Was ist mehr?
\frac23 einer Tafel Schokolade, oder \frac34 einer Tafel Schokolade?
wie du Brüche nach ihrer Größe vergleichst.
Zahlen kannst du auf dem Zahlenstrahl darstellen. Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl ist, desto größer ist diese Zahl:
Du siehst sofort: 8 ist größer als 5. 5 ist größer als 2. Und 2 ist größer als -1.
Das geht natürlich auch mit Brüchen:
Auch hier siehst du sofort: \frac94 ist größer als \frac54. \frac54 ist größer als \frac24. Und \frac24 ist größer als -\frac14.
Was haben die Brüche \frac94, \frac54, \frac24 und -\frac14 gemeinsam?
Na klar, sie haben denselben Nenner 4.
Und genau das macht ihren Vergleich auch ganz einfach. Denn du kannst sie alle in einem gemeinsamen Zahlenstrahl eintragen, bei dem die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in 4 Teilstrecken unterteilt sind:
Mit dem Zähler zählst du die Striche dieser Unterteilung. Und je größer der Zähler ist (je mehr Striche du also zählst), desto größer ist auch der Bruch.
Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größten Zähler am größten.
Bei negativen Brüchen musst du vorher noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen:
\frac34\gt\frac24| weil 3\gt2 und Nenner gleich
\frac58\gt\frac38| weil 5\gt3 und Nenner gleich
\frac28\,?\,-\frac58| Vorzeichen vor den Zähler ziehen \frac28\gt\frac-58| weil 2\gt-5 und Nenner gleich
-\frac38\,?\,-\frac58| Vorzeichen vor den Zähler ziehen \frac-38\gt\frac-58| weil -3\gt-5 und Nenner gleich
Das war einfach, oder?
Wie ist es aber, wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben? Wenn also die Brüche "ungleichnamig" sind?
Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir die Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben, also "gleichnamig" sind.
Das kannst du immer machen, indem du den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs erweiterst und umgekehrt:
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: \frac23 oder \frac34? Lösungsweg:
1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 8 ist kleiner als 9. Also ist auch \frac812 kleiner als \frac912, denn die beiden Brüche haben denselben Nenner. Damit hast du gezeigt: \frac23 ist kleiner als \frac34.
Das Erweitern mit dem Nenner des jeweils anderen Bruch funktioniert immer:
Manchmal geht es auch etwas einfacher. Nämlich immer dann, wenn der eine Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist.
Um die beiden Brüche \frac13 und \frac49 gleichnamig zu machen (also auf denselben Nenner zu bringen), genügt es, wenn du nur den ersten Bruch mit 3 erweiterst:
Bei vielen anderen Brüchen genügt es, wenn du ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner findest.
Ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6 ist 12, denn 4⋅3=12 und 6⋅2=12. Also kannst du hier so rechnen:
Andere Vielfache von 4 und 6 wären zum Beispiel 24 (das Produkt aus 4 und 6), 36, 48, ...
Aber: Je kleiner das gemeinsame Vielfache, desto einfacher lässt es sich rechnen.
Die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches von zwei ganzen Zahlen zugleich ist, heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches.
Du schreibst: \kgV(4,\ 6)=12
Das liest du so: "Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist (gleich) 12."
Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Nennern (oder von zwei Zahlen allgemein)?
Mit einem Trick!
Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45? Lösungsweg:
1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren. 2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen. 3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache! Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180. \kgV(60,\ 45)=180.
Wenn du zwei Brüche mit ungleichen Nennern ("ungleichnamige Brüche") vergleichen willst, gehe so vor:
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der beiden Brüche.
Erweitere die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
Vergleiche dann die Zähler der erweiterten Brüche.
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: \frac1760 oder \frac1345? Lösungsweg:
Berechnen des kgV der Nenner: 60=2⋅2⋅3⋅5| zerlegen in Primfaktoren 45=3⋅3⋅5 60=2⋅2⋅\strikeout3⋅\strikeout5| streichen gemeinsamer Faktoren 45=\strikeout3⋅3⋅\strikeout5 \kgV(60,\ 45)| kgV berechnen =60⋅3 =45⋅2⋅2 =180
Erweitern der Brüche: \frac1760=\frac17⋅360⋅3=\frac51180 \frac1345=\frac13⋅2⋅245⋅2⋅2=\frac52180
Ein besonderer Fall ist der, wenn die Zähler gleich sind und die Nenner ungleich:
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: \frac57 oder \frac58? Lösungsweg:
Die beiden Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, denn 7 ist eine Primzahl und 8 ist kein Vielfaches von 7. Daher ist: \kgV(7,\ 8)| Nenner multiplizieren =7⋅8 =56
Erweitern der Brüche: \frac57=\frac5⋅87⋅8=\frac4056 \frac58=\frac5⋅78⋅7=\frac3556
Vergleichen: \frac4056\,?\,\frac3556| 40\gt35, Nenner gleich \frac4056\gt\frac3556| und damit ist: \frac57\gt\frac58
Ist ja eigentlich auch klar. Denn man zählt bei beiden Brüchen gleich viele Teilstrecken, nur sind bei dem Bruch mit dem kleineren Nenner die Teilstrecken länger.
Vergleiche zum Beispiel \frac57 und \frac58:
Und genau deshalb kannst du solche Brüche auch einfacher vergleichen:
Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleinsten Nenner am größten.
\frac35\gt\frac36| denn 5\lt6
\frac1125\lt\frac1123| denn 25\gt32
\frac512\gt\frac513| denn 12\lt13
(Hier kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.)
Zum Schluss noch mal alle Merkregeln zusammen:
Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größten Zähler am größten. \frac38\lt\frac58\frac711\gt\frac511
Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleinsten Nenner am größten. \frac37\gt\frac38\frac715\lt\frac714
Brüchen mit ungleichen Zählern und ungleichen Nennern musst du zuerst auf einen gemeinsamen Nenner erweitern, um dann ihre Zähler vergleichen zu können.
Hier lernst du, Brüche zu vergleichen.
Brüche vergleichen
Was ist mehr?
paint chocolatebar width=10;
///
$\frac{2}{3}$ einer Tafel Schokolade, oder
$\frac{3}{4}$ einer Tafel Schokolade?
Rechne aus:
$\frac{1}{#$zbr2_1_1a#}$ von #$zbr2_1_1c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_2a#}$ von #$zbr2_1_2c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_3a#}$ von #$zbr2_1_3c# $=$$:$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus:
$\frac{#$zbr2_2_1d#}{#$zbr2_2_1a#}$ von #$zbr2_2_1c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_2d#}{#$zbr2_2_2a#}$ von #$zbr2_2_2c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_3d#}{#$zbr2_2_3a#}$ von #$zbr2_2_3c# $=($$:$$) \cdot$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Brüche sind dunkel dargestellt? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken:
///
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=4 num=3;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=6 num=1;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=3 num=3;
/// /_
/// /_
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Erweitere den Bruch $\frac{#$brerwz_1#}{#$brerwn_1#}$
///
mit 2:$\tab$
/// /_
mit 3:$\tab$
/// /_
mit 5:$\tab$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Kürze den Bruch $\frac{#$brerwz_2#}{#$brerwn_2#}$
///
durch 2:$\tab$
/// /_
durch 3:$\tab$
/// /_
durch 5:$\tab$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche der Brüche sind vollständig gekürzt? Klicke sie an!
///
$\frac{4}{6}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{15}{18}$
$\frac{15}{19}$
$\frac{8}{12}$
$\frac{1}{9}$
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Zahlen kannst du auf dem Zahlenstrahl darstellen.
Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl ist, desto größer ist diese Zahl:
set originx=23 originy=8;
//paint numberline x=0 y=0 min=-3 dwidth=5 width=65;
paint numberline zx=0 y=0 min=-3 max=10 width=65;
paint line x=10 y=-2 length=4 alpha=180 color=green thickness=5 pencil keep;
paint latex x=10 y=-3 align=center valign=bottom value="2";
paint line x=25 y=-2 length=4 alpha=180 color=green thickness=5 pencil keep;
paint latex x=25 y=-3 align=center valign=bottom value="5";
paint line x=-5 y=-2 length=4 alpha=180 color=green thickness=5 pencil keep;
paint latex x=-5 y=-3 align=center valign=bottom value="-1";
paint line x=40 y=-2 length=4 alpha=180 color=green thickness=5 pencil keep;
paint latex x=40 y=-3 align=center valign=bottom value="8";
delete id=pencil flyout;
write value="Du siehst sofort:" delay=1000;
write value="8 ist größer als 5." delay=1000;
write value="5 ist größer als 2." delay=1000;
write value="Und 2 ist größer als $-1$." delay=1000;
///
Das geht natürlich auch mit Brüchen:
set originx=18 originy=10;
paint numberline zx=0 y=0 min=-0.5 dwidth=20 qstep=4 captionqstep=4 captiontype=fracfix width=65 animate;
paint line x=10 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=10 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{2}{4}" size=0.9;
paint line x=25 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=25 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{5}{4}" size=0.9;
paint line x=-5 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=-5 y=-4 align=center valign=bottom value="-\frac{1}{4}" size=0.9;
paint line x=45 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=45 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{9}{4}" size=0.9;
delete id=pencil flyout;
write value="Auch hier siehst du sofort:" delay=1000;
write value="$\frac{9}{4}$ ist größer als $\frac{5}{4}$." delay=1000;
write value="$\frac{5}{4}$ ist größer als $\frac{2}{4}$." delay=1000;
write value="Und $\frac{2}{4}$ ist größer als $-\frac{1}{4}$." delay=1000;
///
Was haben die Brüche $\frac{9}{4}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{2}{4}$ und $-\frac{1}{4}$ gemeinsam?
///
Na klar, sie haben denselben Nenner 4.
///
Und genau das macht ihren Vergleich auch ganz einfach.
Denn du kannst sie alle in einem gemeinsamen Zahlenstrahl eintragen, bei dem die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in 4 Teilstrecken unterteilt sind:
set originx=18 originy=10;
paint numberline zx=0 y=0 min=-0.5 dwidth=20 qstep=4 captionqstep=4 captiontype=fracfix width=65 animate;
paint line x=10 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=10 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{2}{4}" size=0.9;
paint line x=25 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=25 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{5}{4}" size=0.9;
paint line x=-5 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=-5 y=-4 align=center valign=bottom value="-\frac{1}{4}" size=0.9;
paint line x=45 y=-2 length=4 alpha=180 color=red thickness=6 pencil keep;
paint latex x=45 y=-4 align=center valign=bottom value="\frac{9}{4}" size=0.9;
delete id=pencil flyout;
write value="Mit dem Zähler zählst du die Striche dieser Unterteilung." delay=1000;
write value="Und je größer der Zähler ist (je mehr Striche du also zählst), desto größer ist auch der Bruch.";
Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größten Zähler am größten.
///
Bei negativen Brüchen musst du vorher noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen:
set originx=10 originy=8;
paint id=pminus line color=red x=0 y=0 alpha=90 length=3 thickness=4;
paint line x=5 y=0 alpha=90 length=10 thickness=4;
paint id=n text x=10 y=-1.5 align=center valign=bottom value="2" size=1.2;
paint text x=10 y=2 align=center valign=top value="3" size=1.2;
delay=2000;
transform id=n mdx=2;
transform id=pminus mdx=7 mdy=-3.2;
delay=5000;
transform id=n mdx=-2;
transform id=pminus mdx=-7 mdy=3.2;
delay=3000;
repeat;
$\align[4:r]{\frac{\style[red]{3}}{4}}\align[11]{\gt\frac{\style[green]{2}}{4}}$| weil $\style[red]{3}\gt\style[green]{2}$ und Nenner gleich
$\align[4:r]{\frac{\style[red]{5}}{8}}\align[11]{\gt\frac{\style[green]{3}}{8}}$| weil $\style[red]{5}\gt\style[green]{3}$ und Nenner gleich
$\align[4:r]{\frac{\style[red]{2}}{8}}\align[11]{\,?\,-\frac{\style[green]{5}}{8}}$| Vorzeichen vor den Zähler ziehen
$\align[4:r]{\frac{\style[red]{2}}{8}}\align[11]{\gt\frac{\style[green]{-5}}{8}}$| weil $\style[red]{2}\gt\style[green]{-5}$ und Nenner gleich
$\align[4:r]{-\frac{\style[red]{3}}{8}}\align[11]{\,?\,-\frac{\style[green]{5}}{8}}$| Vorzeichen vor den Zähler ziehen
$\align[4:r]{\frac{\style[red]{-3}}{8}}\align[11]{\gt\frac{\style[green]{-5}}{8}}$| weil $\style[red]{-3}\gt\style[green]{-5}$ und Nenner gleich
Das war einfach, oder?
///
Wie ist es aber, wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben? Wenn also die Brüche ,,ungleichnamig'' sind?
///
Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir die Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben, also ,,gleichnamig'' sind.
///
Das kannst du immer machen, indem du den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs erweiterst und umgekehrt:
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: $\frac{2}{3}$ oder $\frac{3}{4}$?
///
Lösungsweg:
set originx=30 originy=8;
paint latex x=-6.5 y=0 value="\frac{2}{\style[green]{3}}";
paint id=op1 latex x=0 y=0 align=center value="\text{?}";
paint latex x=4 y=0 value="\frac{3}{\style[red]{4}}";
wait delay=3000;
write clear value="1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs.";
paint id=b1 latex x=-6 y=0 value="\frac{2\cdot\style[none]{4}}{\style[green]{3}\cdot\style[none]{4}}" opacity=0;
delay=10;
transform id=b1 mdx=-5 mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint id=b2a latex x=4.5 y=1.5 value="\style[red]{4}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b2a mdx=-10.9 mdy=6.2 opacity=1;
delay=1500;
paint id=b2b latex x=4.5 y=1.5 value="\style[red]{4}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b2b mdx=-10.9 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
write clear value="2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs.";
paint id=b2 latex x=4 y=0 value="\frac{3\cdot\style[none]{4}}{\style[red]{4}\cdot\style[none]{4}}" opacity=0;
delay=10;
transform id=b2 mdx=0 mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint id=b1a latex x=-6 y=1.5 value="\style[green]{3}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b1a mdx=14.6 mdy=6.2 opacity=1;
delay=1500;
paint id=b1b latex x=-6 y=1.5 value="\style[green]{3}" size=0.8 opacity=0;
transform id=b1b mdx=14.6 mdy=10 opacity=1;
paint id=op2 latex x=0 y=0 align=center value="\text{?}" opacity=0;
delay=2000;
transform id=op2 mdy=10 opacity=1;
delay=2000;
paint id=br1a latex x=-11 y=10 value="\frac{2\cdot\style[red]{4}}{3\cdot\style[red]{4}}";
paint id=br2a latex x=4 y=10 value="\frac{3\cdot\style[green]{3}}{4\cdot\style[green]{3}}";
paint id=br1b latex x=-9.5 y=10 value="\frac{8}{12}" opacity=0;
paint id=br2b latex x=5.5 y=10 value="\frac{9}{12}" opacity=0;
delay=1000;
transform id=br1a mdy=10 opacity=0;
transform id=br2a mdy=10 opacity=0;
transform id=br1b mdx=2 mdy=10 opacity=1;
transform id=br2b mdx=-2 mdy=10 opacity=1;
wait delay;
write clear value="$8$ ist kleiner als $9$.";
paint id=op3 latex x=0 y=18 align=center value="\lt" opacin;
wait delay;
write clear value="Also ist auch $\frac{8}{12}$ kleiner als $\frac{9}{12}$, denn die beiden Brüche haben denselben Nenner.";
transform id=op3 mdy=2;
wait delay;
write clear value="Damit hast du gezeigt: $\frac{2}{3}$ ist kleiner als $\frac{3}{4}$.";
paint id=op3 latex x=0 y=20 align=center value="\lt";
transform id=op3 mdy=-10;
transform id=op2 opacity=0;
delay=1000;
paint id=op4 latex x=0 y=10 align=center value="\lt";
transform id=op4 mdy=-10;
transform id=op1 opacity=0;
delay=1000;
write all button;
repeat button opacout;
Das Erweitern mit dem Nenner des jeweils anderen Bruch funktioniert immer:
Manchmal geht es auch etwas einfacher.
Nämlich immer dann, wenn der eine Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist.
///
Um die beiden Brüche $\frac{1}{3}$ und $\frac{4}{9}$ gleichnamig zu machen (also auf denselben Nenner zu bringen),
genügt es, wenn du nur den ersten Bruch mit 3 erweiterst:
Bei vielen anderen Brüchen genügt es, wenn du ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner findest.
///
Ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6 ist 12, denn $4\cdot3=12$ und $6\cdot2=12$.
Also kannst du hier so rechnen:
Andere Vielfache von 4 und 6 wären zum Beispiel 24 (das Produkt aus 4 und 6), 36, 48, ...
///
Aber: Je kleiner das gemeinsame Vielfache, desto einfacher lässt es sich rechnen.
///
Die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches von zwei ganzen Zahlen zugleich ist, heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches.
///
Du schreibst:
///
$\kgV(4,\ 6)=12$
///
Das liest du so: ,,Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist (gleich) 12.''
Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Nennern (oder von zwei Zahlen allgemein)?
///
Mit einem Trick!
Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45?
///
Lösungsweg:
set originx=5 originy=7;
paint latex x=0 y=0 valign=middle value="60";
paint latex x=0 y=8 valign=middle value="45";
delay=1000;
write clear value="1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren.";
paint latex x=0 y=0 valign=middle value="60=";
paint latex x=12 y=0 align=center valign=middle value="2" fadein=west; paint latex x=15 y=0 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=18 y=0 align=center valign=middle value="2" fadein=west; paint latex x=21 y=0 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=24 y=0 align=center valign=middle value="3" fadein=west; paint latex x=27 y=0 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=30 y=0 align=center valign=middle value="5" fadein=west;
paint latex x=0 y=8 valign=middle value="45=";3\cdot5\cdot5";
paint latex x=12 y=8 align=center valign=middle value="3" fadein=west; paint latex x=15 y=8 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=18 y=8 align=center valign=middle value="3" fadein=west; paint latex x=21 y=8 align=center valign=middle value="\cdot" fadein=west;
paint latex x=24 y=8 align=center valign=middle value="5" fadein=west;
wait delay;
write clear value="2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen.";
paint line cx=24 cy=0 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil keep;
paint line cx=18 cy=8 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil keep;
paint line cx=30 cy=0 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil keep;
paint line cx=24 cy=8 alpha=45 length=5 color=red thickness=4 pencil;
wait delay;
write clear value="3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache!";
delay=2000;
paint latex x=0 y=18 valign=middle value="60\cdot3=180" fadein=west delay=1500;
paint latex x=0 y=26 valign=middle value="45\cdot2\cdot2=180" fadein=west delay=1500;
wait delay;
write clear value="Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180." delay=1100;
write value="$\kgV(60,\ 45)=180$.";
write all button;
repeat button;
Wenn du zwei Brüche mit ungleichen Nennern (,,ungleichnamige Brüche'') vergleichen willst, gehe so vor:
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der beiden Brüche.
Erweitere die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
Vergleiche dann die Zähler der erweiterten Brüche.
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: $\frac{17}{60}$ oder $\frac{13}{45}$?
///
Lösungsweg:
Berechnen des kgV der Nenner:
$\align[4:r]{60}\align[11]{=2\cdot2\cdot3\cdot5}$| zerlegen in Primfaktoren
$\align[4:r]{45}\align[11]{=3\cdot3\cdot5}$
$\align[4:r]{\style[none]{60}}\align[11]{\style[none]{=}\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}\cdot\strikeout{3}\cdot\strikeout{5}}$| streichen gemeinsamer Faktoren
$\align[4:r]{\style[none]{45}}\align[11]{\style[none]{=}\strikeout{3}\cdot\style[red]{3}\cdot\strikeout{5}}$
$\align[15]{\kgV(60,\ 45)}$| kgV berechnen
$\align[4:r]{}\align[11]{=60\cdot\style[red]{3}}$
$\align[4:r]{}\align[11]{=45\cdot\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}}$
$\align[4:r]{}\align[11]{=180}$
Erweitern der Brüche:
$\align[4:r]{\frac{17}{60}}\align[8.5]{=\frac{17\cdot\style[red]{3}}{60\cdot\style[red]{3}}}=\frac{51}{180}$
$\align[4:r]{\frac{13}{45}}\align[8.5]{=\frac{13\cdot\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}}{45\cdot\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}}}=\frac{52}{180}$
Ein besonderer Fall ist der, wenn die Zähler gleich sind und die Nenner ungleich:
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: $\frac{5}{7}$ oder $\frac{5}{8}$?
///
Lösungsweg:
Die beiden Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, denn 7 ist eine Primzahl und 8 ist kein Vielfaches von 7.
Daher ist:
$\align[12]{\kgV(7,\ 8)}$| Nenner multiplizieren
$\align[4]{}\align[10]{=7\cdot8}$
$\align[4]{}\align[10]{=56}$
Erweitern der Brüche:
$\align[4:r]{\frac{5}{7}}=\frac{5\cdot8}{7\cdot8}=\frac{40}{56}$
$\align[4:r]{\frac{5}{8}}=\frac{5\cdot7}{8\cdot7}=\frac{35}{56}$
Vergleichen:
$\align[4:r]{\frac{40}{56}}\align[11]{\,?\,\frac{35}{56}}$| $40\gt35$, Nenner gleich
$\align[4:r]{\frac{40}{56}}\align[11]{\gt\frac{35}{56}}$| und damit ist:
$\align[4:r]{\frac{5}{7}}\align[11]{\gt\frac{5}{8}}$
Ist ja eigentlich auch klar. Denn man zählt bei beiden Brüchen gleich viele Teilstrecken,
nur sind bei dem Bruch mit dem kleineren Nenner die Teilstrecken länger.
///
Vergleiche zum Beispiel $\frac{5}{7}$ und $\frac{5}{8}$:
set originx=16 originy=8;
groupstart id=alles;
paint id=r1 rect x=25 y=-7 width=3.57 height=32 fill=red color=none opacity=0;
// Zahlengeraden
paint numberline zx=0 y=0 min=-0.2 dwidth=40 qstep=7 captionqstep=7 width=65 animate captiontype=fracfix;
paint numberline zx=0 y=15 min=-0.2 dwidth=40 qstep=8 captionqstep=8 width=65 animate captiontype=fracfix;
// Zählpfeile
groupstart id=arrows;
paint pointer x=0 y=-3 length=5.714 alpha=90 color=green thickness=3 opacin delay=0;
paint pointer x=0 y=12 length=5 alpha=90 color=green thickness=3 opacin;
paint pointer x=5.714 y=-3 length=5.714 alpha=90 color=green thickness=3 opacin delay=0;
paint pointer x=5 y=12 length=5 alpha=90 color=green thickness=3 opacin;
paint pointer x=11.43 y=-3 length=5.714 alpha=90 color=green thickness=3 opacin delay=0;
paint pointer x=10 y=12 length=5 alpha=90 color=green thickness=3 opacin;
paint pointer x=17.14 y=-3 length=5.714 alpha=90 color=green thickness=3 opacin delay=0;
paint pointer x=15 y=12 length=5 alpha=90 color=green thickness=3 opacin;
groupend;
// Zählpfeile verschmelzen
paint pointer x=0 y=-3 length=28.57 alpha=90 color=green thickness=3 opacin delay=0;
paint pointer x=0 y=12 length=25 alpha=90 color=green thickness=3 opacin delay=0;
delete id=arrows opacout;
// Zahlstriche
paint line x=28.57 y=-7 length=32 alpha=180 thickness=6 color=red ruler keep;
paint line x=25 y=13 length=4 alpha=180 thickness=6 color=red pencil;
groupend;
transform id=r1 opacity=0.2;
repeat button opacout id=alles;
Und genau deshalb kannst du solche Brüche auch einfacher vergleichen:
Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleinsten Nenner am größten.
$\align[4:r]{\frac{3}{5}}\align[11]{\gt\frac{3}{6}}$| denn $5\lt6$
$\align[4:r]{\frac{11}{25}}\align[11]{\lt\frac{11}{23}}$| denn $25\gt32$
$\align[4:r]{\frac{5}{12}}\align[11]{\gt\frac{5}{13}}$| denn $12\lt13$
(Hier kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.)
Zum Schluss noch mal alle Merkregeln zusammen:
Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größten Zähler am größten. $
\align[2:r]{\frac{3}{8}}\align[10]{\lt\frac{5}{8}}
\align[2:r]{\frac{7}{11}}\align[10]{\gt\frac{5}{11}}
$
Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleinsten Nenner am größten. $
\align[2:r]{\frac{3}{7}}\align[10]{\gt\frac{3}{8}}
\align[2:r]{\frac{7}{15}}\align[10]{\lt\frac{7}{14}}
$
Brüchen mit ungleichen Zählern und ungleichen Nennern musst du zuerst auf einen gemeinsamen Nenner erweitern,
um dann ihre Zähler vergleichen zu können.
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;;;
;;;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Welche Vergleiche stimmen? Klicke sie an!
///
$\frac{1}{2}\lt\frac{2}{3}$
$\frac{3}{4}\lt\frac{2}{3}$
$\frac{4}{5}\gt\frac{7}{10}$
////
$\frac{7}{12}\gt\frac{3}{4}$
$\frac{2}{5}\lt\frac{1}{2}$
$\frac{25}{100}\gt\frac{3}{20}$
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
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