+4\style[red]{(-1)x}}$ $\align[3]{}\align[14]{=12+\style[red]{4(-1)}x}$| Faktoren vertauschen $\align[3]{}\align[14]{=12+\style[red]{(-1)4}x}$ $\align[3]{}\align[14]{=12\style[red]{+(-1)4}x}$| als Subtraktion $\align[3]{}\align[14]{=12\style[red]{\minus4}x}$ $\align[3]{}\align[14]{=12-4x}$

Das war jetzt auch wieder seeehr ausführlich. (Das war Absicht, um dir ein weiteres Beispiel für eine exakte Termumformung zu zeigen.)
Merken musst du dir nur: Das Distributivgesetz gilt auch für die Subtraktion.

$\blacksquare\align[9:r]{a\cdot b\style[red]{\minus}a\cdot c}=a\cdot(b\style[red]{\minus}c)$

Und schon wird das Auflösen einer Subtraktion als Faktor sehr viel kürzer:

$\blacksquare 4\cdot(3-x)$ $\align[17]{\blacksquare 4\cdot(3-x)}$| Klammer auflösen $\align[3]{}\align[14]{=12-4x}$

Was ist eine Zuordnung/Funktion?

Was ist eine Gleichung?

Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze

Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2)

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