Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Brüche vergleichen und ordnen

Hier lernst du, Brüche zu vergleichen.

Hier lernst du, Brüche zu vergleichen.

Brüche vergleichen


Was ist mehr?


\frac23 einer Tafel Schokolade, oder \frac34 einer Tafel Schokolade?



Zahlen kannst du auf dem Zahlenstrahl darstellen. Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl ist, desto größer ist diese Zahl:

Du siehst sofort: 8 ist größer als 5. 5 ist größer als 2. Und 2 ist größer als -1.




Das geht natürlich auch mit Brüchen:

Auch hier siehst du sofort: \frac94 ist größer als \frac54. \frac54 ist größer als \frac24. Und \frac24 ist größer als -\frac14.




Was haben die Brüche \frac94, \frac54, \frac24 und -\frac14 gemeinsam?
Na klar, sie haben denselben Nenner 4.


Und genau das macht ihren Vergleich auch ganz einfach. Denn du kannst sie alle in einem gemeinsamen Zahlenstrahl eintragen, bei dem die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in 4 Teilstrecken unterteilt sind:

Mit dem Zähler zählst du die Striche dieser Unterteilung. Und je größer der Zähler ist (je mehr Striche du also zählst), desto größer ist auch der Bruch.



Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größten Zähler am größten.
Bei negativen Brüchen musst du vorher noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen:



Das war einfach, oder?
Wie ist es aber, wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben? Wenn also die Brüche "ungleichnamig" sind?


Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir die Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben, also "gleichnamig" sind.
Das kannst du immer machen, indem du den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs erweiterst und umgekehrt: Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: \frac23 oder \frac34?
Lösungsweg:

1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. 8 ist kleiner als 9. Also ist auch \frac812 kleiner als \frac912, denn die beiden Brüche haben denselben Nenner. Damit hast du gezeigt: \frac23 ist kleiner als \frac34.



Das Erweitern mit dem Nenner des jeweils anderen Bruch funktioniert immer:
  • \frac45\,?\,\frac23| Brüche erweitern
    \frac4⋅35⋅3\,?\,\frac2⋅53⋅5| multiplizieren
    \frac1215\,?\,\frac1015| Zähler vergleichen
    \frac1215\gt\frac1015
    \frac45\gt\frac23
    \,
  • \frac13\,?\,\frac49| Brüche erweitern
    \frac1⋅93⋅9\,?\,\frac4⋅39⋅3| multiplizieren
    \frac927\,?\,\frac1227| Zähler vergleichen
    \frac927\lt\frac1227
    \frac13\lt\frac49


Manchmal geht es auch etwas einfacher. Nämlich immer dann, wenn der eine Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist.
Um die beiden Brüche \frac13 und \frac49 gleichnamig zu machen (also auf denselben Nenner zu bringen), genügt es, wenn du nur den ersten Bruch mit 3 erweiterst:
  • \frac13\,?\,\frac49| Bruch erweitern
    \frac1⋅33⋅3\,?\,\frac49| multiplizieren
    \frac39\,?\,\frac49| Zähler vergleichen
    \frac39\lt\frac49
    \frac13\lt\frac49


  • \frac58\,?\,\frac12| Bruch erweitern
    \frac58\,?\,\frac1⋅42⋅4| multiplizieren
    \frac58\,?\,\frac48| Zähler vergleichen
    \frac58\gt\frac48
    \frac58\gt\frac12
  • \frac25\,?\,\frac715| Bruch erweitern
    \frac2⋅35⋅3\,?\,\frac715| multiplizieren
    \frac615\,?\,\frac715| Zähler vergleichen
    \frac615\lt\frac715
    \frac25\lt\frac715


Bei vielen anderen Brüchen genügt es, wenn du ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner findest.
Ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6 ist 12, denn 4⋅3=12 und 6⋅2=12. Also kannst du hier so rechnen:
  • \frac34\,?\,\frac56| Bruch erweitern
    \frac3⋅34⋅3\,?\,\frac5⋅26⋅2| multiplizieren
    \frac912\,?\,\frac1012| Zähler vergleichen
    \frac912\lt\frac1012
    \frac34\lt\frac56


Andere Vielfache von 4 und 6 wären zum Beispiel 24 (das Produkt aus 4 und 6), 36, 48, ...
Aber: Je kleiner das gemeinsame Vielfache, desto einfacher lässt es sich rechnen.


Die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches von zwei ganzen Zahlen zugleich ist, heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches.
Du schreibst:
\kgV(4,\ 6)=12
Das liest du so: "Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist (gleich) 12."

Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Nennern (oder von zwei Zahlen allgemein)?
Mit einem Trick! Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45?
Lösungsweg:

1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren. 2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen. 3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache! Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180. \kgV(60,\ 45)=180.



Wenn du zwei Brüche mit ungleichen Nennern ("ungleichnamige Brüche") vergleichen willst, gehe so vor:
  1. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der beiden Brüche.
  2. Erweitere die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
  3. Vergleiche dann die Zähler der erweiterten Brüche.
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: \frac1760 oder \frac1345?
Lösungsweg:
  1. Berechnen des kgV der Nenner:
    60=2⋅2⋅3⋅5| zerlegen in Primfaktoren
    45=3⋅3⋅5
    60=2⋅2⋅\strikeout3⋅\strikeout5| streichen gemeinsamer Faktoren
    45=\strikeout3⋅3⋅\strikeout5
    \kgV(60,\ 45)| kgV berechnen
    =60⋅3
    =45⋅2⋅2
    =180
  2. Erweitern der Brüche:
    \frac1760=\frac17⋅360⋅3=\frac51180
    \frac1345=\frac13⋅2⋅245⋅2⋅2=\frac52180
  3. Vergleichen:
    \frac51180\,?\,\frac52180| 51\lt52, Nenner gleich
    \frac51180\lt\frac52180
    \frac1760\lt\frac1345


Ein besonderer Fall ist der, wenn die Zähler gleich sind und die Nenner ungleich: Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: \frac57 oder \frac58?
Lösungsweg:
  1. Die beiden Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, denn 7 ist eine Primzahl und 8 ist kein Vielfaches von 7. Daher ist:
    \kgV(7,\ 8)| Nenner multiplizieren
    =7⋅8
    =56
  2. Erweitern der Brüche:
    \frac57=\frac5⋅87⋅8=\frac4056
    \frac58=\frac5⋅78⋅7=\frac3556
  3. Vergleichen:
    \frac4056\,?\,\frac3556| 40\gt35, Nenner gleich
    \frac4056\gt\frac3556| und damit ist:
    \frac57\gt\frac58


Ist ja eigentlich auch klar. Denn man zählt bei beiden Brüchen gleich viele Teilstrecken, nur sind bei dem Bruch mit dem kleineren Nenner die Teilstrecken länger.
Vergleiche zum Beispiel \frac57 und \frac58:



Und genau deshalb kannst du solche Brüche auch einfacher vergleichen: Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleinsten Nenner am größten. (Hier kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.)

Zum Schluss noch mal alle Merkregeln zusammen:

Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

Darum und um eine einfache Bedien­barkeit zu ermög­lichen, verzich­tet „Mathe? KLARO! auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lern­aktivi­täten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassen­verwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lern­inhalte und Auf­gaben bear­beiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO! den Prinzi­pien des nachhal­tigen Web­designs: Um für den Server­betrieb und die Daten­über­mittlung möglichst wenig Energie zu ver­brau­chen, sind die Anzahl der Server­anfragen und der Umfang der übert­ra­genen Daten sehr klein gehalten. Insbe­sondere wird auf auf­wändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuer­baren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO! ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funk­tiona­lität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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