Hier lernst du, wann Gleichungen äquivalent sind und wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst.
Hier lernst du, wann Gleichungen äquivalent sind und wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst.
Äquivalenz von Gleichungen
Wie ist die Lösung der Gleichung
3x+4=16-x?
Du kannst natürlich verschiedene Werte für x ausprobieren.
/Aber wäre es nicht schön, es gäbe ein Verfahren, mit dem sich die Lösung ganz einfach ausrechnen ließe?
/
Ein solches Verfahren gibt es! Es heißt: Äquivalenzumformung von Gleichungen.
Aber bevor du lernst, wie das geht, lernst du hier noch, was äquivalente Gleichungen sind.
/
wann Gleichungen äquivalent sind und
wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst.
(Muster Balkenwaage)
Sieh dir die Balkenwaage an:Genau dann, wenn auf beiden Waagschalen dasselbe Gewicht liegt, ist die Waage im Gleichgewicht.
/
Betrachten wir jetzt eine Waage, deren Waagschalen bereits im Gleichgewicht sind:
Was passiert, wenn du auf beide Waagschalen die gleichen Gewichte legst? Na klar, die Waagschalen bleiben im Gleichgewicht. Und wenn du diese Gewichte wieder entfernst? Die Waagschalen bleiben natürlich immer noch im Gleichgewicht. Also: Wenn du auf eine Balkenwaage im Gleichgewicht auf beide Waagschalen die gleichen Gewichte legst oder entfernst, bleibt die Waagschale im Gleichgewicht.
/
Legen wir jetzt auch ein unbekanntes Gewicht auf eine der Waagschalen.
Bringe zunächst die Waagschalen ins Gleichgewicht. Was passiert, wenn du jetzt von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst? Die Waagschalen sind immer noch im Gleichgewicht. Aber jetzt siehst du sofort, welches Gewicht sich hinter dem "x" verbirgt: nämlich das Gewicht "2" (oder "1" und "1").
Eine Balkenwaage, deren Waagschalen im Gleichgewicht sind, ist ein Modell für eine Gleichung:
Die Gewichte auf jeder Waagschale stehen für einen Term.
Die Gewichte auf beiden Waagschalen wiegen jeweils gleich viel (= die beiden Terme sind gleichwertig).
/
Wenn du auf beide Waagschalen die gleichen Gewichte legst oder entfernst, veränderst du also die Gleichung:
Die Balkenwaage zeigt zunächst die Gleichung: x+1+1=1+1+1+1. Klar, dass die beiden Waagschalen nur dann im Gleichgewicht sind, wenn hinter dem x das Gewicht "2" ist, oder? Die Gleichung hat also die Lösung x=2. Wenn du nun von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst, "entsteht" eine neue Gleichung. Wenn du nun von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst, "entsteht" eine neue Gleichung: x=1+1 Auch jetzt können die beiden Waagschalen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn hinter dem x das Gewicht "2" ist. Auch diese Gleichung hat also die Lösung x=2. Und genau das ist das Interessante daran: Die Gleichungen "x+1+1=1+1+1+1" und "x=1+1" haben dieselbe Lösung!
Gleichungen, die genau die gleiche Lösung haben, heißen (zueinander) äquivalent. Äquivalente Gleichungen werden mit einem Doppelpfeil \Leftrightarrow miteinander verbunden.
Prüfe die Lösungen nach!
x=1+1\Leftrightarrowx+1+1=1+1+1+1 (Lösung für beide Gleichungen: x=2) \, x=3\Leftrightarrowx+5=8 (Lösung: x=3) \, x+2=3\Leftrightarrowx-3=-2 (Lösung: x=1) \, x+4=2x\Leftrightarrow3x=16-x (Lösung: x=4)
/
Warum ist das interessant? Weil du bei manchen Gleichungen ihre Lösung leicht ablesen kannst:
Die Gleichung x=4 hat die Lösung: x=4 \, Die Gleichung x=76 hat die Lösung: x=76 \, Die Gleichung x=\frac23 hat die Lösung: x=\frac23 \, Die Gleichung x=a hat die Lösung: x=a
Doch, nämlich beides! x=4 ist eine Gleichung, deren Lösung du leicht ablesen kannst.
/
Genau das kannst du nutzen, um die Lösung einer (komplizierteren) Gleichung wie "3x+4=16-x" zu berechnen:
Um die Lösung einer Gleichung zu berechnen, forme sie um in eine äquivalente Gleichung der Form:
x=\textZahl,
also mit der bloßen Variablen auf der einen Seite und einer Zahl (die du ausrechnen musst) auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens.
(Wie du Gleichungen in äquivalente Gleichungen umformst, lernst du in der nächsten Lerneinheit.)
/
Dasselbe Prinzip hast du übrigens schon genutzt! Nämlich als du die Lösung einer Gleichung angegeben hast:
Beispiel für die Angabe der Lösung einer Gleichung:
x+2=6 \Leftrightarrowx=4
Eigentlich sagt diese Darstellung nur aus, dass die Gleichung "x=4" äquivalent ist zur Gleichung "x+2=6".
Aber weil damit beide Gleichungen dieselbe Lösung haben, kannst du die Lösung der zweiten Gleichung (die du leicht ablesen kannst) direkt auf die erste Gleichung übertragen.
Praktisch, nicht wahr?
Hier lernst du, wann Gleichungen äquivalent sind und wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst.
Äquivalenz von Gleichungen
Wie ist die Lösung der Gleichung
///
$\tab 3x+4=16-x$?
///
Du kannst natürlich verschiedene Werte für $x$ ausprobieren.
////
Aber wäre es nicht schön, es gäbe ein Verfahren, mit dem sich die Lösung ganz einfach ausrechnen ließe?
////
Ein solches Verfahren gibt es! Es heißt: Äquivalenzumformung von Gleichungen.
///
Aber bevor du lernst, wie das geht, lernst du hier noch, was äquivalente Gleichungen sind.
////
wann Gleichungen äquivalent sind und
wie du das für die Berechnung der Lösung einer Gleichung nutzen kannst.
Die Gewichte auf jeder Waagschale stehen für einen Term.
Die Gewichte auf beiden Waagschalen wiegen jeweils gleich viel (= die beiden Terme sind gleichwertig).
////
Wenn du auf beide Waagschalen die gleichen Gewichte legst oder entfernst, veränderst du also die Gleichung:
set x0=40 y0=5;
// Waage
#weight paint rect color=gray fill=silver;
#x paint rect color=RosyBrown fill=burlywood;
paint polygon points="0,0 2,30 20,32 20,33 -20,33 -20,32 -2,30 0,0" fill=maroon;
paint rect x=-50 y=33 width=100 height=2 fill=lightgrey color=none;
paint line x=-50 y=33 alpha=90 length=100 thickness=3;
groupstart id=scale;
// Balken
paint polygon points="0,-2 19,1 20.2,2 0.5,2 0,10 -0.5,2 -20.2,2 -19,1 0,-2" color=darkgoldenrod fill=goldenrod;
paint ellipse x=0 y=0 r=0.3 color=SaddleBrown fill=SaddleBrown;
// linke Schale
groupstart id=scale_l;
paint polyline points="-35,25.5 -20,2 -5,25.5";
// Gewichte
groupstart id=2_1l; x=-30 y=25 width=6.3 height=-6.3 #weight; paint latex x=-30 y=21.8 valign=middle value="\align[2.8:c]{2}"; groupend opacity=0;
groupstart id=1_1l; x=-20 y=25 width=5 height=-5 #weight; paint latex x=-20 y=22.5 valign=middle value="\align[2.2:c]{1}"; groupend;
groupstart id=1_2l; x=-14 y=25 width=5 height=-5 #weight; paint latex x=-14 y=22.5 valign=middle value="\align[2.2:c]{1}"; groupend;
groupstart id=x; x=-30 y=25 width=8 height=-8 #x; paint latex x=-30 y=21 valign=middle value="\align[3.5:c]{x}"; groupend;
paint rect x=-35 y=25 width=30 height=1 color=darkgoldenrod fill=goldenrod;
groupend origin="-20 2" xdrotate=10;
// rechte Schale
groupstart id=scale_r;
paint polyline points="5,25.5 20,2 35,25.5";
// Gewichte
groupstart id=1_1r; x=8 y=25 width=5 height=-5 #weight; paint latex x=8 y=22.5 valign=middle value="\align[2.2:c]{1}"; groupend;
groupstart id=1_2r; x=14 y=25 width=5 height=-5 #weight; paint latex x=14 y=22.5 valign=middle value="\align[2.2:c]{1}"; groupend;
groupstart id=1_3r; x=21 y=25 width=5 height=-5 #weight; paint latex x=21 y=22.5 valign=middle value="\align[2.2:c]{1}"; groupend;
groupstart id=1_4r; x=28 y=25 width=5 height=-5 #weight; paint latex x=28 y=22.5 valign=middle value="\align[2.2:c]{1}"; groupend;
paint rect x=5 y=25 width=30 height=1 color=darkgoldenrod fill=goldenrod;
groupend origin="20 2" xdrotate=10;
groupend origin="0 0" xdrotate=-10;
// End: Waage
#in transform my=0 xdelay=900;
#out transform my=-35;
#left transform id=scale rotate=-10 + transform id=scale_l rotate=10 + transform id=scale_r rotate=10 + delay=2500;
#equal transform id=scale rotate=0 + transform id=scale_l rotate=0 + transform id=scale_r rotate=0 + delay=2500;
#right transform id=scale rotate=10 + transform id=scale_l rotate=-10 + transform id=scale_r rotate=-10 + delay=2500;
write clear value="Die Balkenwaage zeigt zunächst die Gleichung: $\align[8:r]{x+1+1}=1+1+1+1$.";
wait delay;
write clear value="Klar, dass die beiden Waagschalen nur dann im Gleichgewicht sind, wenn hinter dem $x$ das Gewicht ,,2'' ist, oder?";
write value="Die Gleichung hat also die Lösung $x=2$.";
wait delay;
write clear value="Wenn du nun von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst, ,,entsteht'' eine neue Gleichung.";
id=1_1l #out;
id=1_2l #out;
id=1_3r #out;
id=1_4r #out;
delay=1500;
write lastclear nofadein value="Wenn du nun von beiden Waagschalen die gleichen Gewichte entfernst, ,,entsteht'' eine neue Gleichung: $\align[8:r]{x}=1+1$";
wait delay;
write clear value="Auch jetzt können die beiden Waagschalen nur dann im Gleichgewicht sein, wenn hinter dem $x$ das Gewicht ,,2'' ist.";
write value="Auch diese Gleichung hat also die Lösung $x=2$.";
wait delay;
write clear value="Und genau das ist das Interessante daran:";
write value="Die Gleichungen ,,$x+1+1=1+1+1+1$'' und ,,$x=1+1$'' haben dieselbe Lösung!";
repeat button;
Gleichungen, die genau die gleiche Lösung haben, heißen (zueinander) äquivalent.
///
Äquivalente Gleichungen werden mit einem Doppelpfeil $\Leftrightarrow$ miteinander verbunden.
set x0=10 y0=6;
paint line cx=0 cy=-1 alpha=90 length=10 pencil keep;
paint line cx=0 cy=1 alpha=90 length=10 pencil keep;
paint polyline points="-3,-3 -6,0 -3,3" pencil keep;
paint polyline points="3,-3 6,0 3,3" pencil;
delay=5000;
paint rect x=-20 y=-10 width=35 height=20 fill=white opacin delay=1200;
repeat;
Prüfe die Lösungen nach!
write ul value="$\align[10:r]{x=1+1}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}x+1+1=1+1+1+1$";
write ul=x value="$\align[5]{}$(Lösung für beide Gleichungen: $x=2$) $\,$" delay=2500;
write ul value="$\align[10:r]{x=3}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}x+5=8$";
write ul=x value="$\align[5]{}$(Lösung: $x=3$) $\,$" delay=2500;
write ul value="$\align[10:r]{x+2=3}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}x-3=-2$";
write ul=x value="$\align[5]{}$(Lösung: $x=1$) $\,$" delay=2500;
write ul value="$\align[10:r]{x+4=2x}\align[6:c]{\style[red]{\Leftrightarrow}}3x=16-x$";
write ul=x value="$\align[5]{}$(Lösung: $x=4$)";
////
Warum ist das interessant?
Weil du bei manchen Gleichungen ihre Lösung leicht ablesen kannst:
write ul value="Die Gleichung $\align[5:r]{x}\align[5]{=4}$ hat die Lösung: $x=4$ $\,$";
write ul value="Die Gleichung $\align[5:r]{x}\align[5]{=76}$ hat die Lösung: $x=76$ $\,$";
write ul value="Die Gleichung $\align[5:r]{x}\align[5]{=\frac{2}{3}}$ hat die Lösung: $x=\frac{2}{3}$ $\,$";
write ul value="Die Gleichung $\align[5:r]{x}\align[5]{=a}$ hat die Lösung: $x=a$";
///
Doch, nämlich beides! $x=4$ ist eine Gleichung, deren Lösung du leicht ablesen kannst.
////
Genau das kannst du nutzen, um die Lösung einer (komplizierteren) Gleichung wie ,,$3x+4=16-x$'' zu berechnen:
Um die Lösung einer Gleichung zu berechnen, forme sie um in eine äquivalente Gleichung der Form:
///
$\tab x=\text{Zahl}$,
///
also mit der bloßen Variablen auf der einen Seite und einer Zahl (die du ausrechnen musst) auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens.
(Wie du Gleichungen in äquivalente Gleichungen umformst, lernst du in der nächsten Lerneinheit.)
////
Dasselbe Prinzip hast du übrigens schon genutzt! Nämlich als du die Lösung einer Gleichung angegeben hast:
Beispiel für die Angabe der Lösung einer Gleichung:
write ul value="$\align[17]{x+2=6}$";
write ul=x value="$\align[3]{\Leftrightarrow}\align[2:r]{x}\align[7]{=4}$";
Eigentlich sagt diese Darstellung nur aus, dass die Gleichung ,,$x=4$'' äquivalent ist zur Gleichung ,,$x+2=6$''.
///
Aber weil damit beide Gleichungen dieselbe Lösung haben, kannst du die Lösung der zweiten Gleichung
(die du leicht ablesen kannst) direkt auf die erste Gleichung übertragen.
///
Praktisch, nicht wahr?
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
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oder mit dem Link https://www.matheklaro.de/ jederzeit wieder laden.
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Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen
aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“
erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen
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Martin Hoos
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Martin Hoos
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