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Was sind rationale Zahlen?

Hier lernst du, dass ein Bruch eine rationale Zahl ist und wie du ihn auf dem Zahlenstrahl darstellst.

Hier lernst du, dass ein Bruch eine rationale Zahl ist und wie du ihn auf dem Zahlenstrahl darstellst.

Was sind rationale Zahlen?


Du hast gelernt, dass \frac34 von 24 die (natürliche) Zahl 18 ist:

\frac34 von 24 =(24:4) ⋅ 3=18




Der Anteil \frac34 von 24 ist also eine Zahl, nämlich 18.
Ist aber auch der Anteil \frac13 an einer 1 eine Zahl? Und wenn ja, welche?



Die Zahl \frac13 können wir als Anteil an einem ganzen Kreis darstellen:

Dazu zerlegen wir den ganzen Kreis in 3 gleich große Teilstücke ("Segmente"). Die Zahl \frac13 wird von jeweils einem der 3 Teilstücke des Kreises dargestellt.



Aber welche Zahl ist \frac13?

Wenn \frac13 eine Zahl ist, muss sie auf dem Zahlenstrahl liegen. Suchen wir sie!

Hm, keine Zahl zu sehen, die aussieht wie \frac13.



Also lasst uns überlegen:



Also muss \frac13 auf dem Zahlenstrahl irgendwo zwischen der 0 und der 1 liegen.

Aber wo genau?



Eine Idee: Mit Brüchen kann man auch Anteile von Strecken angeben.
Teilen wir die Strecke zwischen der 0 und der 1 also mal in 3 gleich lange Teilstücke:

Jeder dieser 3 Abschnitte hat die Länge \frac13 der Strecke zwischen 0 und 1. Diese Striche können wir von der 0 aus zählen. Allerdings haben wir nicht die Striche für die natürlichen (oder die ganzen) Zahlen gezählt, sondern die Striche für die 3 Abschnitte. Das machen wir deutlich, indem wir den Nenner 3 dazu schreiben. Damit haben wir den Strichen Brüche zugeordnet. Jetzt kannst du ganz leicht erkennen, wo die einzelnen Brüche auf dem Zahlenstrahl liegen. (Und du siehst, dass der Bruch \frac33 der natürlichen Zahl 1 entspricht.)



Das geht natürlich auch bei Brüchen mit anderen Nennern: Aufgabe: Markiere den Bruch \frac34 auf dem Zahlenstrahl.

1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist. 2. Zähle dann von der Null aus so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist. 3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.



Natürlich kannst du auch Brüche markieren, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner: Aufgabe: Markiere den Bruch \frac74 auf dem Zahlenstrahl.

1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen wieder in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist. 2. Zähle dann von der Null aus wieder so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist. 3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.



Und wenn ein Minus vor dem Bruch steht? Dann ist der Bruch negativ und du musst die negativen Teilstrecken zählen, also von der 0 aus nach links: Aufgabe: Markiere den Bruch -\ \frac35 auf dem Zahlenstrahl.

1. Unterteile die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in so viele Teilstrecken, wie im Nenner angegeben ist. 2. Zähle dann von der Null aus so viele Striche dieser Unterteilungen, wie im Zähler angegeben ist. 3. Schreibe an den Strich, den du so erreichst, den Bruch.



Der Nenner eines Bruchs unterteilt auf dem Zahlenstrahl die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in Teilstrecken.
Der Zähler eines Bruchs zählt die Anzahl der Teilstrecken bis zum Bruch.

Aber wir wissen immer noch nicht, was für Zahlen Brüche sind.
Betrachten wir zuerst solche Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenner ist.

Untersuchen wir den Bruch \frac84 Wir unterteilen die Strecken zwischen den natürlichen Zahlen in 4 gleiche Teilstrecken. Dann zählen wir 8 Teilstriche ab. Der Bruch \frac84 entspricht also der natürlichen Zahl 2.



Brüche, bei denen der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, entsprechen einer ganzen Zahl. Denn ein Bruch ist nur eine andere Schreibweise für eine Division des Zählers durch den Nenner. Und wenn der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist, klappt die Division ohne Rest:

Aber was ist mit den übrigen Brüchen? Zum Beispiel mit \frac13?
Wir haben gesehen: \frac13 kann keine ganze Zahl sein /- denn der Bruch liegt zwischen den beiden ganzen Zahlen 0 und 1.

Die Lösung:
Für solche Zahlen basteln wir uns ganz einfach mal so eine neue Zahlenmenge, nämlich die Menge der "rationalen Zahlen": Die Menge der rationalen Zahlen enthält alle Zahlen, die sich als Division einer ganzen Zahl durch eine zweite ganze Zahl (ohne die Null!) darstellen lassen.
Das Zeichen für die Menge der rationalen Zahlen ist \Q, also ein Q (wie in "Quotient") mit doppelten Strichen.

Oft findest du das Zeichen auch nur mit linkem doppelten Strich, und so kannst du das Zeichen auch schreiben.

Jede rationale Zahl, also jeder Quotient aus ganzen Zahlen, lässt sich als Bruch mit dem Dividenden als Zähler und dem Divisor als Nenner darstellen.
Und jeder Bruch mit ganzen Zahlen als Zähler und Nenner ist eine rationale Zahl.
Beispiele für rationale Zahlen:


Wichtig: Auch ganze Zahlen sind rationale Zahlen, denn ganze Zahlen lassen sich immer auch als Bruch schreiben, zum Beispiel:
Andere Darstellungsformen von rationalen Zahlen sind die Darstellung als Division und als Dezimalzahlen.

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