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Brüche erweitern und kürzen

Hier lernst du, wie du Brüche erweiterst und kürzt.

Brüche erweitern und kürzen

Antonio und Natalja haben in ihrer Klasse eine Umfrage gemacht.
"16 von 24 Kindern kommen mit dem Fahrrad in die Schule", stellt Antonio fest.
"Das sind genau zwei Drittel aller Kinder", erklärt Natalja und schreibt an die Tafel:
\scale[1.4]\frac1624=\frac23

wie du Brüche erweiterst und
wie du Brüche kürzt.

Betrachte den Bruch \frac23 auf dem Zahlenstrahl:

Zeichne zuerst den Bruch ein. Was passiert, wenn wir die einzelnen Streckenabschnitte halbieren? Die Striche unterteilen die Strecken zwischen den ganzen Zahlen nun in 6 Teilstrecken. Zähle nun die Striche bis zum roten Strich. Bis zum roten Strich zählst du 4 Striche. 4 von 6 Teilstrecken? Der rote Strich kennzeichnet also den Bruch \frac46.

Wie jetzt? Den Strich haben wir doch eben erst beim Bruch \frac23 eingezeichnet?

Und jetzt soll er den Bruch \frac46 kennzeichnen?

Genau! Es gilt nämlich:
\scale[1.4]\frac23=\frac46

Das ist ja auch nicht weiter erstaunlich.
Denn wenn du die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in doppelt so viele Teilstrecken unterteilst, dann musst du auch doppelt so viele Striche zählen bis zur selben Stelle auf dem Zahlenstrahl.

Und das gilt nicht nur für Verdoppelungen, sondern für alle weiteren Unterteilungen. Zähl nach!

Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizierst, bleibt die Bruchzahl gleich.
Man sagt dazu: Der Bruch wird mit dieser Zahl erweitert.

\frac23=\frac2⋅23⋅2| erweitern mit 2
=\frac46
\frac23=\frac2⋅33⋅3| erweitern mit 3
=\frac69
\frac58=\frac5⋅108⋅10| erweitern mit 10
=\frac5080
-\ \frac34=-\ \frac3⋅44⋅4| erweitern mit 4
=-\ \frac1216

Umgekehrt kannst du viele Brüche auch kürzen.
Dazu teilst du Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche natürliche (oder ganze) Zahl:

\frac69=\frac6:39:3| kürzen durch 3
=\frac23

Kürzen geht aber nur dann, wenn die Zahl, durch die du kürzt, ein Teiler sowohl vom Zähler als auch vom Nenner ist!
Denn nur dann sind der "neue" Zähler und der "neue" Nenner wieder natürliche (oder ganze) Zahlen!

Zum Beispiel darfst du \frac46 nicht durch 3 kürzen, weil 3 kein Teiler vom Zähler 4 ist. (4:3 ergibt keine ganze Zahl.)

Was passiert, wenn du es trotzdem machst? Probieren wir es aus:

\frac46=\frac4:36:3| kürzen durch 3
=\frac1\text Rest 12

Und das sieht doch ziemlich blöd aus, oder?

Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler dividierst, bleibt die Bruchzahl gleich.
Man sagt dazu: Der Bruch wird um diese Zahl gekürzt.

\frac46=\frac4:26:2| kürzen durch 2
=\frac23
\frac69=\frac6:39:3| kürzen durch 3
=\frac23
\frac5080=\frac50:1080:10| kürzen durch 10
=\frac58
-\ \frac1216=-\ \frac12:416:4| kürzen durch 4
=-\ \frac34

Du siehst: Erweitern mit und kürzen durch dieselbe Zahl führen zum "ursprünglichen" Bruch:
\frac23=\frac2⋅23⋅2| erweitern mit 2
=\frac46
=\frac4:26:2| kürzen durch 2
=\frac23
Die beiden Operationen heben sich gegenseitig auf.

Nein. Brüche, deren Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (außer der 1) haben, lassen sich nicht kürzen.

Solche Brüche bekommen auch einen besonderen Namen: Ein vollständig gekürzter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) haben.
Einen Bruch in einen vollständig gekürzten Bruch umzuformen, heißt, diesen Bruch vollständig zu kürzen.

Manchmal ist es nicht leicht zu erkennen, ob ein Bruch vollständig gekürzt ist. Du musst dann verschiedene mögliche Teiler ausprobieren.

Systematisch geht das, indem du Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst. Wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren (mehr) haben, sind sie vollständig gekürzt:

\frac4260| in Primfaktoren zerlegen
=\frac2⋅3⋅72⋅2⋅3⋅5| durch die gemeinsamen Primfaktoren kürzen
=\frac72⋅5
=\frac710| = vollständig gekürzter Bruch
\
\frac2144| in Primfaktoren zerlegen
=\frac3⋅72⋅2⋅11| keine gemeinsamen Primfaktoren
=\frac2144| = vollständig gekürzter Bruch
\
\frac105847| in Primfaktoren zerlegen
=\frac3⋅5⋅77⋅11⋅11| durch gemeinsamen Primfaktor kürzen
=\frac3⋅511⋅11
=\frac15121| = vollständig gekürzter Bruch
\

Bei manchen Brüchen ist es ganz einfach zu erkennen, dass sie vollständig gekürzt sind:

Brüche mit einer 1 im Zähler oder Nenner:
\frac14, \frac51, \frac1214, \dots
\
Brüche mit einer 2 im Zähler oder Nenner, wenn die andere Zahl ungerade ist:
\frac25, \frac247, \frac92, \dots
\
Brüche mit einer 3 im Zähler oder Nenner, wenn die Quersumme der anderen Zahl nicht durch 3 teilbar ist:
\frac314, \frac3382, \frac223, \dots
\
Brüche mit einer 5 oder 10 im Zähler oder Nenner, wenn die andere Zahl nicht auf 5 oder 0 endet:
\frac519, \frac10434, \frac165, \dots
\

Erkennst du die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 wieder?

Hier lernst du, wie du Brüche erweiterst und kürzt.

Brüche erweitern und kürzen

Antonio und Natalja haben in ihrer Klasse eine Umfrage gemacht. /// ,,16 von 24 Kindern kommen mit dem Fahrrad in die Schule'', stellt Antonio fest. /// ,,Das sind genau zwei Drittel aller Kinder'', erklärt Natalja und schreibt an die Tafel: /// $\tab\scale[1.4]{\frac{16}{24}=\frac{2}{3}}$

wie du Brüche erweiterst und
wie du Brüche kürzt.

; $br3_2_1a=lmtRandom(1,10); $br3_2_1b=lmtRandom(11,20); $br3_2_2a=lmtRandom(5,20); $br3_2_2b=lmtRandom(2,$br3_2_2a-1); $br3_2_3a=lmtRandom(1,50); $br3_2_3b=lmtRandom(1,50); ; ;;;;; ; $_bruch3_2_complete = ($_page.inputs.bruch3_2_1a != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_2_1b != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_2_2a != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_2_2b != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_2_3a != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_2_3b != "") .and. true; $_bruch3_2_correct = ($_page.inputs.bruch3_2_1a == $br3_2_1a) .and. ($_page.inputs.bruch3_2_1b == $br3_2_1b) .and. ($_page.inputs.bruch3_2_2a == $br3_2_2a) .and. ($_page.inputs.bruch3_2_2b == $br3_2_2b) .and. ($_page.inputs.bruch3_2_3a == $br3_2_3a) .and. ($_page.inputs.bruch3_2_3b == $br3_2_3b) .and. true; ; $_bruch3_3_complete = ($_page.inputs.bruch3_3_1a != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_3_1b != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_3_2a != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_3_2b != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_3_3a != "") .and. ($_page.inputs.bruch3_3_3b != "") .and. true; $_bruch3_3_correct = ($_page.inputs.bruch3_3_1a == 5) .and. ($_page.inputs.bruch3_3_1b == 3) .and. ($_page.inputs.bruch3_3_2a == 4) .and. ($_page.inputs.bruch3_3_2b == 5) .and. ($_page.inputs.bruch3_3_3a == 7) .and. ($_page.inputs.bruch3_3_3b == 2) .and. true; ;; $_teilbarkeit_3_complete = ($_page.inputs.teilbarkeit_3_1 != "") .and. ($_page.inputs.teilbarkeit_3_2 != "") .and. ($_page.inputs.teilbarkeit_3_3 != "") .and. true; $_teilbarkeit_3_correct = (([1,2,4,5,10,20]).indexOf(Number($_page.inputs.teilbarkeit_3_1)) .gt. -1) .and. (([2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,14]).indexOf(Number($_page.inputs.teilbarkeit_3_2)) .gt. -1) .and. (([1,17]).indexOf(Number($_page.inputs.teilbarkeit_3_3)) .gt. -1) .and. true; ; $_primfaktoren_1_complete = ($_page.inputs.primfaktoren_1_1 != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_2a != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_2b != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_3a != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_3b != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_4a != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_4b != "") .and. true; $_primfaktoren_1_correct = ($_page.inputs.primfaktoren_1_1 == 3) .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_2a == 2) .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_2b == 2) .and. (($_page.inputs.primfaktoren_1_3a == 5) || ($_page.inputs.primfaktoren_1_3a == 11)) .and. (($_page.inputs.primfaktoren_1_3b == 5) || ($_page.inputs.primfaktoren_1_3b == 11)) .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_3a != $_page.inputs.primfaktoren_1_3b) .and. (($_page.inputs.primfaktoren_1_4a == 2) || ($_page.inputs.primfaktoren_1_4a == 11)) .and. (($_page.inputs.primfaktoren_1_4b == 11) || ($_page.inputs.primfaktoren_1_4b == 2)) .and. ($_page.inputs.primfaktoren_1_4a != $_page.inputs.primfaktoren_1_4b) .and. true; ; $_primfaktoren_2_complete = ($_page.inputs.primfaktoren_2_1 != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_2_2a != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_2_2b != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_2_3a != "") .and. ($_page.inputs.primfaktoren_2_3b != "") .and. true; $_primfaktoren_2_correct = ($_page.inputs.primfaktoren_2_1 == 2) .and. (($_page.inputs.primfaktoren_2_2a == 2) || ($_page.inputs.primfaktoren_2_2a == 7)) .and. (($_page.inputs.primfaktoren_2_2b == 7) || ($_page.inputs.primfaktoren_2_2b == 2)) .and. ($_page.inputs.primfaktoren_2_2a != $_page.inputs.primfaktoren_2_2b) .and. ($_page.inputs.primfaktoren_2_3a == 5) .and. ($_page.inputs.primfaktoren_2_3b == 13) .and. true; ; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welche dieser Zahlen sind rationale Zahlen? Klicke sie an! /// $\frac{2}{5}$ $\frac{1000}{10}$ $0$ $\frac{-37}{194}$ $-\ \frac{1}{3}$ $96$ $-4$ #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welchem Bruch entspricht die Division? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken: ///

$#$br3_2_1a#:#$br3_2_1b#=$

/// /_

$#$br3_2_2a#:#$br3_2_2b#=$

/// /_

$#$br3_2_3a#:#$br3_2_3b#=$

#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Auf welchen Bruch zeigt der Pfeil? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken: ///

//paint mmpaper; paint numberline x=5 y=3 width=50 min=-1 max=3 step=1 captionstep=1; paint numberline x=5 y=3 width=50 min=-1 max=3 step=0.333 captionstep=1; paint pointer x=38.3 y=3 length=8 alpha=180 reverse color=red thickness=3;

/// /_

//paint mmpaper; paint numberline x=5 y=3 width=50 min=0 max=4 step=1 captionstep=1; paint numberline x=5 y=3 width=50 min=0 max=4 step=0.2 captionstep=1; paint pointer x=15 y=3 length=8 alpha=180 reverse color=red thickness=3;

/// /_

//paint mmpaper; paint numberline x=5 y=3 width=50 min=0 max=5 step=1 captionstep=1; paint numberline x=5 y=3 width=50 min=0 max=5 step=0.5 captionstep=1; paint pointer x=40 y=3 length=8 alpha=180 reverse color=red thickness=3;

#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Sind die Aussagen richtig oder falsch? /// Zwei natürliche Zahlen ... text="... sind jeweils Teiler ihrer Summe."; text="... sind jeweils Teiler ihres Produkts." correct; text="... sind immer Teiler voneinander."; text="... haben beide immer die 1 als Teiler." correct; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Ergänze die Aussagen. Oft sind auch mehrere Antworten möglich: ///

20	$\mid$
15	$\nmid$
17	$\mid$

#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Ergänze die fehlenden Primfaktoren: /// $30=2\cdot$$\cdot5$ /// $80=2\cdot$$\cdot$$\cdot2\cdot5$ /// $1100=2\cdot2\cdot$$\cdot5\cdot$ /// $22=$$\cdot$$\cdot$ #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Ergänze die fehlenden Zahlen: /// $3\cdot4\cdot4\cdot11\cdot11\cdot19=3\cdot4$$\cdot11^2\cdot19$ /// $2^3\cdot7^2\cdot17=2\cdot2\cdot$$\cdot$$\cdot7\cdot17$ /// $3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5\cdot13=3^2\cdot$$^3\cdot$ #$correctCatText[$correctCat]# /// /_text1="Folgendes Lernthema solltest du dir vielleicht noch ansehen:"; text2="Folgende Lernthemen solltest du dir vielleicht noch ansehen:"; allTests; $_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text; Betrachte den Bruch $\frac{2}{3}$ auf dem Zahlenstrahl: set originx=8 originy=7; groupstart id=p1; paint pointer id=p1a x=21.1 y=-3 length=40 alpha=270 reverse thickness=4 color=green; paint id=p1c rect x=-40 y=-5 width=61.6 height=3.5 color=none fill=white; paint id=p1b line x=21.6 y=-4 length=4 alpha=180 thickness=4 color=green opacity=0; groupend; paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=65; write clear value="Zeichne zuerst den Bruch ein."; paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=65 qstep=3 captionstep=1 animate; delay=100; transform id=p1b opacity=1; transform id=p1a mdx=7.3; delay=1500; transform id=p1a mdx=7.3; delay=1500; delay=100; paint line x=36 y=-2 length=4 alpha=180 thickness=6 color=red pencil; paint latex x=36 y=4 align=center valign=top value="\frac{2}{3}" size=0.8 fadein=west; transform id=p1 opacity=0; wait delay; // Pfeil zurücksetzen transform id=p1b opacity=0 transition=0s; transform id=p1a mdx=-14.6 transition=0s; delay=10; write clear value="Was passiert, wenn wir die einzelnen Streckenabschnitte halbieren?"; paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=65 qstep=6 captionstep=1 animate; paint line x=36 y=-2 length=4 alpha=180 thickness=6 color=red; wait delay; write clear value="Die Striche unterteilen die Strecken zwischen den ganzen Zahlen nun in 6 Teilstrecken."; wait delay; write clear value="Zähle nun die Striche bis zum roten Strich."; transform id=p1b opacity=1; transform id=p1 opacity=1 transition=0s delay=0; transform id=p1a mdx=3.65; delay=1500; transform id=p1a mdx=3.65; delay=1500; transform id=p1a mdx=3.65; delay=1500; transform id=p1a mdx=3.65; delay=1500; delay=100; write clear value="Bis zum roten Strich zählst du 4 Striche."; wait delay; write clear value="4 von 6 Teilstrecken?" delay=1500; write value="Der rote Strich kennzeichnet also den Bruch $\frac{4}{6}$."; write all button; repeat button; Wie jetzt? Den Strich haben wir doch eben erst beim Bruch $\frac{2}{3}$ eingezeichnet? set originx=8 originy=10; paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 qstep=3 captionqstep=1 width=65; paint line x=36.1 y=-2 length=4 alpha=180 thickness=6 color=red pencil; paint latex x=36.1 y=4 align=center valign=top value="\frac{2}{3}" size=0.8 fadein=west; paint numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=65 step=0.1666666 captionstep=1 animate; paint line x=36.1 y=-2 length=4 alpha=180 thickness=6 color=red; paint latex x=36.1 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{4}{6}" size=0.8 fadein=west; Und jetzt soll er den Bruch $\frac{4}{6}$ kennzeichnen? Genau! Es gilt nämlich: /// $\tab\scale[1.4]{\frac{2}{3}=\frac{4}{6}}$ /// Das ist ja auch nicht weiter erstaunlich. /// Denn wenn du die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in doppelt so viele Teilstrecken unterteilst, dann musst du auch doppelt so viele Striche zählen bis zur selben Stelle auf dem Zahlenstrahl. set originx=8 originy=10; paint id=nl1 numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=65 qstep=3 captionqstep=1 ; paint id=nl2 numberline x=0 y=0 min=-1 max=2 width=65 step=0.1666666 captionstep=1 opacity=0; paint line x=36.1 y=-2 length=4 alpha=180 thickness=6 color=red; paint id=n1 latex x=36.1 y=4 align=center valign=top value="\frac{2}{3}" size=0.8; paint id=n2 latex x=36.1 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{4}{6}" size=0.8 opacity=0; delay=5000; transform id=nl2 opacity=1; transform id=n2 opacity=1; transform id=n1 opacity=0 delay=1100; delay=5000; transform id=nl2 opacity=0; transform id=n2 opacity=0; transform id=n1 opacity=1 delay=1100; repeat; Und das gilt nicht nur für Verdoppelungen, sondern für alle weiteren Unterteilungen. Zähl nach! set originx=8 originy=10; paint id=nl2 numberline x=0 y=0 min=-0.1 max=1.15 width=65 qstep=6 captionqstep=1 opacity=0; paint id=n2 latex x=40 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{4}{6}" size=0.8 opacity=0; paint id=nl3 numberline x=0 y=0 min=-0.1 max=1.15 width=65 qstep=9 captionqstep=1 opacity=0; paint id=n3 latex x=40 y=4 align=center valign=top value="\frac{6}{9}" size=0.8 opacity=0; paint id=nl4 numberline x=0 y=0 min=-0.1 max=1.15 width=65 qstep=12 captionqstep=1 opacity=0; paint id=n4 latex x=40 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{8}{12}" size=0.8 opacity=0; paint id=nl5 numberline x=0 y=0 min=-0.1 max=1.15 width=65 qstep=18 captionqstep=1 opacity=0; paint id=n5 latex x=40 y=4 align=center valign=top value="\frac{12}{18}" size=0.8 opacity=0; paint id=nl6 numberline x=0 y=0 min=-0.1 max=1.15 width=65 qstep=24 captionqstep=1 opacity=0; paint id=n6 latex x=40 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{16}{24}" size=0.8 opacity=0; paint id=nl1 numberline x=0 y=0 min=-0.1 max=1.15 width=65 qstep=3 captionqstep=1; paint id=n1 latex x=40 y=4 align=center valign=top value="\frac{2}{3}" size=0.8; paint line x=40 y=-2 length=4 alpha=180 thickness=6 color=red; wait delay; transform id=nl2 opacity=1; transform id=n2 opacity=1; transform id=n1 opacity=0 delay=1100; wait delay; transform id=nl2 opacity=0; transform id=n2 opacity=0; transform id=nl3 opacity=1; transform id=n3 opacity=1 delay=1100; wait delay; transform id=nl3 opacity=0; transform id=n3 opacity=0; transform id=nl4 opacity=1; transform id=n4 opacity=1 delay=1100; wait delay; transform id=nl4 opacity=0; transform id=n4 opacity=0; transform id=nl5 opacity=1; transform id=n5 opacity=1 delay=1100; wait delay; transform id=nl5 opacity=0; transform id=n5 opacity=0; transform id=nl6 opacity=1; transform id=n6 opacity=1 delay=1100; wait button="Von vorne!"; transform id=nl6 opacity=0; transform id=n6 opacity=0; transform id=nl1 opacity=1; transform id=n1 opacity=1 delay=1100; repeat; Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizierst, bleibt die Bruchzahl gleich. /// Man sagt dazu: Der Bruch wird mit dieser Zahl erweitert.

$\align[3:r]{\frac{2}{3}}\align[10]{=\frac{2\style[red]{\cdot2}}{3\style[red]{\cdot2}}}$| erweitern mit 2
$\align[3:r]{}=\frac{4}{6}$
$\align[3:r]{\frac{2}{3}}\align[10]{=\frac{2\style[red]{\cdot3}}{3\style[red]{\cdot3}}}$| erweitern mit 3
$\align[3:r]{}=\frac{6}{9}$
$\align[3:r]{\frac{5}{8}}\align[10]{=\frac{5\style[red]{\cdot10}}{8\style[red]{\cdot10}}}$| erweitern mit 10
$\align[3:r]{}=\frac{50}{80}$
$\align[3:r]{-\ \frac{3}{4}}\align[10]{=-\ \frac{3\style[red]{\cdot4}}{4\style[red]{\cdot4}}}$| erweitern mit 4
$\align[3:r]{}=-\ \frac{12}{16}$

Umgekehrt kannst du viele Brüche auch kürzen. /// Dazu teilst du Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche natürliche (oder ganze) Zahl:

$\align[3:r]{\frac{6}{9}}\align[10]{=\frac{6\style[red]{:3}}{9\style[red]{:3}}}$| kürzen durch 3
$\align[3:r]{}=\frac{2}{3}$

Kürzen geht aber nur dann, wenn die Zahl, durch die du kürzt, ein Teiler sowohl vom Zähler als auch vom Nenner ist! /// Denn nur dann sind der ,,neue'' Zähler und der ,,neue'' Nenner wieder natürliche (oder ganze) Zahlen! /// Zum Beispiel darfst du $\frac{4}{6}$ nicht durch 3 kürzen, weil 3 kein Teiler vom Zähler 4 ist. ($4:3$ ergibt keine ganze Zahl.) Was passiert, wenn du es trotzdem machst? Probieren wir es aus:

$\align[3:r]{\frac{4}{6}}\align[10]{=\frac{4\style[red]{:3}}{6\style[red]{:3}}}$| kürzen durch 3
$\align[3:r]{}=\frac{1\text{ Rest } 1}{2}$

Und das sieht doch ziemlich blöd aus, oder? Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler dividierst, bleibt die Bruchzahl gleich. /// Man sagt dazu: Der Bruch wird um diese Zahl gekürzt.

$\align[3:r]{\frac{4}{6}}\align[10]{=\frac{4\style[red]{:2}}{6\style[red]{:2}}}$| kürzen durch 2
$\align[3:r]{}=\frac{2}{3}$
$\align[3:r]{\frac{6}{9}}\align[10]{=\frac{6\style[red]{:3}}{9\style[red]{:3}}}$| kürzen durch 3
$\align[3:r]{}=\frac{2}{3}$
$\align[3:r]{\frac{50}{80}}\align[10]{=\frac{50\style[red]{:10}}{80\style[red]{:10}}}$| kürzen durch 10
$\align[3:r]{}=\frac{5}{8}$
$\align[3:r]{-\ \frac{12}{16}}\align[10]{=-\ \frac{12\style[red]{:4}}{16\style[red]{:4}}}$| kürzen durch 4
$\align[3:r]{}=-\ \frac{3}{4}$

Du siehst: Erweitern mit und kürzen durch dieselbe Zahl führen zum ,,ursprünglichen'' Bruch: /// $\align[3:r]{\frac{2}{3}}\align[10]{=\frac{2\style[red]{\cdot2}}{3\style[red]{\cdot2}}}$| erweitern mit 2
$\align[3:r]{}=\frac{4}{6}$
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{4\style[red]{:2}}{6\style[red]{:2}}}$| kürzen durch 2
$\align[3:r]{}=\frac{2}{3}$ /// Die beiden Operationen heben sich gegenseitig auf. /// /// Nein. Brüche, deren Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (außer der $1$) haben, lassen sich nicht kürzen. /// Solche Brüche bekommen auch einen besonderen Namen: Ein vollständig gekürzter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) haben. /// Einen Bruch in einen vollständig gekürzten Bruch umzuformen, heißt, diesen Bruch vollständig zu kürzen. /// Manchmal ist es nicht leicht zu erkennen, ob ein Bruch vollständig gekürzt ist. Du musst dann verschiedene mögliche Teiler ausprobieren. Systematisch geht das, indem du Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst. Wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren (mehr) haben, sind sie vollständig gekürzt:

$\align[3:r]{\frac{42}{60}}\align[10]{}$| in Primfaktoren zerlegen
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{2\cdot3}\cdot7}{2\cdot\style[red]{2\cdot3}\cdot5}}$| durch die gemeinsamen Primfaktoren kürzen
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{7}{2\cdot5}}$
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{7}{10}}$| $=$ vollständig gekürzter Bruch
$\ $
$\align[3:r]{\frac{21}{44}}\align[10]{}$| in Primfaktoren zerlegen
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{3\cdot7}{2\cdot2\cdot11}}$| keine gemeinsamen Primfaktoren
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{21}{44}}$| $=$ vollständig gekürzter Bruch
$\ $
$\align[3:r]{\frac{105}{847}}\align[10]{}$| in Primfaktoren zerlegen
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{3\cdot5\cdot\style[red]{7}}{\style[red]{7}\cdot11\cdot11}}$| durch gemeinsamen Primfaktor kürzen
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{3\cdot5}{11\cdot11}}$
$\align[3:r]{}\align[10]{=\frac{15}{121}}$| $=$ vollständig gekürzter Bruch
$\ $

Bei manchen Brüchen ist es ganz einfach zu erkennen, dass sie vollständig gekürzt sind:

Brüche mit einer 1 im Zähler oder Nenner:
$\tab\frac{1}{4}$, $\frac{5}{1}$, $\frac{1}{214}$, $\dots$
$\ $
Brüche mit einer 2 im Zähler oder Nenner, wenn die andere Zahl ungerade ist:
$\tab\frac{2}{5}$, $\frac{2}{47}$, $\frac{9}{2}$, $\dots$
$\ $
Brüche mit einer 3 im Zähler oder Nenner, wenn die Quersumme der anderen Zahl nicht durch 3 teilbar ist:
$\tab\frac{3}{14}$, $\frac{3}{382}$, $\frac{22}{3}$, $\dots$
$\ $
Brüche mit einer 5 oder 10 im Zähler oder Nenner, wenn die andere Zahl nicht auf 5 oder 0 endet:
$\tab\frac{5}{19}$, $\frac{10}{434}$, $\frac{16}{5}$, $\dots$
$\ $

Erkennst du die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 wieder? $_page.introtext="Hast du alles verstanden?"; $brerwz_1=lmtRandom(1,4); $brerwn_1=lmtRandom($brerwz_1 + 1,$brerwz_1 + 4); ; $brerwz_2=lmtRandom(1,4); $brerwn_2=lmtRandom($brerwz_2 + 1,$brerwz_2 + 4); $brerwz_2 = $brerwz_2 * 2 * 3 * 5; $brerwn_2 = $brerwn_2 * 2 * 3 * 5; ;; $_brucherweit_1_complete = ($_page.inputs.brucherweit_1_1a != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_1b != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_2a != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_2b != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_3a != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_3b != "") .and. true; $_brucherweit_1_correct = ($_page.inputs.brucherweit_1_1a == $brerwz_1*2) .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_1b == $brerwn_1*2) .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_2a == $brerwz_1*3) .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_2b == $brerwn_1*3) .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_3a == $brerwz_1*5) .and. ($_page.inputs.brucherweit_1_3b == $brerwn_1*5) .and. true; ; $_brucherweit_2_complete = ($_page.inputs.brucherweit_2_1a != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_1b != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_2a != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_2b != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_3a != "") .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_3b != "") .and. true; $_brucherweit_2_correct = ($_page.inputs.brucherweit_2_1a == Math.round($brerwz_2 / 2)) .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_1b == Math.round($brerwn_2 / 2)) .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_2a == Math.round($brerwz_2 / 3)) .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_2b == Math.round($brerwn_2 / 3)) .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_3a == Math.round($brerwz_2 / 5)) .and. ($_page.inputs.brucherweit_2_3b == Math.round($brerwn_2 / 5)) .and. true; ;; #$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Erweitere den Bruch $\frac{#$brerwz_1#}{#$brerwn_1#}$ ///

mit 2:$\tab$

/// /_

mit 3:$\tab$

/// /_

mit 5:$\tab$

#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Kürze den Bruch $\frac{#$brerwz_2#}{#$brerwn_2#}$ ///

durch 2:$\tab$

/// /_

durch 3:$\tab$

/// /_

durch 5:$\tab$

#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#

Aufgabe #$_page.sheetnr#

Welche der Brüche sind vollständig gekürzt? Klicke sie an! /// $\frac{4}{6}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{15}{18}$ $\frac{15}{19}$ $\frac{8}{12}$ $\frac{1}{9}$ $_page.btn.back.text="Lerninhalte noch einmal ansehen!"; $_page.btn.back.page="learning"; $_page.btn.back.show="true"; $_page.btn.repeat.show="true"; #$correctCatText[$correctCat]# ///Willst du dir die Lerninhalte noch einmal ansehen? Oder willst du den Test wiederholen?$_page.btn.next.show = false; $_page.btn.quitbook.show = true;code=bruchvergl; code=bruchaddsub1; code=bruchaddsub2; Code: #$_code#

Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).

Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen, verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten. Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.

Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Was sind natürliche Zahlen? Natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl Stellenwerttafel für natürliche Zahlen Große natürliche Zahlen vergleichen

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Schriftliche Addition Schriftliche Subtraktion Schriftliche Multiplikation (1) Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Schriftliche Division (1) Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2)

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2)

Größen und Messen

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Raum und Form

Grundlagen

Was ist Geometrie? Punktabstände und Streckenlängen messen Punktabstände und Streckenlängen abzählen Geraden und Halbgeraden Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Figuren auf Karopapier verschieben

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen

6. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Große natürliche Zahlen vergleichen

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Potenzen Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Primzahlen Primfaktorzerlegung

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2) Multiplikation und Division von ganzen Zahlen

Brüche

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Terme

Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks

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Kreise und Kreisbögen Einen Kreis mit einem Zirkel zeichnen Schnittpunkte Punkte und Strecken mit bestimmten Abständen und Längen zeichnen Winkel und rechter Winkel Winkelweiten mit dem Geodreieck messen Winkelweiten mit dem Geodreieck zeichnen Senkrechte und Mittelsenkrechte Mittelpunkte von Strecken Den Abstand zwischen Punkt und Gerade bestimmen Parallelen Wie erkenne ich Parallelen? Den Abstand zwischen Parallelen bestimmen Eine parallele Gerade zeichnen

Verschieben, Spiegeln und Drehen

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Gleichungen und Funktionen

Tabellen lesen Daten mit Säulendiagrammen darstellen Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen lösen

Daten und Zufall

Daten mit Säulendiagrammen darstellen Daten mit Kreisdiagrammen darstellen

7. Klasse

Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

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Brüche

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Terme

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Für Lehrerinnen und Lehrer

Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler gezielt ganz bestimmte Lernthemen bearbeiten!

Wählen Sie dazu unten die entsprechenden Lernthemen aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“ erzeugt „Mathe? KLARO!“ einen kurzen Buchstaben-Zahlen-Code und einen Direktlink. Beides können Sie ausdrucken, Ihren Schülerinnen und Schülern zumailen oder auch einfach nennen.

Mit dem Lerncode oder dem Link fügen Ihre Schülerinnen und Schüler die ausgewählten Lernthemen ihren Lernplänen hinzu.

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1. Allgemeines zur Datenverarbeitung

1.1 Umfang der Verarbeitung personenbezogener Daten

Wir verarbeiten personenbezogene Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen grundsätzlich nur, soweit dies zur Bereitstellung einer funktionsfähigen Website sowie unserer Inhalte und Leistungen erforderlich ist. Die Verarbeitung personenbezogener Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen erfolgt regelmäßig nur nach Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin. Eine Ausnahme gilt in solchen Fällen, in denen eine vorherige Einholung einer Einwilligung aus tatsächlichen Gründen nicht möglich ist und die Verarbeitung der Daten durch gesetzliche Vorschriften gestattet ist.

1.2 Rechtsgrundlage für die Verarbeitung personenbezogener Daten

Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage. Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage. Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.

1.3 Datenlöschung und Speicherdauer

Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt. Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde. Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.

2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles

2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.

Folgende Daten werden hierbei erhoben:

IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist
Datum und Uhrzeit des Zugriffs
Informationen über den Browsertyp und die verwendete Version
Betriebssystem des aufrufenden Rechners
Website, von der aus die Internetseite aufgerufen wurde

Rechtsgrundlage für die vorübergehende Speicherung der Logfiles ist Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.

2.2 Zweck der Datenverarbeitung

Die vorübergehende Speicherung der IP-Adresse durch das System ist notwendig, um eine Auslieferung der Website an den Rechner des Nutzers/der Nutzerin zu ermöglichen. Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.

Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen. Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme. In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO. Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.

2.3 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist. Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall. Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.

2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Die Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website und die Speicherung der Daten in Logfiles ist für den Betrieb der Internetseite zwingend erforderlich. Es besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

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Für die Verarbeitung der Daten wird im Rahmen des Absendevorgangs die Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin eingeholt und auf diese Datenschutzerklärung verwiesen.

Es erfolgt in diesem Zusammenhang keine Weitergabe der Daten an Dritte. Die Daten werden ausschließlich für die Verarbeitung der Konversation verwendet.

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4.4 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind. Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist. Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.

4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen. Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden. Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.

5. Feedbackformulare

5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert. Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.

5.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

6. Formular zum Mailen von Lerncodes

6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung

Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann. Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert. Diese Daten sind:

E-Mail-Adresse
Lerncode

6.2 Dauer der Speicherung

Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.

6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit

Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.

Brüche erweitern und kürzen

Antonio und Natalja haben in ihrer Klasse eine Umfrage gemacht.

„16 von 24 Kindern kommen mit dem Fahrrad in die Schule“, stellt Antonio fest.

„Das sind genau zwei Drittel aller Kinder“, erklärt Natalja und schreibt an die Tafel:

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