Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Brüche addieren und subtrahieren (2)

Hier lernst du, Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren. Bruchrechnen, Bruchrechnung, Addition, Subtraktion, ungleichnamig

Hier lernst du, Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren. Bruchrechnen, Bruchrechnung, Addition, Subtraktion, ungleichnamig

Brüche addieren und subtrahieren (2)


Eine Aufgabe, wie du sie ähnlich schon kennst:
Wie viel Schokolade hast du, wenn du zu \frac12 einer Schokoladentafel noch \frac13 der Tafel dazunimmst?

Dann hast du \frac56 einer Tafel Schokolade. Und lauter verschiedene Nenner ...





Wie viel ist \frac12+\frac13?
Weil die beiden Brüche ungleiche Nenner haben, stellen wir sie auf zwei unterschiedllichen Zahlengeraden dar:

Addition heißt, die Pfeile aneinanderzuhängen. Machen wir das mal! Ups! Die Pfeile zeigen nun "irgendwohin" /- nur nicht auf einen bestimmten Strich auf der Zahlengeraden!



Was tun?
Versuchen wir mal, die Unterteilungen auf den Zahlengeraden zu "verfeinern":

Halbieren wir mal alle Teilstrecken. Super, unten haben wir jetzt einen Strich, auf den die Pfeile zeigen: genau in der Mitte zwischen \frac23 und 1. Oben aber noch nicht. Versuchen wir oben eine andere Unterteilung: eine Dreiteilung. Jetzt haben wir auch oben einen Strich, auf den die aneinandergehängten Pfeile zeigen: zwischen \frac12 und 1, näher an der 1. Fällt dir was auf? Oben und unten haben wir nun dieselbe Unterteilung in Teilstrecken. Was ist das für eine Unterteilung? Zählen wir nach! Genau, es ist eine Teilung der Strecke zwischen den ganzen Zahlen in 6 Teilstrecken. Und plötzlich zeigen die Pfeile auf ganz andere Brüche ...



Aus der Addition \frac12+\frac13 haben wir nun eine andere Addition gemacht:

Aus \frac12+\frac13 wird \frac36+\frac26.

Damit wir das Ergebnis von \frac12+\frac13 am Zahlenstrahl ablesen können, mussten wir also die Brüche so erweitern, dass sie denselben Nenner haben:
  • \frac12+\frac13| Brüche erweitern
    =\frac1⋅32⋅3+\frac1⋅23⋅2| in Zähler und Nenner multiplizieren
    =\frac36+\frac26| Zähler addieren
    =\frac3+26
    =\frac56


Merke dir schon mal: Haben mehrere Brüche ungleiche Nenner, nennt man sie ungleichnamig.

Wichtiger aber ist: Um Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren, musst du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben.
Ein gemeinsamer Nenner heißt Hauptnenner der Brüche.

1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 3. Dann addiere die jetzt gleichnamigen Brüche.

Das Ergebnis der Addition kannst du manchmal noch kürzen.

  • \frac23+\frac14| Brüche erweitern
    =\frac2⋅43⋅4+\frac1⋅34⋅3| in Zähler und Nenner multiplizieren
    =\frac812+\frac312| Zähler addieren
    =\frac8+312
    =\frac1112
  • \frac14+\frac38| Brüche erweitern
    =\frac1⋅24⋅2+\frac38| in Zähler und Nenner multiplizieren
    =\frac28+\frac38| Zähler addieren
    =\frac2+38
    =\frac58
  • \frac115+\frac35| Brüche erweitern
    =\frac115+\frac3⋅35⋅3| in Zähler und Nenner multiplizieren
    =\frac115+\frac915| Zähler addieren
    =\frac1+915
    =\frac1015| kürzen
    =\frac10:515:5
    =\frac23


"Und wie muss ich die Brüche erweitern?"
Für die Addition müssen die Brüche so erweitert werden, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Und der ist immer ein gemeinsames Vielfaches der ursprünglichen Nenner.


Ein Hauptnenner kann immer das Produkt aus beiden Nennern sein:

Zwei Brüche haben immer ganz viele mögliche Hauptnenner.
Hauptnenner von \frac12 und \frac13 sind zum Beispiel 6, 12, 18, 24 usw. /- also alle Vielfache des Produkts der Nenner 2⋅3=6.


Manche Brüche haben auch kleinere Hauptnenner als das Produkt der Nenner, zum Beispiel \frac14 und \frac38. Hier ist bereits der Nenner 8 ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner 4 und 8, denn 8=4⋅2.

Suche bei der Addition von ungleichnamigen Brüchen immer einen möglichst kleinen Hauptnenner.
Je kleiner der Hauptnenner ist, desto leichter ist die Rechnung. Die Rechnungist (etwas) leichter als

Der kleinste Hauptnenner von zwei Brüchen ist die kleinste Zahl, die das Vielfache ihrer Nenner ist.
Diese Zahl heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von zwei Zahlen.
Du schreibst:Das sprichst du so: "Das kleinste gemeinsame Vielfache von 10 und 15 ist (gleich) 30."

Den Hauptnenner (also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner) kannst du durch Probieren herausfinden.
Oder systematisch, indem die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst: Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45?
Lösungsweg:

1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren. 2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen. 3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache! Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180. \kgV(60,\ 45)=180.



Ein häufiger Fehler beim Erweitern von zwei Brüchen auf einen Hauptnenner ist es, nur die Nenner zu "erweitern". Aber:\frac23+\frac15\neq\frac23⋅5+\frac15⋅3

Wie geht nun die Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen?
Ganz genauso wie bei der Addition: Um Brüche mit ungleichen Nennern zu subtrahieren, müssen du sie zuerst so erweitern, dass sie alle denselben Nenner haben.

1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 3. Dann subtrahiere die jetzt gleichnamigen Brüche.



  • \frac23\minus\frac14| Brüche erweitern
    =\frac2⋅43⋅4\minus\frac1⋅34⋅3| in Zähler und Nenner multiplizieren
    =\frac812-\frac312| Zähler subtrahieren
    =\frac8-312
    =\frac512
  • \frac34\minus\frac38| Brüche erweitern
    =\frac3⋅24⋅2-\frac38| in Zähler und Nenner multiplizieren
    =\frac68-\frac38| Zähler subtrahieren
    =\frac6-38
    =\frac38
  • \frac35\minus\frac415| Brüche erweitern
    =\frac3⋅35⋅3-\frac415| in Zähler und Nenner multiplizieren
    =\frac915-\frac415| Zähler addieren
    =\frac9-415
    =\frac515| kürzen
    =\frac5:515:5
    =\frac13


Und was ist bei der Addition und Subtraktion mit negativen Brüchen?
Kein Problem, wenn du dir sicher in der Addition und Subtraktion mit negativen Zahlen bist: Bei negativen Brüchen musst du vor der Addition oder Subtraktion noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen:


Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

Darum und um eine einfache Bedien­barkeit zu ermög­lichen, verzich­tet „Mathe? KLARO! auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lern­aktivi­täten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassen­verwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lern­inhalte und Auf­gaben bear­beiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO! den Prinzi­pien des nachhal­tigen Web­designs: Um für den Server­betrieb und die Daten­über­mittlung möglichst wenig Energie zu ver­brau­chen, sind die Anzahl der Server­anfragen und der Umfang der übert­ra­genen Daten sehr klein gehalten. Insbe­sondere wird auf auf­wändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuer­baren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO! ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funk­tiona­lität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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