Hier lernst du, den Rest einer Division als Bruch zu schreiben.
Hier lernst du, den Rest einer Division als Bruch zu schreiben.
Divisionsrest als Bruch
Wenn du 10 Lollis auf 3 Kinder verteilen möchte, wie viele Lollis bekommt jedes Kind?
Jedes Kind bekommt 3 Lollis. Aber 1 Lolli bleibt übrig. Was tun damit?
wie du den Rest einer Division als Bruch schreiben kannst.
Wie verteilst du 10 Lollis so auf 3 Kinder, dass jedes Kind gleich viel bekommt? Rechne: 10:3=3 Rest 1
Ein Lolli bleibt übrig. Was tun damit?
Du könntest den Lolli in drei Teile zerbrechen!
Das geht bei einem kleinen Lolli natürlich nicht so gut. Betrachten wir das mit Kreisen:
Stellen wir zuerst jeden Lolli als ausgefüllten Kreis dar. Dann verteilen wir 9 der Kreise auf die 3 Kinder. Den übrigen Kreis zerteilen wir in 3 gleiche Teile. Diese 3 Teile verteilen wir an die 3 Kinder. Du siehst: Jedes Kind bekommt 3 und \frac13 Kreise (also Lollis).
Der "zerteilte Rest" wird zum ganzzahligen Teil des Ergebnisses addiert: 10:3=3 Rest 1 =3+\frac13.
/
Den Rest im Ergebnis einer Division kannst du als Bruch schreiben. Der Rest wird zum Zähler und die zweite Zahl der Division (der Divisor) zum Nenner des Bruchs.
Das Ergebnis (der Quotient) der Division ist die Summe aus dem ganzzahligen Teil des Ergebnisses und diesem Bruch.
In den Beispielen bisher wurden immer natürliche Zahlen durch natürliche Zahlen geteilt.
Was aber ist, wenn eine dieser Zahlen negativ ist? Oder gar beide?
Ist eine der beiden Zahlen einer Division negativ, ist auch der als Bruch geschriebene Rest negativ.
Die beiden Minus-Vorzeichen kannst du aus dem Rechenausdruck herausziehen:
Eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch schreibt man meistens direkt hintereinander, ohne Plus-Zeichen:
Ein Minus-Vorzeichen vor so einer vereinfachten Schreibweise macht die ganze Zahl und den Bruch negativ:
Wenn eine ganze Zahl und ein Bruch direkt hintereinander stehen, denke dir die Zahl immer als Summe (in Klammern):
2\frac12=(2+\frac12)
/Ein Minus-Vorzeichen bezieht sich dann immer auf die Summe insgesamt: -2\frac12=-(2\frac12)| Klammern setzen =-(2+\frac12)| als Summe schreiben =-2-\frac12| Vorzeichen auflösen Falsch wäre also:
-2\frac12=-2+\frac12\ Falsch!
Hier lernst du, den Rest einer Division als Bruch zu schreiben.
Wie heißen die Bestandteile dieses Bruchs?
set originx=8 originy=7;
paint text value="3" x=0 y=-1 align=center valign=bottom;
paint line x=-2 y=0 x2=2 y2=0;
paint text value="7" x=0 y=0 align=center valign=top;
text="Die 3 ist der Zähler." correct;
text="Die 7 ist der Zähler.";
text="Die 7 ist der Nenner." correct;
text="Zwischen Zähler und Nenner ist der Bruchstrich." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Bruchzahlen sind dargestellt? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken
///
Rechne aus:
$\frac{1}{#$zbr2_1_1a#}$ von #$zbr2_1_1c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_2a#}$ von #$zbr2_1_2c# $=$$:$$=$
///
$\frac{1}{#$zbr2_1_3a#}$ von #$zbr2_1_3c# $=$$:$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus:
$\frac{#$zbr2_2_1d#}{#$zbr2_2_1a#}$ von #$zbr2_2_1c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_2d#}{#$zbr2_2_2a#}$ von #$zbr2_2_2c# $=($$:$$) \cdot$$=$
///
$\frac{#$zbr2_2_3d#}{#$zbr2_2_3a#}$ von #$zbr2_2_3c# $=($$:$$) \cdot$$=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Brüche sind dunkel dargestellt? Schreibe die fehlenden Zähler und Nenner in die Lücken:
///
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=4 num=3;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=6 num=1;
/// /_
/// /_
paint fracpie x=15 y=15 r=13 denom=3 num=3;
/// /_
/// /_
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne schriftlich. Schreibe auch alle Zwischenrechnungen auf.
///
2
3
6
:
4
=
-
-
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne schriftlich. Schreibe auch alle Zwischenrechnungen auf.
///
8
5
1
:
3
=
-
Rest:
-
-
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Wie verteilst du 10 Lollis so auf 3 Kinder, dass jedes Kind gleich viel bekommt? Rechne:
///
$\align[5:r]{10:3}\align[4]{=3}$ Rest $1$
///
Ein Lolli bleibt übrig. Was tun damit?
///
Du könntest den Lolli in drei Teile zerbrechen!
///
Das geht bei einem kleinen Lolli natürlich nicht so gut.
Betrachten wir das mit Kreisen:
write value="Stellen wir zuerst jeden Lolli als ausgefüllten Kreis dar.";
paint id=fp1 fracpie x=5 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp2 fracpie x=15 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp3 fracpie x=25 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp4 fracpie x=35 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp5 fracpie x=45 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp6 fracpie x=55 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp7 fracpie x=65 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp8 fracpie x=75 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp9 fracpie x=85 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
paint id=fp10 fracpie x=95 y=10 r=4 int=1 flyin=east transition=0.3s;
wait delay;
write clear value="Dann verteilen wir 9 der Kreise auf die 3 Kinder.";
transform id=fp1 mdy=20 mdx=2;
transform id=fp2 mdy=12 mdx=-2;
transform id=fp3 mdy=22 mdx=-8;
transform id=fp4 mdy=20 mdx=9;
transform id=fp5 mdy=13 mdx=6;
transform id=fp6 mdy=22 mdx=-1;
transform id=fp7 mdy=22 mdx=14;
transform id=fp8 mdy=13 mdx=6;
transform id=fp9 mdy=19 mdx=4;
wait delay;
write clear value="Den übrigen Kreis zerteilen wir in 3 gleiche Teile.";
transform id=fp10 mdx=-45 delay=1500;
paint id=fp10a fracpie x=50 y=10 r=4 denom=3 num=3 opacin;
paint id=fp10b arcsegment x=50 y=10 r=4 alpha2=240 alpha1=360 fill=green;
paint id=fp10c arcsegment x=50 y=10 r=4 alpha2=120 alpha1=240 fill=green;
paint id=fp10d arcsegment x=50 y=10 r=4 alpha2=0 alpha1=120 fill=green;
delete id=fp10; delete id=fp10a;
delay=10;
transform id=fp10b mdx=-1 mdy=-1;
transform id=fp10c mdx=0 mdy=1;
transform id=fp10d mdx=1 mdy=-1;
wait delay;
write clear value="Diese 3 Teile verteilen wir an die 3 Kinder.";
transform id=fp10b mdx=-26 mdy=14;
transform id=fp10c mdx=-9 mdy=10;
transform id=fp10d mdx=39 mdy=10;
delay=3000;
paint fracpie x=23 y=23 r=4 denom=3 num=1 numstart=2 opacin;
paint fracpie x=41 y=21 r=4 denom=3 num=1 numstart=1 opacin;
paint fracpie x=90 y=19 r=4 denom=3 num=1 numstart=0 opacin;
delay=3000;
write clear value="Du siehst: Jedes Kind bekommt 3 und $\frac{1}{3}$ Kreise (also Lollis).";
write all button;
repeat button;
Der ,,zerteilte Rest'' wird zum ganzzahligen Teil des Ergebnisses addiert:
///
$\align[5:r]{10:3}\align[4]{=3}$ Rest $1$
$\align[5]{}=3+\frac{1}{3}$.
////
Den Rest im Ergebnis einer Division kannst du als Bruch schreiben.
Der Rest wird zum Zähler und die zweite Zahl der Division (der Divisor) zum Nenner des Bruchs.
///
Das Ergebnis (der Quotient) der Division ist die Summe aus dem ganzzahligen Teil des Ergebnisses und diesem Bruch.
set originx=0 originy=7;
paint latex x=10 y=0 align=right value="14";
paint latex x=12.5 y=0 align=center value=":";
paint latex x=15 y=0 align=left value="3";
paint latex x=20 y=0 align=left value="=";
paint latex x=27 y=0 align=left value="4";
paint text x=32 y=0 align=left value="Rest";
paint latex x=43 y=0 align=left value="2";
delay=100;
paint id=d1 latex x=15 y=0 align=left value="3";
paint id=d2 latex x=20 y=0 align=left value="=";
paint id=d3 latex x=27 y=0 align=left value="4";
paint id=d4 latex x=43 y=0 align=left value="2";
transform id=d2 mdy=10 delay=1500;
transform id=d3 mdy=10 delay=1500;
paint latex x=31.5 y=10.2 align=center value="+" delay=1500 opacin;
paint line x=34 y=8.3 x2=38.5 y2=8.3 fadein=west delay=500;
transform id=d4 mdy=7 mdx=-8 delay=1500;
transform id=d1 mdy=12.5 mdx=20;
repeat button;
In den Beispielen bisher wurden immer natürliche Zahlen durch natürliche Zahlen geteilt.
///
Was aber ist, wenn eine dieser Zahlen negativ ist? Oder gar beide?
Ist eine der beiden Zahlen einer Division negativ, ist auch der als Bruch geschriebene Rest negativ.
///
Die beiden Minus-Vorzeichen kannst du aus dem Rechenausdruck herausziehen:
set originx=0 originy=7;
paint latex x=10 y=0 align=right value="-14";
paint latex x=12.5 y=0 align=center value=":";
paint latex x=15 y=0 align=left value="3";
paint latex x=20 y=0 align=left value="=";
paint latex x=27 y=0 align=left value="-4";
paint text x=34 y=0 align=left value="Rest";
paint latex x=45 y=0 align=left value="-2";
delay=100;
paint id=d2 latex x=20 y=0 align=left value="=";
transform id=d2 mdy=10 delay=1500;
paint id=d3 latex x=27 y=0 align=left value="-4" delay=10;
transform id=d3 mdy=10 delay=1500;
paint latex x=34.5 y=10.2 align=center value="+" delay=1500 opacin;
paint latex x=39 y=10 align=center value="(-" delay=0 opacin;
paint latex x=49.5 y=10 align=center value=")" delay=1500 opacin delay=1500;
paint line x=42 y=8.3 x2=48 y2=8.3 fadein=west delay=500;
paint id=d4 latex x=47 y=0 align=left value="2" delay=10;
transform id=d4 mdy=7 mdx=-3 delay=1500;
paint id=d1 latex x=15 y=0 align=left value="3" delay=10;
transform id=d1 mdy=12.5 mdx=29 delay=1500;
delay=100;
paint id=d11 latex x=20 y=10 align=left value="=";
transform id=d11 mdy=10 delay=1500;
paint id=d12 latex x=27 y=10 align=left value="-" delay=10;
transform id=d12 mdy=10 delay=1500;
paint id=d13 latex x=30 y=20 align=left value="(" opacin delay=0;
paint id=d14 latex x=45.5 y=20 align=left value=")" opacin;
paint id=d15 latex x=30 y=10 align=left value="4" delay=10;
transform id=d15 mdy=10 mdx=2 delay=1500;
paint id=d16 latex x=34.5 y=10 align=center value="+" delay=10;
transform id=d16 mdy=10 mdx=2 delay=1500;
groupstart id=d17;
paint line x=42 y=8.3 x2=48 y2=8.3;
paint id=d18 latex x=44 y=7 align=left value="2";
paint id=d19 latex x=44 y=12.5 align=left value="3";
groupend;
delay=10;
transform id=d17 mdy=10 mdx=-3 delay=1500;
repeat button;
Eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem Bruch schreibt man meistens direkt hintereinander, ohne Plus-Zeichen:
set originx=0 originy=6.5;
paint latex x=10 y=0 align=right valign=middle value="4";
paint id=d11 latex x=12.5 y=0.4 align=center valign=middle value="+";
groupstart id=d12;
paint line x=15 y=0 x2=20.5 y2=0;
paint latex x=18 y=-1 align=center valign=bottom value="3";
paint latex x=18 y=1.5 align=center valign=top value="5";
groupend;
delay=2000;
transform id=d11 opacity=0 delay=0;
transform id=d12 mdx=-4 delay=0;
delay=6000;
transform id=d12 mdx=4 delay=0;
transform id=d11 opacity=1 delay=0;
delay=2000;
repeat;
Ein Minus-Vorzeichen vor so einer vereinfachten Schreibweise macht die ganze Zahl und den Bruch negativ:
set originx=0 originy=6.5;
paint id=d21 latex x=10 y=0 align=right valign=middle value="-";
paint id=d22 latex x=13 y=0 align=right valign=middle value="4";
paint id=d23 latex x=15.5 y=0.4 align=center valign=middle value="+";
paint id=d24 latex x=19 y=0 align=center valign=middle value="-";
groupstart id=d25;
paint line x=21.5 y=0 x2=26.5 y2=0;
paint latex x=24 y=-1 align=center valign=bottom value="3";
paint latex x=24 y=1.5 align=center valign=top value="5";
groupend;
delay=1000;
transform id=d24 opacity=0;
transform id=d22 mdx=3;
transform id=d23 mdx=3;
delay=1000;
paint id=d26 latex x=13 y=0 align=right valign=middle value="(" opacin delay=0;
paint id=d27 latex x=28.5 y=0 align=right valign=middle value=")" opacin;
delay=2000;
transform id=d23 opacity=0;
transform id=d25 mdx=-5;
transform id=d27 mdx=-5;
delay=2000;
transform id=d26 opacity=0;
transform id=d27 opacity=0;
transform id=d22 mdx=-3;
transform id=d25 mdx=-3;
transform id=d27 mdx=-3;
delay=6000;
transform id=d22 mdx=3;
transform id=d25 mdx=3;
transform id=d27 mdx=3;
transform id=d26 opacity=1;
transform id=d27 opacity=1;
delay=2000;
transform id=d23 opacity=1;
transform id=d25 mdx=5;
transform id=d27 mdx=5;
delay=2000;
transform id=d26 opacity=0;
transform id=d27 opacity=0;
transform id=d22 mdx=-3;
transform id=d23 mdx=-3;
delay=1000;
transform id=d24 opacity=1;
delay=1000;
repeat;
Wenn eine ganze Zahl und ein Bruch direkt hintereinander stehen, denke dir die Zahl immer als Summe (in Klammern):
///
$\align[6:r]{2\frac{1}{2}}=(2+\frac{1}{2})$
////
Ein Minus-Vorzeichen bezieht sich dann immer auf die Summe insgesamt:
///
$\align[6:r]{-2\frac{1}{2}}=\align[9]{-(2\frac{1}{2})}$| Klammern setzen
$\align[6]{}=\align[9]{-(2+\frac{1}{2})}$| als Summe schreiben
$\align[6]{}=\align[9]{-2-\frac{1}{2}}$| Vorzeichen auflösen
///
Falsch wäre also:
///$\align[6:r]{-2\frac{1}{2}}\style[red]{=}-2+\frac{1}{2}\ \style[red]{Falsch!}$
///
$_page.introtext="Hast du alles verstanden?";;;;
;;;#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Gleichung ist richtig?
///
$22:5=$
///
$4+\frac{5}{2}$$4+\frac{2}{5}$$4+\frac{1}{5}$$4+\frac{2}{4}$#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche Gleichung ist richtig?
///
$19:6=$
///
$3\frac{1}{3}$$3\frac{1}{19}$$3\frac{6}{19}$$3\frac{1}{6}$#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Welche beiden Gleichungen sind richtig?
///
$(-25):4=$
///
$-6\frac{1}{4}$$-6+\frac{1}{4}$$-6-\frac{1}{4}$$-(6-\frac{1}{4})$
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
Lernen und Üben
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aus. Nach Anklicken der Schaltfläche „Lerncode anfordern“
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Martin Hoos
Hohenzollernring 31
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Verantwortlicher gemäß § 55 Abs. 2 RStV:
Martin Hoos
Hohenzollernring 31
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Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.
4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen.
Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden.
Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.
5. Feedbackformulare
5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert.
Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.
5.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
6. Formular zum Mailen von Lerncodes
6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
E-Mail-Adresse
Lerncode
6.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.