Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Daten mit Säulendiagrammen darstellen

Hier lernst du, Säulendiagramme und Liniendiagramme zu lesen und zu zeichnen.

Hier lernst du, Säulendiagramme und Liniendiagramme zu lesen und zu zeichnen.

Diagramme


Sieh dir diese Tabelle an:

Kann man diese Daten nicht auch irgendwie anders darstellen? So, dass der Zuwachs der Weltbevölkerung richtig deutlich wird?



Sehr häufig werden Zahlentabellen mithilfe von Säulendiagrammen grafisch darstellt: Mit einem Säulendiagramm lassen sich die Zielwerte einer Zuordnung gut miteinander vergleichen.
Jedem Ausgangswert ist eine senkrechte Säule zugeordnet, deren Höhe abhängig zum zugewiesenen Zielwert ist.



So ist ein Säulendiagramm aufgebaut:

Ein Säulendiagramm besteht aus einer horizontalen Achse, auf der die Ausgangswerte aufgetragen sind (wie bei einem vertikale Achse mit den Zielwerten von unten nach oben angefügt (wie bei einem vertikalen Zahlenstrahl). In Höhe der einzelnen Zielwerte werden oft noch horizontale Linien eingezeichnet. Dann wird für jeden Zielwert eine Säule eingezeichnet. Die Höhe der Säule richtet sich an den horizontalen Strichen für die Zielwerte. Die Säulen können noch mit den genauen oder Überschrift und eine Angabe, aus welcher Quelle die Daten stammen.



Ein Säulendiagramm zu "lesen" ist ganz einfach: Aufgabe: Sieh dir das Diagramm an. Wie viele Menschen lebten im Jahr 2010 auf der Erde?
Lösung:

Suche auf der unteren Achse den Ausgangswert "2010". Gehe dann nach oben und lies den Wert ab, der bei der Säule steht. "Im Jahr 2010 lebten etwa 6,9 Milliarden Menschen auf der Erde." Aber was machst du, wenn die Säulen nicht beschriftet sind? Dann kannst du mithilfe der horizontalen Striche abschätzen, bis zu welcher Höhe (also bis zu welchem Zielwert) die Säule reicht. Gehe dazu vom oberen Rand der Säule parallel zu den horizontalen Strichen nach links bis zur Achse mit den Zielwerten. Du liest ab: "Im Jahr 2010 lebten knapp 7 Milliarden Menschen auf der Erde."



Ein großer Vorteil von Diagrammen ist, dass du manche Informationen sofort "sehen" kannst /- auch ohne die genauen Werte ablesen zu müssen:

"Die Weltbevölkerung nahm von 1950 bis 2020 fast gleichmäßig zu." "In diesem Zeitraum hat sich die Weltbevölkerung etwa verdreifacht."


/

Und so zeichnest du ein Säulendiagramm: Aufgabe: Zeichne mit den Werten der Tabelle ein Säulendiagramm.


/Lösung:

Ein Säulendiagramm zeichnest du am besten auf Karopapier. Zeichne die untere Achse ein (die Zeitachse). Beschrifte sie immer im gleichen Abstand mit den Ausgangswerten. Zeichne die senkrechte Achse für die Zielwerte und beschrifte sie. 5\mm (eine Kästchenhöhe) soll für 1 Milliarde Menschen stehen. Berechne die Höhe der ersten Säule: 5\mm stehen für 1 Milliarde Menschen. Die Säule für 2,5 Milliarden Menschen muss also
\blacksquare1950: 5\mm⋅2,5=12,5\mm
hoch sein. Zeichne die Säule. Berechne die Höhe der zweiten Säule und zeichne sie.
\blacksquare1960: 5\mm⋅3,0=15\mm Berechne die Höhen der übrigen Säulen und zeichne sie. \blacksquare1970: 5\mm⋅3,7=18,5\mm \blacksquare1980: 5\mm⋅4,5=22,5\mm \blacksquare1990: 5\mm⋅5,3=26,5\mm \blacksquare2000: 5\mm⋅6,1=30,5\mm \blacksquare2010: 5\mm⋅6,9=34,5\mm \blacksquare2020: 5\mm⋅7,8=39\mm Die Säulen kannst du noch farbig ausmalen. Vergiss nicht, dem Diagramm einen Titel zu geben. Nenne auch die Datenquelle.



Natürlich kannst du auch eine andere Höhe pro 1 Milliarde Bevölkerung nehmen. Dann werden die Säulen entsprechend größer oder kleiner:


/

Eine Variante des Säulendiagramms ist das Balkendiagramm: In einem Balkendiagramm sind die Achsen für die Ausgangswerte und für die Zielwerte miteinander vertauscht.


/

Eine weitere Diagrammart ist das Liniendiagramm. Ein Liniendiagramm ist einem Säulendiagramm sehr ähnlich:

Stelle dir in der Mitte jeder oberen Säulenkante einen Punkt vor. Verbinde die Punkte. Fertig ist das Liniendiagramm! \,



In einem Liniendiagramm wird jedes Wertepaar aus Ausgangswert und Zielwert durch einen Punkt (oder ein Kreuz) dargestellt.
Die Punkte sind mit Linien miteinander verbunden.

Und was haben Liniendiagramme für eine Vorteil gegenüber Tabellen und Säulendiagramme? In einem Liniendiagramm kannst du schnell das Ausmaß einer Veränderung erkennen:
Je steiler die Linie verläuft, desto stärker verändern sich die Zielwerte zwischen zwei Ausgangswerten.

An der steiler werdenden Linie erkennst du sofort: Um das Jahr 1950 herum begann die Weltbevölkerung deutlich schneller zu wachsen als zuvor. Woran könnte das liegen?



Ist dir was aufgefallen?
Bis zum Jahr 1950 lagen die Daten für Ausgangswerte jeweils im 50-Jahre-Abstand vor, danach jeweils im 10-Jahres-Abstand.
Damit die grafischen Abstände zwischen den Ausgangswerten überall ihre "echten" zeitlichen Abstände darstellen, haben wir sie ab dem Jahr 1950 auf ein Fünftel des vorhergehenden Abstands verringert.
/

Denn wie sähe das Liniendiagramm aus, wenn die Ausgangswerte stattdessen immer im gleichen grafischen Abstand eingetragen worden wären? Wenn die grafischen Abstände zwischen den Ausgangswerten gleich wären, dann könntest du die starke Zunahme des Wachstums ab ungefähr 1950 nicht mehr so leicht erkennen:

Denn der Anstieg der Linien ließe sich dann nicht mehr vergleichen.
(In unserem Beispiel verlaufen dann alle Linien sogar ungefähr gleich steil.)

Achte beim Zeichnen eines Liniendiagramms darauf, dass die grafischen Abstände zwischen den Ausgangswerten die "echten" Abstände zwischen den Ausgangswerten widergeben!
/Gleiches gilt für das Lesen eines Liniendiagramms:
Bevor du Schlussfolgerungen aus dem Anstieg der Linien ziehst, prüfe immer, ob diese "Abstandsregel" im Diagramm eingehalten worden ist! Dieser Tipp gilt natürlich auch beim Zeichnen und Lesen von Säulendiagrammen!

Ein weiterer Vorteil eines Liniendiagramms ist, dass du leicht Zwischenwerte abschätzen kannst. Also Zielwerte, für die eigentlich kein Ausgangswert und kein Zielwert vorliegt: Aufgaben: Schätze am Diagramm ab:
  1. Wie groß ungefähr war die Weltbevölkerung im Jahr 1880?
  2. Wann ungefähr erreichte die Weltbevölkerung die 2-Milliarden-Grenze?
Lösung:

Um Zwischenwerte abschätzen zu können, musst du zunächst die Achse mit den Ausgangswerten "verfeinern". Zeichne auf der Achse Markierungen für einen 10-Jahres-Abstand ein. \, Aufgabe a): Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die untere Achse. Verschiebe das Geodreieck so, dass der Nullpunkt auf dem Strich für "1880" liegt. Zeichne eine Gerade, die die Datenlinie kreuzt. Lege das Geodreieck nun so, dass die lange Seite parallel zur unteren Achse ist und durch den Schnittpunkt geht, den du eben gezeichnet hast. Zeichne an der langen Seite eine Gerade bis zur Achse mit den Zielwerten. Die Gerade schneidet die senkrechte Achse mit den Zielwerten etwa in der Mitte der Werte "1" und "2". Also kannst du abschätzen: "Im Jahr 1880 lebten etwa 1,5 Milliarden Menschen auf der Erde." \, Aufgabe b): Lege das Geodreieck mit der langen Seite parallel zur untere Achse so, dass die lange Seite durch den Zielwert "2" verläuft. Zeichne eine Gerade, die die Datenlinie kreuzt. Zeichne eine senkrechte Gerade durch diesen Schnittpunkt bis zur Achse mit den Ausgangswerten. Die Gerade schneidet die Achse mit den Ausgangswerten etwa beim Strich für das Jahr 1920. Aso kannst du abschätzen: "Etwa im Jahr 1920 überschritt die Weltbevölkerung die 2-Milliarden-Grenze."



Ein Liniendiagramm zeichnest du ganz ähnlich wie ein Säulendiagramm: Aufgabe: Zeichne mit den Werten aus der Tabelle ein Liniendiagramm.


/Lösung:

Zeichne auf Karopapier die untere, horizontale Achse und beschrifte sie mit den Ausgangswerten. Zeichne die vertikale Achse mit den Zielwerten und beschrifte sie. 5\mm (1 Kästchenhöhe) soll dabei 1 Milliarde Menschen entsprechen. Berechne die Position des ersten Punkts: 5\mm stehen für 1 Milliarde Menschen. Der Punkt für 0,79 Milliarden Menschen muss also
\blacksquare1750: 5\mm⋅0,79\approx3,9\mm
hoch sein. Zeichne den Punkt genau über dem Ausgangswert ein. Berechne die Position des zweiten Punkts und zeichne ihn ein.
\blacksquare1800: 5\mm⋅0,98\approx4,7\mm Berechne die Positionen der übrigen Punkte und zeichne sie. \blacksquare1850: 5\mm⋅1,26=6,3\mm \blacksquare1900: 5\mm⋅1,65\approx8,2\mm \blacksquare1950: 5\mm⋅2,54=12,7\mm \blacksquare2000: 5\mm⋅6,14=30,7\mm Verbinde nun die Punkte mit Strecken. Gib dem Diagramm noch einen Titel und nenne die Datenquelle.


Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

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„Mathe? KLARO! ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funk­tiona­lität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

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