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Variable

Hier lernst du: was eine Variable in einem Term ist, was du machst, wenn eine Variable mehrfach in einem Term vorkommt und dass in einem Term auch mehrere unterschiedliche Variablen vorkommen können. Hier lernst du, was eine Variable in einem Term ist, dass eine Variable mehrfach in einem Term vorkommen kann und dass auch mehrere Variablen in einem Term vorkommen können. Einsetzen von Zahlen in Terme.

Variable

TRARAAAA! Voller Vorfreude dürfen wir dir verkünden, dass du heute den vielleicht wichtigsten Buchstaben der mathematischen Welt kennenlernen wirst: das kleine ... ... das kleine "x"! Hier lernst du: "Wie viele Muffins müssen wir denn backen? "Ich würde sagen, für jedes Kind brauchen wir drei Muffins." "Und wie viele Kinder werden kommen?" "Hm, das weiß ich noch nicht." Wie viele Muffins gebacken werden müssen, ist also abhängig von einer noch unbekannten Anzahl: der Anzahl der Kinder, die kommen werden. Wenn 5 Kinder kommen, werden 15 Muffins benötigt: $\align[8:r]{5\cdot3}=15$. /Bei 8 Kindern sind es 24 Muffins: $\align[8:r]{8\cdot3}=24$. /Bei 15 Kindern sind es 45 Muffins: $\align[8:r]{15\cdot3}=45$. Links vom Gleichheitszeichens steht jeweils ein Term der Form: $\tab Anzahl\ der\ Kinder\cdot3$ Und wenn man "Anzahl der Kinder" gegen eine natürliche Zahl ersetzt, kann man für jede Anzahl von Kindern berechnen, wie viele Muffins für sie gebacken werden müssen. Der Ausdruck "Anzahl der Kinder" ist also ein Platzhalter für eine (natürliche) Zahl. Und weil Mathematiker*innen von Natur aus faul sind, schreiben sie statt "Anzahl der Kinder" nur einfach: $x$, also: $\tab x\cdot3$ / In einem Term kann anstelle einer Zahl auch eine Variable stehen. Variablen sind Platzhalter für Zahlen und werden meistens durch Buchstaben dargestellt: $\tab x, y, z, a, b, c, \dots$. Im Prinzip können Variablen auch durch ein Fragezeichen, ein leeres Kästchen oder was auch immer dir einfällt dargestellt werden. Buchstaben sind aber viel praktischer. Warum Variablen "Variablen" heißen, kannst du dir so merken: Variablen machen einen Term veränderlich oder "variabel". Dadurch "passt" der Term auf unterschiedliche ("variable") Situationen, die aber ähnlich sind. Zum Beispiel auf eine unterschiedliche Anzahl von Kindern, für die Muffins gebacken werden sollen. Weil der Term durch eine Variable veränderlich ist, ist natürlich auch der Wert des Terms veränderlich: Der Wert eines Terms mit einer (oder mehreren) Variablen ist abhängig davon, welche Zahl du in die Variable einsetzt. Aufgabe: Berechne den Term $\tab x\cdot3$ für a) $x=2$, b) $x=5$ und c) $x=10$. Lösung für:a) $x=2$: $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{x}\cdot3}$ $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{x}\cdot3}$| Zahl in Variable einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=\style[red]{2}\cdot3}$ $\align[6]{}\align[10]{=6}$ $\,$ b) $x=5$: $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{x}\cdot3}$ $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{x}\cdot3}$| Zahl in Variable einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=\style[red]{5}\cdot3}$ $\align[6]{}\align[10]{=15}$ $\,$ c) $x=10$: $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{x}\cdot3}$ $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{x}\cdot3}$| Zahl in Variable einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=\style[red]{10}\cdot3}$ $\align[6]{}\align[10]{=30}$ $\,$ Wenn du mit Maßangaben (Längen, Flächen, Volumen, Gewichte, ...) rechnest, musst du oft anstelle einer einfachen Zahl eine Zahl mit der Maßeinheit ($\m, \cm^2, \l, \kg,\ \dots$) einsetzen: Aufgabe: Berechne den Umfang der Quadrate mit den Seitenlängen a) $a=2\cm$, b) $a=3\cm$ und c) $a=6\cm$.Lösung: Der Term für die Berechnung des Umfangs ist $4\cdot \style[red]{a}$. Also ist für a) $a=2\cm}$: $\align[4]{}\align[10]{4\cdot \style[red]{a}}$ $\align[4]{}\align[10]{4\cdot \style[red]{a}}$| Zahl und Einheit einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=4\cdot\style[red]{2\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=8\cm}$ $\,$ b) $a=3\cm}$: $\align[4]{}\align[10]{4\cdot \style[red]{a}}$ $\align[4]{}\align[10]{4\cdot \style[red]{a}}$| Zahl und Einheit einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=4\cdot\style[red]{3\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=12\cm}$ $\,$ c) $a=6\cm}$: $\align[4]{}\align[10]{4\cdot \style[red]{a}}$ $\align[4]{}\align[10]{4\cdot \style[red]{a}}$| Zahl und Einheit einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=4\cdot\style[red]{6\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=24\cm}$ $\,$ Der Term für die Berechnung des Umfangs eines Quadrats kann aber auch sein: $\tab a+a+a+a$. Nanu, jetzt kommt die Variable $a$ plötzlich gleich viermal im Term vor! Was tun? Kommt eine Variable in einem Term mehrfach vor, ist sie an allen Stellen ein Platzhalter für dieselbe Zahl. Beim Berechnen des Terms musst du die Variable also überall durch dieselbe Zahl ersetzen. Aufgabe: Berechne den Umfang der Quadrate mit den Seitenlängen a) $a=2\cm$, b) $a=3\cm$ und c) $a=6\cm$.Lösung: Der Term für die Berechnung des Umfangs ist $\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}$. Also ist für a) $a=2\cm}$: $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}}$ $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}}$| überall Zahl und Einheit einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=\style[red]{2\cm}+\style[red]{2\cm}+\style[red]{2\cm}+\style[red]{2\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=8\cm}$ $\,$ b) $a=3\cm}$: $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}}$ $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}}$| überall Zahl und Einheit einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=\style[red]{3\cm}+\style[red]{3\cm}+\style[red]{3\cm}+\style[red]{3\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=12\cm}$ $\,$ c) $a=6\cm}$: $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}}$ $\align[4]{}\align[10]{\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}+\style[red]{a}}$| überall Zahl und Einheit einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=\style[red]{6\cm}+\style[red]{6\cm}+\style[red]{6\cm}+\style[red]{6\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=24\cm}$ $\,$ Das ist aber noch nicht alles zu Variablen in Termen. Ein Term kann nämlich auch gleich mehrere unterschiedliche Variablen enthalten: Aufgabe: Berechne den Umfang der Rechtecke mit den Seitenlängen a) $a=2\cm$ und $b=3\cm$, b) $a=3\cm$ und $b=1\cm$ sowie c) $a=6\cm$ und $b=4\cm$. Lösung: Der Term für die Berechnung des Umfangs ist $2\cdot \style[red]{a}+2\cdot \style[green]{b}$. Also ist füra) $a=2\cm$ und $b=3\cm$: $\align[4]{}\align[10]{2\cdot \style[red]{a}+2\cdot \style[green]{b}}$ $\align[4]{}\align[10]{2\cdot \style[red]{a}+2\cdot \style[green]{b}}$| Zahlen und Einheiten einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=2\cdot\style[red]{2\cm}+2\cdot\style[green]{3\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=4\cm+6\cm}$ $\align[6]{}\align[10]{=10\cm}$ $\,$ b) $a=3\cm$ und $b=1\cm$: $\align[4]{}\align[10]{2\cdot \style[red]{a}+2\cdot \style[green]{b}}$ $\align[4]{}\align[10]{2\cdot \style[red]{a}+2\cdot \style[green]{b}}$| Zahlen und Einheiten einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=2\cdot\style[red]{3\cm}+2\cdot\style[green]{1\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=6\cm+2\cm}$ $\align[6]{}\align[10]{=8\cm}$ $\,$ c) $a=6\cm$ und $b=4\cm$: $\align[4]{}\align[10]{2\cdot \style[red]{a}+2\cdot \style[green]{b}}$ $\align[4]{}\align[10]{2\cdot \style[red]{a}+2\cdot \style[green]{b}}$| Zahlen und Einheiten einsetzen $\align[6]{}\align[10]{=2\cdot\style[red]{6\cm}+2\cdot\style[green]{4\cm}}$ $\align[6]{}\align[10]{=12\cm+8\cm}$ $\align[6]{}\align[10]{=20\cm}$ $\,$ Oft musst du zu einer "Rechengeschichte" erst den passenden Term mit den passenden Variablen erstellen, bevor du sie für mehrere unterschiedliche Zahlen lösen kannst. Das ist nicht immer leicht. Damit der Term möglichst "einfach" zu berechnen ist, beachte dabei immer: Zum Schluss noch ein weiteres Beispiel für einen Term mit Variablen: Aufgabe: Berechne die Länge des Wegs von $A$ nach $B$ für $x=4\cm$ und $y=2\cm$. Lösung: Die Gesamtlänge des Wegs von $A$ nach $B$ ist die Summe der Längen aller Teilstrecken. Die Gesamtlänge lässt sich also mit dem Term $\tab3\cm+x+2\cm+x+4\cm+y$. berechnen:$\align[0]{}\align[10]{3\cm+\style[red]{x}+2\cm+\style[red]{x}+4\cm+\style[green]{y}}$ $\align[0]{}\align[10]{3\cm+\style[red]{x}+2\cm+\style[red]{x}+4\cm+\style[green]{y}}$ | Zahlen und Einheiten einsetzen $\align[3]{}\align[10]{=3\cm+\style[red]{4\cm}+2\cm+\style[red]{4\cm}+4\cm+\style[green]{2\cm}}$ $\align[3]{}\align[10]{=(3+4+2+4+4+2)\cm}$ $\align[3]{}\align[10]{=19\cm}$ $\,$ Was ist ein Term?

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