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Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2)

Addition und Subtraktion von ganzen (negativen) Zahlen

Addition und Subtraktion von ganzen (negativen) Zahlen

Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen


Negative Zahlen können nicht nur als Ergebnis einer Subtraktion auftreten, sondern auch in den Rechenausdrücken (Termen) selber.

Wie viel ist also zum Beispiel:(Du erinnerst dich: Negative Zahlen schreibt man in Rechenausdrücken in Klammern.)



Die Addition von natürlichen Zahlen kannst du gut am Zahlenstrahl darstellen: Du zählst einfach die Striche der beiden Summanden zusammen. Aufgabe: Wie viel ist 4+7?

1. Zähle zuerst 4 Striche vom Nullstrich aus nach rechts. 2. Zähle von dort nach rechts noch weitere 7 Striche dazu. Jetzt kannst du am Zahlenstrahl ablesen: 4+7=11.



Statt zu zählen kannst du auch die Zahlenpfeile "aneinanderhängen": Aufgabe: Wie viel ist 4+7?

Der erste Summand ist 4. Der zweite Summand ist 7. Die Addition kannst du dir so vorstellen, als ob du den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils "anhängst". Jetzt kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: 4+7=11.



Die Subtraktion von natürlichen Zahlen funktioniert ähnlich, nur dass du die zweite Zahl (den Subtrahenden) nach links abzählen musst: Aufgabe: Wie viel ist 7-4?

1. Zähle zuerst 7 Striche vom Nullstrich aus nach rechts. 2. Zähle von dort 4 Striche nach links zurück. Jetzt kannst du am Zahlenstrahl ablesen: 7-4=3.



Wie bei der Addition kannst du auch bei der Subtraktion von natürlichen Zahlen die Pfeile "aneinanderhängen". Dazu musst du allerdings zuerst die Richtung des Pfeils der zweiten Zahl (des Subtrahenden) umkehren: Aufgabe: Wie viel ist 7-4?

Die erste Zahl (der Minuend) ist 7. Die zweite Zahl (der Subtrahend) ist 4. Hänge den umgekehrten Pfeil der zweiten Zahl an die Spitze des Pfeils der ersten Zahl. Jetzt kannst du wieder das Ergebnis am Zahlenstrahl ablesen: 7-4=3.



So weit die Wiederholung der Addition und Subtraktion mit natürlichen Zahlen.
Aber wie rechnest du, wenn in einer Addition der zweite Summand negativ ist? Im Prinzip genauso: Aufgabe: Wie viel ist 6+(-4)?

Der erste Summand ist 6. Der zweite Summand ist -4. Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils. Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: 6+(-4)=2.



Wenn du eine negative Zahl addierst, gehst du also von der Spitze des ersten Summanden zurück nach links. Fällt dir was auf?


Genau das gleiche machst du, wenn du eine positive Zahl subtrahierst. Du kannst also die Addition einer negativen Zahl in die Subtraktion einer positiven Zahl "umwandeln". Die Addition einer negativen Zahl ist gleich der Subtraktion ihrer positiven Gegenzahl.

1. Ändere die Addition in eine Subtraktion. 2. Ersetze dazu den zweiten Summanden durch die positive Gegenzahl. Den neuen Rechenausdruck kannst du einfach ausrechnen.



Wenn in der "neuen" Subtraktion die zweite Zahl (der Subtrahend) größer ist als die erste Zahl (der Minuend), rechne mit dem entsprechenden Trick weiter:

1. Ändere die Addition in eine Subtraktion. 2. Ersetze dazu den zweiten Summanden durch die positive Gegenzahl. Achtung! Die zweite Zahl (der Subtrahend) 9 ist größer als die erste Zahl (der Minuend) 6! 3. Vertausche also die beiden Zahlen, klammere sie ein und setze ein Minus-Vorzeichen vor die Klammer. 4. Rechne aus.



Eine Subtraktion mit negativer ersten Zahl (negativem Subtrahenden) ist sogar noch einfacher: Aufgabe: Wie viel ist 4-(-3)?

Die erste Zahl (der Minuend) ist 4. Die zweite Zahl (der Subtrahend) ist -3. Hänge für die Subtraktion den umgekehrten Pfeil der zweiten Zahl an die Spitze des Pfeils der ersten Zahl Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: 4-(-3)=7.



Wenn du eine negative Zahl subtrahierst, gehst du also von der Spitze des Pfeils der ersten Zahl weiter nach rechts.
Das ist, als ob du eine positive Zahl addierst. Du kannst also die Subtraktion mit einer negativen zweiten Zahl (einem negativen Subtrahenden) in die Addition einer positiven Zahl "umwandeln". Die Subtraktion mit einer negativen zweiten Zahl (einem negativen Subtrahenden) ist gleich der Addition mit ihrer positiven Gegenzahl.

1. Ändere die Subtraktion in eine Addition. 2. Ersetze dazu die zweite Zahl (den Subtrahenden) durch die positive Gegenzahl. Das Ergebnis kannst du jetzt ganz einfach ausrechnen.



Kommen wir zum nächsten Fall: Der erste Summand einer Addition ist negativ. Auch dann "hängst" du die Pfeile wieder aneinander an: Aufgabe: Wie viel ist (-6)+4?

Der erste Summand ist -6. Der zweite Summand ist 4. Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils. Das Ergebnis kannst du wie immer am Zahlenstrahl ablesen: (-6)+4=-2.



Du hast gelernt: Bei einer Addition kannst du die Summanden austauschen. Das gilt netterweise auch dann, wenn sie negativ sind: Eine Addition mit einem negativen ersten Summanden und einem positiven zweiten Summanden vereinfachst du folgendermaßen:

1. Vertausche zuerst die beiden Summanden. 2. Löse dann die Addition in eine Subtraktion auf. Die Subtraktion kannst du ganz leicht ausrechnen.



Bleibt noch zu klären, was ist, wenn beide Summanden der Addition negativ sind. Auch diesen Fall kannst du mit Aneinanderhängen von Pfeilen verdeutlichen: Aufgabe: Wie viel ist (-4)+(-7)?

Der erste Summand ist -4. Der zweite Summand ist -7. Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils. Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: (-4)+(-7)=-11.



Du merkst, das geht wie die Addition von zwei positiven Zahlen /- nur eben nach links statt nach rechts. Das führt uns zu einem Trick: Um zwei negative Zahlen zu addieren, gehe so vor:

1. Schreibe die positiven Gegenzahlen der beiden Summanden in Klammern als Addition. 2. Setze (gaaanz wichtig!) ein Minuszeichen vor die Addition. (Erst jetzt sind die Rechenausdrücke gleich.) Die Addition rechnest du sicher ganz leicht aus. Vergiss das Minus-Vorzeichen nicht!



Auf diesen Trick kannst du auch eine Subtraktion mit einer negativen ersten Zahl (einem negativem Minuenden) zurückführen: Aufgabe: Wie viel ist (-7)-3?

1. Wandle die Subtraktion "rückwärts" in eine Addition um. 2. Rechne mit dem Rechentrick weiter.



Und auch eine Subtraktion mit negativer zweiten Zahl (mit negativem Subtrahenden) und negativer ersten Zahl (negativem Minuenden) führst du besser auf eine Addition zurück: Aufgabe: Wie viel ist (-4)-(-9)?

1. Wandle zunächst die Subtraktion in eine Addition um. 2. Vertausche nun die beiden Summanden. 3. Löse dann die Addition in eine Subtraktion auf. Die Subtraktion macht dir sicher keine Schwierigkeiten.



Zum Schluss noch mal alle Beispiele mit den Rechenwegen zum Merken:

Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

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Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

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