Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Brüche erweitern und kürzen

Hier lernst du, wie du Brüche erweiterst und kürzt.

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Brüche erweitern und kürzen


Antonio und Natalja haben in ihrer Klasse eine Umfrage gemacht.
"16 von 24 Kindern kommen mit dem Fahrrad in die Schule", stellt Antonio fest.
"Das sind genau zwei Drittel aller Kinder", erklärt Natalja und schreibt an die Tafel:
\scale[1.4]\frac1624=\frac23



Betrachte den Bruch \frac23 auf dem Zahlenstrahl:

Zeichne zuerst den Bruch ein. Was passiert, wenn wir die einzelnen Streckenabschnitte halbieren? Die Striche unterteilen die Strecken zwischen den ganzen Zahlen nun in 6 Teilstrecken. Zähle nun die Striche bis zum roten Strich. Bis zum roten Strich zählst du 4 Striche. 4 von 6 Teilstrecken? Der rote Strich kennzeichnet also den Bruch \frac46.



Wie jetzt? Den Strich haben wir doch eben erst beim Bruch \frac23 eingezeichnet?

Und jetzt soll er den Bruch \frac46 kennzeichnen?

Genau! Es gilt nämlich:
\scale[1.4]\frac23=\frac46


Das ist ja auch nicht weiter erstaunlich.
Denn wenn du die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in doppelt so viele Teilstrecken unterteilst, dann musst du auch doppelt so viele Striche zählen bis zur selben Stelle auf dem Zahlenstrahl.



Und das gilt nicht nur für Verdoppelungen, sondern für alle weiteren Unterteilungen. Zähl nach!



Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multiplizierst, bleibt die Bruchzahl gleich.
Man sagt dazu: Der Bruch wird mit dieser Zahl erweitert.
  • \frac23=\frac2⋅23⋅2| erweitern mit 2
    =\frac46
  • \frac23=\frac2⋅33⋅3| erweitern mit 3
    =\frac69
  • \frac58=\frac5⋅108⋅10| erweitern mit 10
    =\frac5080
  • -\ \frac34=-\ \frac3⋅44⋅4| erweitern mit 4
    =-\ \frac1216


Umgekehrt kannst du viele Brüche auch kürzen.
Dazu teilst du Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche natürliche (oder ganze) Zahl:
  • \frac69=\frac6:39:3| kürzen durch 3
    =\frac23


Kürzen geht aber nur dann, wenn die Zahl, durch die du kürzt, ein Teiler sowohl vom Zähler als auch vom Nenner ist!
Denn nur dann sind der "neue" Zähler und der "neue" Nenner wieder natürliche (oder ganze) Zahlen!


Zum Beispiel darfst du \frac46 nicht durch 3 kürzen, weil 3 kein Teiler vom Zähler 4 ist. (4:3 ergibt keine ganze Zahl.)

Was passiert, wenn du es trotzdem machst? Probieren wir es aus:
  • \frac46=\frac4:36:3| kürzen durch 3
    =\frac1\text Rest 12
Und das sieht doch ziemlich blöd aus, oder?

Wenn du Zähler und Nenner eines Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler dividierst, bleibt die Bruchzahl gleich.
Man sagt dazu: Der Bruch wird um diese Zahl gekürzt.
  • \frac46=\frac4:26:2| kürzen durch 2
    =\frac23
  • \frac69=\frac6:39:3| kürzen durch 3
    =\frac23
  • \frac5080=\frac50:1080:10| kürzen durch 10
    =\frac58
  • -\ \frac1216=-\ \frac12:416:4| kürzen durch 4
    =-\ \frac34


Du siehst: Erweitern mit und kürzen durch dieselbe Zahl führen zum "ursprünglichen" Bruch:
\frac23=\frac2⋅23⋅2| erweitern mit 2
=\frac46
=\frac4:26:2| kürzen durch 2
=\frac23

Die beiden Operationen heben sich gegenseitig auf.


"Kann man denn alle Brüche kürzen?
Nein. Brüche, deren Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (außer der 1) haben, lassen sich nicht kürzen.


Solche Brüche bekommen auch einen besonderen Namen: Ein vollständig gekürzter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler (größer als 1) haben.
Einen Bruch in einen vollständig gekürzten Bruch umzuformen, heißt, diesen Bruch vollständig zu kürzen.


Manchmal ist es nicht leicht zu erkennen, ob ein Bruch vollständig gekürzt ist. Du musst dann verschiedene mögliche Teiler ausprobieren.

Systematisch geht das, indem du Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren zerlegst. Wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren (mehr) haben, sind sie vollständig gekürzt:
  • \frac4260| in Primfaktoren zerlegen
    =\frac2⋅3⋅72⋅2⋅3⋅5| durch die gemeinsamen Primfaktoren kürzen
    =\frac72⋅5
    =\frac710| = vollständig gekürzter Bruch
    \
  • \frac2144| in Primfaktoren zerlegen
    =\frac3⋅72⋅2⋅11| keine gemeinsamen Primfaktoren
    =\frac2144| = vollständig gekürzter Bruch
    \
  • \frac105847| in Primfaktoren zerlegen
    =\frac3⋅5⋅77⋅11⋅11| durch gemeinsamen Primfaktor kürzen
    =\frac3⋅511⋅11
    =\frac15121| = vollständig gekürzter Bruch
    \


Bei manchen Brüchen ist es ganz einfach zu erkennen, dass sie vollständig gekürzt sind: Erkennst du die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 wieder?

Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

Darum und um eine einfache Bedien­barkeit zu ermög­lichen, verzich­tet „Mathe? KLARO! auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lern­aktivi­täten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassen­verwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lern­inhalte und Auf­gaben bear­beiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO! den Prinzi­pien des nachhal­tigen Web­designs: Um für den Server­betrieb und die Daten­über­mittlung möglichst wenig Energie zu ver­brau­chen, sind die Anzahl der Server­anfragen und der Umfang der übert­ra­genen Daten sehr klein gehalten. Insbe­sondere wird auf auf­wändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuer­baren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO! ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funk­tiona­lität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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