Winkel und rechter Winkel

Hier lernst du: was ein Winkel ist, was ein rechter Winkel ist und welche Gruppen von Winkeln es gibt.

Winkel und rechter Winkel

Sieh dir das Bild an: Die beiden Dachschrägen stoßen oben am Giebel ziemlich spitz zusammen. Wie kann man "mathematisch" beschreiben, wie "spitz" sich die beiden Dachschrägen "treffen"? Hier lernst du:

• was ein Winkel ist,
• was ein rechter Winkel ist und
• welche Gruppen von Winkeln es gibt.

Den Dachgiebel können wir "mathematisch" darstellen ("modellieren"): Wir stellen den Dachgiebel mit zwei Halbgeraden dar. Ihr gemeinsamer Anfangspunkt ist Punkt $S$. Die beiden Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden einen Winkel. Zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt bilden zusammen einen Winkel. Die Halbgeraden eines Winkels heißen Schenkel, der gemeinsame Anfangspunkt heißt Scheitelpunkt.Den Winkel markierst du mit einem kleinen Kreisbogen.

"Können nur Halbgeraden einen Winkel bilden? Was ist mit Strecken?"

Die auch, zumindest fast! Auch Strecken mit einem gemeinsamen Endpunkt treffen sich in einem Winkel. Aber sieh dir diese Animation an:Auch wenn sich die Längen der Strecken ändern: Der Winkel am Scheitelpunkt $S$ bleibt immer "gleich spitz". Die Längen der Strecken sind also unwichtig dafür, wie spitz der Winkel ist. Daher nehmen wir für die Definition Halbgeraden statt Strecken. Denn Halbgeraden haben keine bestimmte Länge. ("Unendlich lang" ist keine bestimmte Länge.) Wenn du ganz genau sein willst, kannst du unterscheiden:

• Zwei Halbgeraden mit demselbem Anfangspunkt bilden einen Winkel.
• Zwei Linien (Halbgeraden, Geraden, Strecken ...) treffen sich in einem gemeinamen Punkt mit einem bestimmten Winkel.

Winkeln kannst du Bezeichnungen geben. Dafür hast du mehrere Möglichkeiten: Du bezeichnest einen Winkel mit ...

1. einem griechischen Kleinbuchstaben: $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ usw. Die Bezeichnung schreibst du in den Kreisbogen oder, wenn der Winkel zu klein ist, daneben. (Gleich mehr dazu.)
2. den Bezeichnungen seiner Halbgeraden nach einem kleinen Winkelsymbol: $\angle ab$
3. den Bezeichnungen der Punkte, durch die die Schenkel führen, nach dem Winkelsymbol: $\angle ASB$ Der Scheitelpunkt steht dabei immer in der Mitte.

Noch ein paar Worte zum griechischen Alphabet: Im Großen und Ganzen "funktioniert" es ähnlich wie "unser" lateinische Alphabet. Nur sehen die Buchstaben etwas anders aus und heißen auch anders. Winkel werden meistens mit den ersten Buchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet. Merke dir vor allem die ersten fünf Buchstaben und ihre Namen:Bis auf das Gamma $\gamma$ entsprechen die ersten fünf Buchstaben also denen des lateinischen Alphabets. Entsprechend wird der Winkel bei einem Punkt $A$ meist mit $\alpha$ bezeichnet, der Winkel bei Punkt $B$ mit $\beta$, der Winkel bei Punkt $C$ mit $\gamma$ usw. Bei einer Strecke kann man die Länge angeben. Bei einem Winkel kann man angeben, wie "spitz" sich die beiden Schenkel im Scheitelpunkt treffen. Das Maß, wie "spitz" ein Winkel ist, heißt ebenfalls Winkel. Der "Winkel eines Winkels" wird meistens in der Maßeinheit Grad gemessen. Statt "Grad" schreibst du einen kleinen, hochgestellten Kreis $\circ$: Du schreibst zum Beispiel: $\alpha=60\circ$ oder $\angle ab=60\circ$ oder $\beta=120\circ$ Das sprichst du als: "Alpha ist gleich 60 Grad", oder: "Der Winkel der Halbgeraden $a$ und $b$ ist 60 Grad", oder: "Der Winkel Beta ist gleich 120 Grad (groß)." Du kannst die Größe des Winkels auch direkt in den Winkel schreiben, wenn der Winkel keinen Buchstaben als Bezeichnung hat.

Rechter Winkel

Wie du Winkel misst und zeichnest, erfährst du in anderen Lerneinheiten. Einen ganz besonderen Winkel lernst du aber schon jetzt kennen: den rechten Winkel. Ein rechter Winkel entsteht, wenn ein Strahl von einem Punkt auf einer Geraden so wegführt, dass er mit der Geraden zwei genau gleiche Winkel bildet:Wenn die Winkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind, also $\alpha=\beta$, dann sind $\alpha$ und $\beta$ rechte Winkel. Ein rechter Winkel hat immmer die Größe $90\circ$. Es gilt dann also: $\alpha=90\circ$ und $\beta=90\circ$. Einen rechten Winkel kennzeichnest du mit einem Punkt im Kreisbogen: Der Punkt ist eine Kurzform für "$90\circ$". Es genügt, nur einen der beiden Winkel als rechten Winkel zu kennzeichnen. Da beide Winkel gleich groß sind, ist der zweite Winkel automatisch auch ein rechter Winkel. Rechte Winkel findest du in der "Realität" sehr, sehr häufig: Bei Gebäuden, Möbeln und vielem anderen mehr sind fast alle Winkel rechte Winkel. Fenster, Türen, Mauersteine, Fließen usw. haben an den Ecken meistens rechte Winkel, damit man sie gut zusammenfügen kann. Mauern, Wände und Türme "treffen" im rechten Winkeln auf den Boden __ so stehen sie am stabilsten. Rechte Winkel dienen auch dazu, um andere Winkel grob einzuteilen. Je nachdem, ob ein Winkel "spitzer" oder weniger "spitz" als ein rechter Winkel ist, bekommen sie eigene Bezeichnungen: Spitze Winkel sind kleiner ("spitzer") als ein rechter Winkel, also $\alpha\lt90\circ$: Stumpfe Winkel sind größer ("stumpfer") als ein rechter Winkel, also $\alpha\gt90\circ$ und $\alpha\lt180\circ$: Überstumpfe Winkel sind größer als zwei rechte Winkel, also $\alpha\gt180\circ$: Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte