Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Was ist ein Bruch? (2)

Hier lernst du, dass ein Bruch der Anteil an einer Zahl ist.

Hier lernst du, dass ein Bruch der Anteil an einer Zahl ist.

Was ist ein Bruch?


Du kannst Schokoladentafeln in einzelne Teilstücke zerbrechen, Längen in Teillängen unterteilen, Zeitspannen in kleinere Zeitspannen usw.
Aber kannst du auch Zahlen zerbrechen?



Ein Bruch gibt den Anteil an einem Ganzen an, und zwar als Anzahl gleich großer Anteile an einem Ganzen:

Die Angabe "\frac23 Schokoladentafel" umfasst 2 von 3 gleich großen Anteilen an einer Schokoladentafel.



Aber kannst du auch Anteile an Zahlen angeben? Was ist zum Beispiel \frac14 der Zahl 20?


Natürliche Zahlen kannst du dir als Anzahl von etwas vorstellen. Die natürliche Zahl 20 also zum Beispiel als "20 Lollis":

20 Lollis kannst du leicht in 4 gleiche Anteile unterteilen. Jeder der 4 (gleich großen) Anteile an den 20 Lollis umfasst 5 Lollis.



Ein Viertel von 20 Lollis sind also 5 Lollis:
\frac14 von 20 Lollis = 5 Lollis
/Das "Ganze" waren hier die 20 Lollis.



Was haben wir mit dem "Ganzen" gemacht? Wir haben es in 4 gleiche Anteile geteilt.

Die Darstellung der Lollis war nur eine Hilfe, um sich die natürliche Zahl 20 leichter vorzustellen.
Eigentlich haben wir die natürliche Zahl 20 in 4 gleiche Anteile geteilt, also
\frac14 von 20=5


Fällt dir was auf?
\frac14 von 20 ist genauso viel wie 20:4.
/

Ein Bruch mit dem Zähler 1 heißt einfacher Bruch oder Stammbruch.
Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen einfachen Bruch ist eine andere Schreibweise für die Division mit dem Nenner:



Was erhalten wir, wenn wir nicht nur einen von 4 gleichen Anteilen an 20 nehmen, sondern gleich 3?
Schauen wir es uns mit der Lolli-Hilfe an:

Unterteile die 20 Lollis wieder in 4 gleiche Anteile. Fasse dann 3 dieser Anteile zusammen. 3 der 4 gleichen Anteile an den 20 Lollis umfassen also zusammen 15 Lollis. Es gilt: \frac34 von 20 Lollis = 15 Lollis.



Fällt dir wieder was auf?
\frac34 von 20 ist genauso viel wie 20:4⋅3,
also 20 geteilt durch den Nenner und multipliziert mit dem Zähler des Bruchs.
/

Die Angabe eines Anteils an einer natürlichen Zahl durch einen Bruch ist eine andere Schreibweise für
  1. die Division mit dem Nenner und
  2. der (anschließende) Multiplikation mit dem Zähler:

(Die Klammern sind eigentlich unnötig. Sie sollen nur den Rechenweg deutlicher machen.)

"Division?", könntest du jetzt fragen. "War da nicht irgendwas mit Teilbarkeit und so?"
Muss also die Zahl durch den Nenner teilbar sein, damit man den Anteil angeben kann?


Was ist zum Beispiel
\frac25 von 2
oder gar
\frac13 von 1 ?
Schließlich ist die 2 nicht durch 5 ohne Rest teilbar, und die 1 durch 3 schon gar nicht?


Wir können ja auch nicht einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele (ganze) Lollis bekommt.


Richtig!
Solange wir nur mit natürlichen Zahlen (oder nur mit ganzen Zahlen) arbeiten, können wir nicht angeben, wie viel \frac13 von 1 ist. Die 1 ist nicht in kleinere natürliche (oder ganze) Zahlen unterteilbar.


Anders gesagt: Wir können nicht einen einzigen Lolli auf mehrere Kinder zu gleichen Teilen aufteilen.


"Aber mit der Schokoladentafel ging das doch?"
Ja, weil wir die Schokoladentafel in mehrere, gleich große Stücke zerbrochen haben.


Wenn du einen einzigen Lolli auf 3 Kinder so aufteilen willst, dass jedes Kind gleich viel bekommt, musst du den Lolli zerbrechen. Weil das mit einem Lolli sehr schwer ist, machen wir das mit einem Kreis:

Der ausgefüllte Kreis stellt eine 1 dar. Der Kreis wird in so viele gleiche Stücke zerbrochen, wie im Nenner angegeben ist. Jedes Stück stellt ein Drittel einer 1 dar. Das dunkelgrüne Stück umfasst also \frac13 einer 1.



Auf die gleiche Weise kannst du auch alle weiteren Bruch-Anteile an einer 1 darstellen:

Der ausgefüllte Kreis stellt wieder als Ganzes eine 1 dar. Für den Anteil \frac15 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente. Jedes Segment stellt \frac15 des ganzen Kreises dar, also \frac15 einer 1. Für den Anteil \frac18 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 8 Segmente. Jedes Segment stellt \frac18 einer 1 dar. Für den Anteil \frac34 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 4 Segmente. Die drei hervorgehobenen Segmente stellen zusammen \frac34 einer 1 dar. Für den Anteil \frac12 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 2 Segmente. Ein Segment stellt \frac12 des ganzen Kreises dar, also die Hälfte einer 1. Für den Anteil \frac36 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 6 Segmente. Ein Segment stellt \frac36 des Kreises dar, also wieder die Hälfte einer 1. Für den Anteil \frac55 an einer 1 unterteile den Kreis zuerst in 5 Segmente. Alle Segmente zusammen stellen \frac55 des Kreises dar, also die ganze 1.



Bisher haben wir immer mit angegeben, von welchem Ganzen ein Bruch den Anteil angibt:
Zumindest letzteres wollen wir noch etwas vereinfachen.

Wenn wir mit einem Bruch einen Anteil an einer 1 angeben wollen, schreiben wir nur den Bruch ohne Angabe des Ganzen.
Umgekehrt bezieht sich ein bloßer Bruch (also ohne die Angabe eines Ganzen) immer auf eine 1 als Ganzes.

Puh, das war nicht einfach! Jetzt hättest du sicher mindestens \frac16 Schokoladentafel als Belohnung, oder?


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Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

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