Addition und Subtraktion von ganzen (negativen) Zahlen
Addition und Subtraktion von ganzen (negativen) Zahlen
Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen
Negative Zahlen können nicht nur als Ergebnis einer Subtraktion auftreten, sondern auch in den Rechenausdrücken (Termen) selber.
Wie viel ist also zum Beispiel:
10+(-3)
5-(-8)
(-8)+5
(Du erinnerst dich: Negative Zahlen schreibt man in Rechenausdrücken in Klammern.)
wie du mit negativen Zahlen addierst und
wie du mit negativen Zahlen subtrahierst.
Die Addition von natürlichen Zahlen kannst du gut am Zahlenstrahl darstellen: Du zählst einfach die Striche der beiden Summanden zusammen.
Aufgabe: Wie viel ist 4+7?
1. Zähle zuerst 4 Striche vom Nullstrich aus nach rechts. 2. Zähle von dort nach rechts noch weitere 7 Striche dazu. Jetzt kannst du am Zahlenstrahl ablesen: 4+7=11.
Statt zu zählen kannst du auch die Zahlenpfeile "aneinanderhängen":
Aufgabe: Wie viel ist 4+7?
Der erste Summand ist 4. Der zweite Summand ist 7. Die Addition kannst du dir so vorstellen, als ob du den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils "anhängst". Jetzt kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: 4+7=11.
Die Subtraktion von natürlichen Zahlen funktioniert ähnlich, nur dass du die zweite Zahl (den Subtrahenden) nach links abzählen musst:
Aufgabe: Wie viel ist 7-4?
1. Zähle zuerst 7 Striche vom Nullstrich aus nach rechts. 2. Zähle von dort 4 Striche nach links zurück. Jetzt kannst du am Zahlenstrahl ablesen: 7-4=3.
Wie bei der Addition kannst du auch bei der Subtraktion von natürlichen Zahlen die Pfeile "aneinanderhängen". Dazu musst du allerdings zuerst die Richtung des Pfeils der zweiten Zahl (des Subtrahenden) umkehren:
Aufgabe: Wie viel ist 7-4?
Die erste Zahl (der Minuend) ist 7. Die zweite Zahl (der Subtrahend) ist 4. Hänge den umgekehrten Pfeil der zweiten Zahl an die Spitze des Pfeils der ersten Zahl. Jetzt kannst du wieder das Ergebnis am Zahlenstrahl ablesen: 7-4=3.
So weit die Wiederholung der Addition und Subtraktion mit natürlichen Zahlen.
Aber wie rechnest du, wenn in einer Addition der zweite Summand negativ ist? Im Prinzip genauso:
Aufgabe: Wie viel ist 6+(-4)?
Der erste Summand ist 6. Der zweite Summand ist -4. Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils. Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: 6+(-4)=2.
Wenn du eine negative Zahl addierst, gehst du also von der Spitze des ersten Summanden zurück nach links. Fällt dir was auf?
Genau das gleiche machst du, wenn du eine positive Zahl subtrahierst. Du kannst also die Addition einer negativen Zahl in die Subtraktion einer positiven Zahl "umwandeln".
Die Addition einer negativen Zahl ist gleich der Subtraktion ihrer positiven Gegenzahl.
1. Ändere die Addition in eine Subtraktion. 2. Ersetze dazu den zweiten Summanden durch die positive Gegenzahl. Den neuen Rechenausdruck kannst du einfach ausrechnen.
Wenn in der "neuen" Subtraktion die zweite Zahl (der Subtrahend) größer ist als die erste Zahl (der Minuend), rechne mit dem entsprechenden Trick weiter:
1. Ändere die Addition in eine Subtraktion. 2. Ersetze dazu den zweiten Summanden durch die positive Gegenzahl. Achtung! Die zweite Zahl (der Subtrahend) 9 ist größer als die erste Zahl (der Minuend) 6! 3. Vertausche also die beiden Zahlen, klammere sie ein und setze ein Minus-Vorzeichen vor die Klammer. 4. Rechne aus.
Eine Subtraktion mit negativer ersten Zahl (negativem Subtrahenden) ist sogar noch einfacher:
Aufgabe: Wie viel ist 4-(-3)?
Die erste Zahl (der Minuend) ist 4. Die zweite Zahl (der Subtrahend) ist -3. Hänge für die Subtraktion den umgekehrten Pfeil der zweiten Zahl an die Spitze des Pfeils der ersten Zahl Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: 4-(-3)=7.
Wenn du eine negative Zahl subtrahierst, gehst du also von der Spitze des Pfeils der ersten Zahl weiter nach rechts.
Das ist, als ob du eine positive Zahl addierst. Du kannst also die Subtraktion mit einer negativen zweiten Zahl (einem negativen Subtrahenden) in die Addition einer positiven Zahl "umwandeln".
Die Subtraktion mit einer negativen zweiten Zahl (einem negativen Subtrahenden) ist gleich der Addition mit ihrer positiven Gegenzahl.
1. Ändere die Subtraktion in eine Addition. 2. Ersetze dazu die zweite Zahl (den Subtrahenden) durch die positive Gegenzahl. Das Ergebnis kannst du jetzt ganz einfach ausrechnen.
Kommen wir zum nächsten Fall: Der erste Summand einer Addition ist negativ. Auch dann "hängst" du die Pfeile wieder aneinander an:
Aufgabe: Wie viel ist (-6)+4?
Der erste Summand ist -6. Der zweite Summand ist 4. Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils. Das Ergebnis kannst du wie immer am Zahlenstrahl ablesen: (-6)+4=-2.
Du hast gelernt: Bei einer Addition kannst du die Summanden austauschen. Das gilt netterweise auch dann, wenn sie negativ sind:
Eine Addition mit einem negativen ersten Summanden und einem positiven zweiten Summanden vereinfachst du folgendermaßen:
1. Vertausche zuerst die beiden Summanden. 2. Löse dann die Addition in eine Subtraktion auf. Die Subtraktion kannst du ganz leicht ausrechnen.
Bleibt noch zu klären, was ist, wenn beide Summanden der Addition negativ sind. Auch diesen Fall kannst du mit Aneinanderhängen von Pfeilen verdeutlichen:
Aufgabe: Wie viel ist (-4)+(-7)?
Der erste Summand ist -4. Der zweite Summand ist -7. Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils. Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: (-4)+(-7)=-11.
Du merkst, das geht wie die Addition von zwei positiven Zahlen /- nur eben nach links statt nach rechts. Das führt uns zu einem Trick:
Um zwei negative Zahlen zu addieren, gehe so vor:
1. Schreibe die positiven Gegenzahlen der beiden Summanden in Klammern als Addition. 2. Setze (gaaanz wichtig!) ein Minuszeichen vor die Addition. (Erst jetzt sind die Rechenausdrücke gleich.) Die Addition rechnest du sicher ganz leicht aus. Vergiss das Minus-Vorzeichen nicht!
Auf diesen Trick kannst du auch eine Subtraktion mit einer negativen ersten Zahl (einem negativem Minuenden) zurückführen:
Aufgabe: Wie viel ist (-7)-3?
1. Wandle die Subtraktion "rückwärts" in eine Addition um. 2. Rechne mit dem Rechentrick weiter.
Und auch eine Subtraktion mit negativer zweiten Zahl (mit negativem Subtrahenden) und negativer ersten Zahl (negativem Minuenden) führst du besser auf eine Addition zurück:
Aufgabe: Wie viel ist (-4)-(-9)?
1. Wandle zunächst die Subtraktion in eine Addition um. 2. Vertausche nun die beiden Summanden. 3. Löse dann die Addition in eine Subtraktion auf. Die Subtraktion macht dir sicher keine Schwierigkeiten.
Zum Schluss noch mal alle Beispiele mit den Rechenwegen zum Merken:
Addition mit negativem zweiten Summmanden: 6+(-4)=6-4=26+(-9)=6-9=-(9-6)=-3
Addition mit negativem ersten Summmanden: (-4)+6=6+(-4)=6-4=2
Addition mit zwei negativen Summmanden: (-4)+(-7)=-(4+7)=-11
Subtraktion mit negativer zweiten Zahl (negativem Subtrahenden): 4-(-3)=4+3=7
Subtraktion mit negativer ersten Zahl (negativem Minuenden): (-7)-3=(-7)+(-3)=-(7+3)=-10
Subtraktion mit negativer ersten Zahl (negativem Minuenden) und negativer zweiten Zahl (negativem Subtrahenden): (-4)-(-9)=(-4)+9=9+(-4)=9-4=5
Addition und Subtraktion von ganzen (negativen) Zahlen
Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen
Negative Zahlen können nicht nur als Ergebnis einer Subtraktion auftreten, sondern auch in den Rechenausdrücken (Termen) selber.
Wie viel ist also zum Beispiel:
$10+(-3)$
$5-(-8)$
$(-8)+5$
(Du erinnerst dich: Negative Zahlen schreibt man in Rechenausdrücken in Klammern.)
Wie heißen die Zahlen in einer Addition?
///
1. Faktor, 2. Faktor und Produkt
Dividend, Divisor und Quotient
1. Summand, 2. Summand und Summe
Minuend, Subtrahend und Differenz
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Wie nennt man den grün markierten Teil einer Subtraktion?
paint rect x=19 y=4 width=7 height=7 color=none fill=lightgreen;
paint quadpaper;
paint gridtext x=5 y=10 value="12-8=4";
Minuend
Subtrahend
Differenz
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Wie nennt man den grün markierten Teil einer Subtraktion?
paint rect x=29 y=4 width=7 height=7 color=none fill=lightgreen;
paint quadpaper;
paint gridtext x=5 y=10 value="12-8=4";
Minuend
Subtrahend
Differenz
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Wie nennt man den grün markierten Teil einer Subtraktion?
paint rect x=4 y=4 width=12 height=7 color=none fill=lightgreen;
paint quadpaper;
paint gridtext x=5 y=10 value="12-8=4";
Minuend
Subtrahend
Differenz
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Sind die Aussagen richtig oder falsch? Klicke die richtigen Anworten an:
text="Jede natürliche Zahl hat eine negative Gegenzahl." correct;
text="Die Null hat eine negative Gegenzahl.";
text="Die Zahlen 4, 0, $-3$, 424, $-139$ sind ganze Zahlen" correct;
text="Die Zahlen 4, 0, $-3$, 424, $-139$ sind natürliche Zahlen";
text="Der Zahlenstrahl mit den ganzen Zahlen geht links und rechts immer weiter." correct;
text="Die Skala eines Thermometers funktioniert wie ein Zahlenstrahl mit ganzen Zahlen." correct;
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus. Du kannst die Ergebnisse auch am Zahlenstrahl abzählen:
set originy=5 originx=40;
paint numberline x=-32.5 y=0 width=65 min=-8 max=8 animate;
///
$#$z11a#-#$z11b#=$
///
$#$z12a#-#$z12b#=$
///
$#$z13a#-#$z13b#=$
///
$#$z14a#-#$z14b#=$
///
$#$z15a#-#$z15b#=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus. Achte auf alle Minus-Zeichen!
///
(Die Hilfsrechnungen musst du nicht unbedingt ausfüllen.)
///
$#$z21a#-#$z21b#=-($$-$$)=$
///
$#$z22a#-#$z22b#=-($$-$$)=$
///
$#$z23a#-#$z23b#=-($$-$$)=$
///
$#$z24a#-#$z24b#=-($$-$$)=$
///
$#$z25a#-#$z25b#=-($$-$$)=$
$_page.btn.next.text = ($_page.sheetid + 3 .gt. $_page.sheetscount) ? "Fertig! Weiter zum Test!" : $_page.btn.next.text;
Die Addition von natürlichen Zahlen kannst du gut am Zahlenstrahl darstellen:
Du zählst einfach die Striche der beiden Summanden zusammen.
Aufgabe: Wie viel ist $4+7$?
set originy=8 originx=5;
paint id=p2 pointer x=-21 y=-2 dx=40 dy=0 thickness=4 color=red;
paint rect x=-30 y=-5 width=50 height=10 color=none fill=white;
paint id=p1 pointer x=-41 y=-2 dx=40 dy=0 thickness=4 color=green;
paint rect x=-50 y=-5 width=50 height=10 color=none fill=white;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=0 y=0 width=65 min=0 max=13 animate;
delay=2000;
write value="1. Zähle zuerst 4 Striche vom Nullstrich aus nach rechts.";
transform id=p1 mdx=5.5 delay=1500;
transform id=p1 mdx=5 delay=1500;
transform id=p1 mdx=5 delay=1500;
transform id=p1 mdx=5 delay=1500;
wait delay;
write clear value="2. Zähle von dort nach rechts noch weitere 7 Striche dazu.";
transform id=p2 mdx=5.5 delay=1500;
transform id=p2 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2 mdx=5 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Jetzt kannst du am Zahlenstrahl ablesen: $4+7=11$.";
write all button; repeat button;
Statt zu zählen kannst du auch die Zahlenpfeile ,,aneinanderhängen'':
Aufgabe: Wie viel ist $4+7$?
set originy=8 originx=5;
groupstart id=p1;
paint id=p11 pointer x=-20 y=-2 dx=19.5 dy=0 thickness=4 color=green;
paint id=p1b rect x=-50 y=-5 width=50 height=10 color=none fill=white;
paint id=p12 line x=0 y=-3 dx=0 dy=2 thickness=4 color=green opacity=0.001;
groupend;
groupstart id=p2;
paint id=p21 pointer x=-35 y=-5 dx=34.5 dy=0 thickness=4 color=red;
paint id=p2b rect x=-50 y=-7 width=50.2 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p22 line x=0 y=-6 dx=0 dy=2 thickness=4 color=red opacity=0.001;
groupend;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=0 y=0 width=65 min=0 max=13 animate;
delay=2000;
write value="Der erste Summand ist $4$.";
transform id=p12 opacity=1;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p1b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Der zweite Summand ist $7$.";
transform id=p22 opacity=1;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Die Addition kannst du dir so vorstellen, als ob du den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils ,,anhängst''.";
delete id=l2;
transform id=p2 mdx=20 transition=2s delay=2000;
transform id=p2 mdy=3 transition=3s delay=3000;
wait delay;
write clear value="Jetzt kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: $4+7=11$.";
write all button; repeat button;
Die Subtraktion von natürlichen Zahlen funktioniert ähnlich,
nur dass du die zweite Zahl (den Subtrahenden) nach links abzählen musst:
Aufgabe: Wie viel ist $7-4$?
set originy=8 originx=5;
// Strahl für 7
groupstart id=p1;
paint id=p11 pointer x=-35 y=-2 dx=34.5 dy=0 thickness=4 color=green;
paint id=p1b rect x=-35 y=-5 width=35 height=10 color=none fill=white;
paint id=p12 line x=0 y=-3 dx=0 dy=2 thickness=4 color=green opacity=0.001;
groupend;
// Strahl für -4
groupstart id=p2;
paint id=p21 pointer x=55 y=-5 dx=-19.5 dy=0 thickness=4 color=red;
paint id=p2b rect x=35 y=-7 width=20 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p22 line x=35 y=-6 dx=0 dy=2 thickness=4 color=red opacity=0.001;
groupend;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=0 y=0 width=65 min=0 max=13 animate;
delay=2000;
write value="1. Zähle zuerst 7 Striche vom Nullstrich aus nach rechts.";
transform id=p12 opacity=1;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p1b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="2. Zähle von dort 4 Striche nach links zurück.";
transform id=p22 opacity=1;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p2b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Jetzt kannst du am Zahlenstrahl ablesen: $7-4=3$.";
transform id=p2 mdy=3;
write all button; repeat button;
Wie bei der Addition kannst du auch bei der Subtraktion von natürlichen Zahlen die Pfeile ,,aneinanderhängen''.
Dazu musst du allerdings zuerst die Richtung des Pfeils der zweiten Zahl (des Subtrahenden) umkehren:
Aufgabe: Wie viel ist $7-4$?
set originy=8 originx=5;
groupstart id=p1;
paint id=p11 pointer x=-35 y=-2 dx=34.5 dy=0 thickness=4 color=green;
paint id=p1b rect x=-35 y=-5 width=35 height=10 color=none fill=white;
paint id=p12 line x=0 y=-3 dx=0 dy=2 thickness=4 color=green opacity=0.001;
groupend;
groupstart id=p2;
paint id=p21 pointer x=-20 y=-5 dx=19.5 dy=0 thickness=4 color=red;
paint id=p2b rect x=-20 y=-7 width=20 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p22 line x=0 y=-6 dx=0 dy=2 thickness=4 color=red opacity=0.001;
groupend;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=0 y=0 width=65 min=0 max=13 animate;
delay=2000;
write value="Die erste Zahl (der Minuend) ist 7.";
transform id=p12 opacity=1;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p1b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Die zweite Zahl (der Subtrahend) ist 4.";
transform id=p22 opacity=1;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Hänge den umgekehrten Pfeil der zweiten Zahl an die Spitze des Pfeils der ersten Zahl.";
delete id=l2;
transform id=p2 origin="5 -5";
transform id=p2 mdx=25 rotate=180 mdy=3 transition=2s delay=2000;
wait delay;
write clear value="Jetzt kannst du wieder das Ergebnis am Zahlenstrahl ablesen: $7-4=3$.";
write all button; repeat button;
So weit die Wiederholung der Addition und Subtraktion mit natürlichen Zahlen.
///Aber wie rechnest du, wenn in einer Addition der zweite Summand negativ ist?
Im Prinzip genauso:
Aufgabe: Wie viel ist $6+(-4)$?
set originy=8 originx=32;
// Strahl für 6
groupstart id=p1;
paint id=p11 pointer x=-30 y=-2 dx=29.5 dy=0 thickness=4 color=green;
paint id=p1b rect x=-30.5 y=-5 width=30.5 height=10 color=none fill=white;
paint id=p12 line x=0 y=-3 dx=0 dy=2 thickness=4 color=green opacity=0.001;
groupend;
// Strahl für -4
groupstart id=p2;
paint id=p21 pointer x=20 y=-5 dx=-19.5 dy=0 thickness=4 color=red;
paint id=p2b rect x=0 y=-7 width=25.4 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p22 line x=0 y=-6 dx=0 dy=2 thickness=4 color=red opacity=0.001;
groupend;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=-25 y=0 width=65 min=-5 max=8 animate;
delay=2000;
write value="Der erste Summand ist $6$.";
transform id=p12 opacity=1;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p1b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Der zweite Summand ist $-4$.";
transform id=p22 opacity=1;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p2b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils.";
transform id=p2 mdx=30 transition=2s delay=2000;
transform id=p2 mdy=3 transition=2s delay=2000;
wait delay;
write clear value="Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: $6+(-4)=2$.";
write all button; repeat button;
Wenn du eine negative Zahl addierst, gehst du also von der Spitze des ersten Summanden zurück nach links.
Fällt dir was auf?
///
Genau das gleiche machst du, wenn du eine positive Zahl subtrahierst.
Du kannst also die Addition einer negativen Zahl in die Subtraktion einer positiven Zahl ,,umwandeln''.
Die Addition einer negativen Zahl ist gleich der Subtraktion ihrer positiven Gegenzahl.
set originy=6 originx=30;
paint latex value="6" x=-6 y=0;
paint latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint latex value="(-4)" x=3 y=0;
delay=2000;
write value="1. Ändere die Addition in eine Subtraktion.";
delay=10;
paint latex value="=" x=-14 y=6 opacin;
paint id=z11 latex value="6" x=-6 y=0; delay=10; transform id=z11 mdy=6 mdx=0; delay=1000;
paint id=z12a latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint id=z12 latex value="-" align=center x=0 y=0 opacity=0.001; delay=10;
transform id=z12a mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z12 mdy=6 opacity=1; delay=1000;
wait delay;
write value="2. Ersetze dazu den zweiten Summanden durch die positive Gegenzahl.";
paint id=z13 latex value="(-4)" x=3 y=0;
paint id=z14 latex value="4" x=5 y=0 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z13 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z14 mdy=6 mdx=-2 opacity=1;
wait delay;
write clear value="Den neuen Rechenausdruck kannst du einfach ausrechnen.";
delay=10;
paint latex value="=" x=-14 y=12 opacin;
paint id=z21 latex value="6" x=-6 y=6;
paint id=z22 latex value="-" align=center x=0 y=6;
paint id=z23 latex value="4" x=3 y=6;
paint id=z24 latex value="2" x=0 y=6 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z21 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z22 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z23 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z24 mdy=6 mdx=-6 opacity=1;
write all button; repeat button;
Wenn in der ,,neuen'' Subtraktion die zweite Zahl (der Subtrahend) größer ist als die erste Zahl (der Minuend), rechne mit dem entsprechenden Trick weiter:
set originy=6 originx=30;
paint latex value="6" x=-6 y=0;
paint latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint latex value="(-9)" x=3 y=0;
delay=2000;
write value="1. Ändere die Addition in eine Subtraktion.";
delay=10;
paint latex value="=" x=-14 y=6 opacin;
paint id=z11 latex value="6" x=-6 y=0; delay=10; transform id=z11 mdy=6 mdx=0; delay=1000;
paint id=z12a latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint id=z12 latex value="-" align=center x=0 y=0 opacity=0.001; delay=10;
transform id=z12a mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z12 mdy=6 opacity=1; delay=1000;
wait delay;
write value="2. Ersetze dazu den zweiten Summanden durch die positive Gegenzahl.";
paint id=z13 latex value="(-9)" x=3 y=0;
paint id=z14 latex value="9" x=5 y=0 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z13 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z14 mdy=6 mdx=-2 opacity=1;
wait delay;
write clear value="Achtung! Die zweite Zahl (der Subtrahend) 9 ist größer als die erste Zahl (der Minuend) 6!" delay=1000;
write value="3. Vertausche also die beiden Zahlen, klammere sie ein und setze ein Minus-Vorzeichen vor die Klammer.";
delay=10;
paint latex value="=" x=-14 y=12 opacin;
paint id=z21 latex value="-" x=-6.5 y=12 opacity=0.001;
paint id=z22 latex value="(" x=-3 y=6 opacity=0.001;
paint id=z23 latex value="6" x=-6 y=6;
paint id=z24 latex value="-" align=center x=0 y=6;
paint id=z25 latex value="9" x=3 y=6;
paint id=z26 latex value=")" x=11 y=6 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z21 opacity=1;
transform id=z22 mdy=6 opacity=1;
transform id=z23 mdy=6 mdx=14;
transform id=z24 mdy=6 mdx=5;
transform id=z25 mdy=6 mdx=-4;
transform id=z26 mdy=6 opacity=1;
wait delay;
write clear value="4. Rechne aus.";
paint latex value="=" x=-14 y=18 opacin;
paint id=z31 latex value="-" x=-6.5 y=12;
paint id=z32 latex value="(" x=-3 y=12;
paint id=z33 latex value="6" x=8 y=12;
paint id=z34 latex value="-" align=center x=5 y=12;
paint id=z35 latex value="9" x=-1 y=12;
paint id=z36 latex value=")" x=11 y=12;
paint id=z37 latex value="3" x=4 y=12 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z31 mdy=6;
transform id=z32 mdy=6;
transform id=z33 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z34 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z35 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z36 mdy=6 mdx=-9;
transform id=z37 mdy=6 mdx=-5 opacity=1;
delay=2000;
paint latex value="=" x=-14 y=24 opacin;
paint id=z41 latex value="-" x=-6.5 y=18;
paint id=z42 latex value="(" x=-3 y=18;
paint id=z43 latex value="3" x=-1 y=18;
paint id=z44 latex value=")" x=2 y=18;
delay=10;
transform id=z41 mdy=6;
transform id=z42 mdy=6 mdx=-1 opacity=0.001;
transform id=z43 mdy=6 mdx=-2;
transform id=z44 mdy=6 mdx=-3 opacity=0.001;
write all button; repeat button;
Eine Subtraktion mit negativer ersten Zahl (negativem Subtrahenden) ist sogar noch einfacher:
Aufgabe: Wie viel ist $4-(-3)$?
set originy=8 originx=32;
// Strahl für 4
groupstart id=p1;
paint id=p11 pointer x=-20 y=-2 dx=19.5 dy=0 thickness=4 color=green;
paint id=p1b rect x=-20 y=-5 width=20 height=10 color=none fill=white;
paint id=p12 line x=0 y=-3 dx=0 dy=2 thickness=4 color=green opacity=0.001;
groupend;
// Strahl für -3
groupstart id=p2;
paint id=p21 pointer x=15 y=-5 dx=-14.5 dy=0 thickness=4 color=red;
paint id=p2b rect x=0 y=-7 width=15 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p22 line x=0 y=-6 dx=0 dy=2 thickness=4 color=red opacity=0.001;
groupend;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=-25 y=0 width=65 min=-5 max=8 animate;
delay=2000;
write value="Die erste Zahl (der Minuend) ist 4.";
transform id=p12 opacity=1;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=5 delay=1500;
transform id=p1b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Die zweite Zahl (der Subtrahend) ist $-3$.";
transform id=p22 opacity=1;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p2b opacity=0.001;
transform id=p2 origin="0 -5" delay=1500;
wait delay;
write clear value="Hänge für die Subtraktion den umgekehrten Pfeil der zweiten Zahl an die Spitze des Pfeils der ersten Zahl";
transform id=p2 mdx=20 rotate=180 mdy=3 transition=2s;
wait delay;
write clear value="Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: $4-(-3)=7$.";
write all button; repeat button;
Wenn du eine negative Zahl subtrahierst, gehst du also von der Spitze des Pfeils der ersten Zahl weiter nach rechts.
///
Das ist, als ob du eine positive Zahl addierst.
Du kannst also die Subtraktion mit einer negativen zweiten Zahl (einem negativen Subtrahenden) in die Addition einer positiven Zahl ,,umwandeln''.
Die Subtraktion mit einer negativen zweiten Zahl (einem negativen Subtrahenden) ist gleich der Addition mit ihrer positiven Gegenzahl.
set originy=6 originx=30;
paint latex value="4" x=-6 y=0;
paint latex value="-" align=center x=0 y=0;
paint latex value="(-3)" x=3 y=0;
delay=2000;
write value="1. Ändere die Subtraktion in eine Addition.";
delay=10;
paint latex value="=" x=-14 y=6 opacin;
paint id=z11 latex value="4" x=-6 y=0; delay=10; transform id=z11 mdy=6 mdx=0; delay=1000;
paint id=z12a latex value="-" align=center x=0 y=0;
paint id=z12 latex value="+" align=center x=0 y=0 opacity=0.001; delay=10;
transform id=z12a mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z12 mdy=6 opacity=1;
wait delay;
write value="2. Ersetze dazu die zweite Zahl (den Subtrahenden) durch die positive Gegenzahl.";
paint id=z13 latex value="(-3)" x=3 y=0;
paint id=z14 latex value="3" x=5 y=0 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z13 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z14 mdy=6 mdx=-2 opacity=1;
wait delay;
write clear value="Das Ergebnis kannst du jetzt ganz einfach ausrechnen.";
delay=10;
paint latex value="=" x=-14 y=12 opacin;
paint id=z21 latex value="4" x=-6 y=6;
paint id=z22 latex value="+" align=center x=0 y=6;
paint id=z23 latex value="3" x=3 y=6;
paint id=z24 latex value="7" x=0 y=6 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z21 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z22 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z23 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z24 mdy=6 mdx=-6 opacity=1;
write all button; repeat button;
Kommen wir zum nächsten Fall: Der erste Summand einer Addition ist negativ. Auch dann ,,hängst'' du die Pfeile wieder aneinander an:
Aufgabe: Wie viel ist $(-6)+4$?
set originy=8 originx=42.5;
// Strahl für -6
groupstart id=p1;
paint id=p11 pointer x=30 y=-2 dx=-29.5 dy=0 thickness=4 color=green;
paint id=p1b rect x=0 y=-5 width=30 height=10 color=none fill=white;
paint id=p12 line x=0 y=-3 dx=0 dy=2 thickness=4 color=green opacity=0.001;
groupend;
// Strahl für 4
groupstart id=p2;
paint id=p21 pointer x=-20 y=-5 dx=19.5 dy=0 thickness=4 color=red;
paint id=p2b rect x=-20 y=-7 width=20 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p22 line x=0 y=-6 dx=0 dy=2 thickness=4 color=red opacity=0.001;
groupend;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=-35 y=0 width=65 min=-7 max=6 animate;
delay=2000;
write value="Der erste Summand ist $-6$.";
transform id=p12 opacity=1;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p1b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Der zweite Summand ist $4$.";
transform id=p22 opacity=1;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=5 delay=1500;
transform id=p2b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils.";
transform id=p2 mdx=-30 transition=2s delay=2000;
transform id=p2 mdy=3 transition=2s delay=2000;
wait delay;
write clear value="Das Ergebnis kannst du wie immer am Zahlenstrahl ablesen: $(-6)+4=-2$.";
write all button; repeat button;
Du hast gelernt: Bei einer Addition kannst du die Summanden austauschen.
Das gilt netterweise auch dann, wenn sie negativ sind:
Eine Addition mit einem negativen ersten Summanden und einem positiven zweiten Summanden vereinfachst du folgendermaßen:
set originy=6 originx=30;
paint latex value="(-4)" x=-13 y=0;
paint latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint latex value="6" x=3 y=0;
delay=2000;
write value="1. Vertausche zuerst die beiden Summanden.";
paint id=z11 latex value="(-4)" x=-13 y=0;
paint id=z12 latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint id=z13 latex value="6" x=3 y=0;
paint latex value="=" x=-20 y=6 opacin;
delay=10;
transform id=z12 mdy=6 mdx=0 transition=1s; delay=1000;
transform id=z13 mdy=6 mdx=-9 transition=1s; delay=1000;
transform id=z11 mdy=6 mdx=16 transition=1s delay=1000;
wait delay;
write clear value="2. Löse dann die Addition in eine Subtraktion auf.";
paint id=z23 latex value="6" x=-6 y=6;
paint id=z21 latex value="4" x=7 y=6 opacity=0.001;
paint id=z21a latex value="(-4)" x=3 y=6;
paint id=z22 latex value="-" align=center x=0 y=6 opacity=0.001;
paint id=z22a latex value="+" align=center x=0 y=6;
paint latex value="=" x=-20 y=12 opacin;
delay=10;
transform id=z23 mdy=6 transition=1s; delay=1000;
transform id=z22 mdy=6 opacity=1; transform id=z22a mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z21 mdy=6 mdx=-4 opacity=1; transform id=z21a mdy=6 opacity=0.001; delay=1000;
wait delay;
write clear value="Die Subtraktion kannst du ganz leicht ausrechnen.";
paint latex value="=" x=-20 y=18 opacin;
paint id=z23 latex value="2" x=-6 y=18 opacin;
write all button; repeat button;
Bleibt noch zu klären, was ist, wenn beide Summanden der Addition negativ sind.
Auch diesen Fall kannst du mit Aneinanderhängen von Pfeilen verdeutlichen:
Aufgabe: Wie viel ist $(-4)+(-7)$?
set originy=8 originx=75;
// Strahl für 6
groupstart id=p1;
paint id=p11 pointer x=20 y=-2 dx=-19.5 dy=0 thickness=4 color=green;
paint id=p1b rect x=0 y=-5 width=20 height=10 color=none fill=white;
paint id=p12 line x=0 y=-3 dx=0 dy=2 thickness=4 color=green opacity=0.001;
groupend;
// Strahl für -4
groupstart id=p2;
paint id=p21 pointer x=35 y=-5 dx=-34.5 dy=0 thickness=4 color=red;
paint id=p2b rect x=0 y=-7 width=25.4 height=3.5 color=none fill=white;
paint id=p22 line x=0 y=-6 dx=0 dy=2 thickness=4 color=red opacity=0.001;
groupend;
// Zahlenstrahl
paint numberline x=-65 y=0 width=65 min=-13 max=0 animate;
write value="Der erste Summand ist $-4$.";
transform id=p12 opacity=1;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p11 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p1b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Der zweite Summand ist $-7$.";
transform id=p22 opacity=1;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p21 mdx=-5 delay=1500;
transform id=p2b opacity=0.001 delay=1500;
wait delay;
write clear value="Hänge für die Addition den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils.";
transform id=p2 mdx=-20 transition=2s delay=2000;
transform id=p2 mdy=3 transition=2s;
wait delay;
write clear value="Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: $(-4)+(-7)=-11$.";
write all button; repeat button;
Du merkst, das geht wie die Addition von zwei positiven Zahlen /- nur eben nach links statt nach rechts.
Das führt uns zu einem Trick:
Um zwei negative Zahlen zu addieren, gehe so vor:
set originy=6 originx=30;
paint latex value="(-4)" x=-13 y=0;
paint latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint latex value="(-7)" x=3 y=0;
delay=2000;
write value="1. Schreibe die positiven Gegenzahlen der beiden Summanden in Klammern als Addition.";
paint id=z11 latex value="4" x=-7.25 y=0 opacity=0.001;
paint id=z12 latex value="+" align=center x=0 y=0;
paint id=z13 latex value="7" x=7.95 y=0 opacity=0.001;
delay=2000;
transform id=z12 mdy=6 mdx=0 transition=1s;
transform id=z13 mdy=6 mdx=-5.5 opacity=1 transition=1s;
transform id=z11 mdy=6 mdx=2 opacity=1 transition=1s;
paint id=z23 latex value="(" x=-7.5 y=6 opacity=0.001;
paint id=z21 latex value=")" x=5.5 y=6 opacity=0.001;
delay=500;
transform id=z23 opacity=1;
transform id=z21 opacity=1;
wait delay;
write clear value="2. Setze (gaaanz wichtig!) ein Minuszeichen vor die Addition.";
paint id=z21a latex value="-" x=-11.5 y=6;
delay=1500;
paint latex value="=" x=-20 y=6 opacin;
write value="(Erst jetzt sind die Rechenausdrücke gleich.)";
wait delay;
write clear value="Die Addition rechnest du sicher ganz leicht aus. Vergiss das Minus-Vorzeichen nicht!";
paint latex value="=" x=-20 y=12 opacin;
paint id=z23 latex value="-11" x=-6 y=12 opacin;
write all button; repeat button;
Auf diesen Trick kannst du auch eine Subtraktion mit einer negativen ersten Zahl (einem negativem Minuenden) zurückführen:
Aufgabe: Wie viel ist $(-7)-3$?
set originy=6 originx=30;
paint latex value="(-7)" x=-13 y=0;
paint latex value="-" align=center x=0 y=0;
paint latex value="3" x=3 y=0;
delay=2000;
write value="1. Wandle die Subtraktion ,,rückwärts'' in eine Addition um.";
paint id=z11 latex value="(-7)" x=-13 y=0;
paint id=z12 latex value="-" align=center x=0 y=0;
paint id=z13 latex value="+" align=center x=0 y=0 opacity=0.001;
paint id=z14 latex value="3" x=3 y=0;
paint id=z15 latex value="(-3)" x=0 y=0 opacity=0.001;
delay=10;
paint latex value="=" x=-20 y=6 opacin;
transform id=z11 mdy=6 mdx=0;
transform id=z12 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z13 mdy=6 opacity=1;
transform id=z14 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z15 mdy=6 mdx=3 opacity=1;
wait delay;
write value="2. Rechne mit dem Rechentrick weiter.";
paint id=z21 latex value="(-7)" x=-13 y=6;
paint id=z22 latex value="+" align=center x=0 y=6;
paint id=z23 latex value="(-3)" x=3 y=6;
paint id=z24 latex value="-" x=-13 y=6 opacity=0.001;
paint id=z25 latex value="(" x=-13 y=6 opacity=0.001;
paint id=z26 latex value="7+3" x=-4 y=6 opacity=0.001;
paint id=z27 latex value=")" x=11 y=6 opacity=0.001;
delay=10;
paint latex value="=" x=-20 y=12 opacin;
transform id=z21 mdy=6 mdx=3 opacity=0.001;
transform id=z22 mdy=6 mdx=3 opacity=0.001;
transform id=z23 mdy=6 mdx=3 opacity=0.001;
transform id=z24 mdy=6 opacity=1;
transform id=z25 mdy=6 mdx=3.5 opacity=1;
transform id=z26 mdy=6 mdx=-3 opacity=1;
transform id=z27 mdy=6 mdx=-8 opacity=1;
delay=2000;
paint id=z31 latex value="-" x=-13 y=12;
paint id=z32 latex value="(" x=-9.5 y=12;
paint id=z33 latex value="7+3" x=-7 y=12;
paint id=z34 latex value=")" x=3 y=12;
paint id=z35 latex value="10" x=-5 y=12 opacity=0.001;
delay=10;
paint latex value="=" x=-20 y=18 opacin;
transform id=z31 mdy=6;
transform id=z32 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z33 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z34 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z35 mdy=6 mdx=-4 opacity=1;
write all button; repeat button;
Und auch eine Subtraktion mit negativer zweiten Zahl (mit negativem Subtrahenden) und negativer ersten Zahl (negativem Minuenden) führst du besser auf eine Addition zurück:
Aufgabe: Wie viel ist $(-4)-(-9)$?
set originy=6 originx=30;
paint latex value="(-4)" x=-13 y=0;
paint latex value="-" align=center x=0 y=0;
paint latex value="(-9)" x=3 y=0;
delay=2000;
write value="1. Wandle zunächst die Subtraktion in eine Addition um.";
paint latex value="=" x=-20 y=6 opacin;
paint id=z01 latex value="(-4)" x=-13 y=0;
paint id=z02 latex value="-" align=center x=0 y=0;
paint id=z03 latex value="(-9)" x=3 y=0;
paint id=z04 latex value="+" align=center x=0 y=0 opacity=0.001;
paint id=z05 latex value="9" x=5 y=0 opacity=0.001;
delay=10;
transform id=z01 mdy=6;
transform id=z02 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z03 mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z04 mdy=6 opacity=1;
transform id=z05 mdy=6 mdx=-2 opacity=1;
wait delay;
write value="2. Vertausche nun die beiden Summanden.";
paint latex value="=" x=-20 y=12 opacin;
paint id=z11 latex value="(-4)" x=-13 y=6;
paint id=z12 latex value="+" align=center x=0 y=6;
paint id=z13 latex value="9" x=3 y=6;
delay=10;
transform id=z12 mdy=6 mdx=0 transition=1s; delay=1000;
transform id=z13 mdy=6 mdx=-9 transition=1s; delay=1000;
transform id=z11 mdy=6 mdx=16 transition=1s; delay=1000;
wait delay;
write clear value="3. Löse dann die Addition in eine Subtraktion auf.";
paint id=z23 latex value="9" x=-6 y=12;
paint id=z21 latex value="4" x=7 y=12 opacity=0.001;
paint id=z21a latex value="(-4)" x=3 y=12;
paint id=z22 latex value="-" align=center x=0 y=12 opacity=0.001;
paint id=z22a latex value="+" align=center x=0 y=12;
paint latex value="=" x=-20 y=18 opacin;
delay=10;
transform id=z23 mdy=6 transition=1s; delay=1000;
transform id=z22 mdy=6 opacity=1; transform id=z22a mdy=6 opacity=0.001;
transform id=z21 mdy=6 mdx=-4 opacity=1; transform id=z21a mdy=6 opacity=0.001; delay=1000;
wait delay;
write clear value="Die Subtraktion macht dir sicher keine Schwierigkeiten.";
paint latex value="=" x=-20 y=24 opacin;
paint id=z23 latex value="5" x=-6 y=24 opacin;
write all button; repeat button;
Zum Schluss noch mal alle Beispiele mit den Rechenwegen zum Merken:
Addition mit negativem zweiten Summmanden: $6+(-4)=6-4=2$$6+(-9)=6-9=-(9-6)=-3$
Addition mit negativem ersten Summmanden: $(-4)+6=6+(-4)=6-4=2$
Addition mit zwei negativen Summmanden: $(-4)+(-7)=-(4+7)=-11$
Subtraktion mit negativer zweiten Zahl (negativem Subtrahenden): $4-(-3)=4+3=7$
Subtraktion mit negativer ersten Zahl (negativem Minuenden): $(-7)-3=(-7)+(-3)=-(7+3)=-10$
Subtraktion mit negativer ersten Zahl (negativem Minuenden) und negativer zweiten Zahl (negativem Subtrahenden): $(-4)-(-9)=(-4)+9=9+(-4)=9-4=5$
Rechne aus. Achte genau auf alle Minus- und Plus-Zeichen!
///
(Die Hilfsrechnungen musst du nicht unbedingt ausfüllen.)
///
$#$z211a#+(#$z211b#)=$ $-$ $=$
///
$#$z212a#+(#$z212b#)=$ $-$ $=$
///
$(#$z213a#)+#$z213b#=$ $-$ $=$
///
$(#$z214a#)+#$z214b#=$ $-$ $=$
///
$(#$z215a#)+(#$z215b#)=-($$+$$)=$
///
$(#$z216a#)+(#$z216b#)=-($$+$$)=$
#$_page.sheetnr == 1 ? $_page.introtext : ""#
Aufgabe #$_page.sheetnr#
Rechne aus. Achte genau auf alle Minus- und Plus-Zeichen!
///
(Die Hilfsrechnungen musst du nicht unbedingt ausfüllen.)
///
$#$z221a#-(#$z221b#)=$$+$$=$
///
$#$z222a#-(#$z222b#)=$$+$$=$
///
$(#$z223a#) - #$z223b#=$$+$$=$
///
$(#$z224a#) - #$z224b#=$$+$$=$
///
$(#$z225a#) - (#$z225b#)=$$+$$=$
///
$(#$z226a#) - (#$z226b#)=$$+$$=$
Mit „Mathe? KLARO!“ können Schülerinnen und Schüler
der Klassen 5 bis 10 mathematische Kompetenzen und Fertigkeiten erlernen, wiederholen und üben.
Die Lernangebote von „Mathe? KLARO!“ orientieren sich
an den Bildungsplänen der Bundesländer und sind lehrwerksübergreifend nutzbar.
„Mathe? KLARO!“ ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung
ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personenbezogenen Daten gespeichert oder an Dritte
weitergegeben (siehe Datenschutzhinweise).
Darum und um eine einfache Bedienbarkeit zu ermöglichen,
verzichtet „Mathe? KLARO!“ auf Verwaltungsfunktionen wie das
Speichern der Lernaktivitäten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassenverwaltung.
Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler
sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern
die Lerninhalte und Aufgaben bearbeiten können.
Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO!“ den Prinzipien des
nachhaltigen Webdesigns: Um für den Serverbetrieb und die Datenübermittlung möglichst wenig Energie
zu verbrauchen, sind die Anzahl der Serveranfragen und der Umfang der übertragenen Daten sehr klein gehalten.
Insbesondere wird auf aufwändige Videos bewusst verzichtet.
Der Server wird zu 100% mit erneuerbaren Energien betrieben.
„Mathe? KLARO!“ ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an
Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funktionalität
umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.
Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathematischen
Aufgabenstellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehlerhafter Vorkenntnisse.
Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelligente Diagnose des individuellen Kompetenzstands.
Unter Nutzung von Methoden der künstlichen Intelligenz
wird „Mathe? KLARO!“ dann ganz gezielt solche Lernthemen
und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkannten Lerndefizite umfassend beseitigt und
die individuellen Lernziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.
Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!
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Martin Hoos
Hohenzollernring 31
D-22763 Hamburg
Tel. +49 40 22854429
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Verantwortlicher gemäß § 55 Abs. 2 RStV:
Martin Hoos
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Datenschutzerklärung
1. Allgemeines zur Datenverarbeitung
1.1 Umfang der Verarbeitung personenbezogener Daten
Wir verarbeiten personenbezogene Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen grundsätzlich nur, soweit dies zur Bereitstellung einer funktionsfähigen Website sowie unserer Inhalte und Leistungen erforderlich ist.
Die Verarbeitung personenbezogener Daten unserer Nutzer und Nutzerinnen erfolgt regelmäßig nur nach Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin.
Eine Ausnahme gilt in solchen Fällen, in denen eine vorherige Einholung einer Einwilligung aus tatsächlichen Gründen nicht möglich ist und die Verarbeitung der Daten durch gesetzliche Vorschriften gestattet ist.
1.2 Rechtsgrundlage für die Verarbeitung personenbezogener Daten
Soweit wir für Verarbeitungsvorgänge personenbezogener Daten eine Einwilligung der betroffenen Person einholen, dient Art. 6 Abs. 1 lit. a EU-Datenschutzgrundverordnung (DSGVO) als Rechtsgrundlage.
Soweit eine Verarbeitung personenbezogener Daten zur Erfüllung einer rechtlichen Verpflichtung erforderlich ist, der unser Unternehmen unterliegt, dient Art. 6 Abs. 1 lit. c DSGVO als Rechtsgrundlage.
Ist die Verarbeitung zur Wahrung eines berechtigten Interesses unseres Unternehmens oder eines Dritten erforderlich und überwiegen die Interessen, Grundrechte und Grundfreiheiten des Betroffenen das erstgenannte Interesse nicht, so dient Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO als Rechtsgrundlage für die Verarbeitung.
1.3 Datenlöschung und Speicherdauer
Die personenbezogenen Daten der betroffenen Person werden gelöscht oder gesperrt, sobald der Zweck der Speicherung entfällt.
Eine Speicherung kann darüberhinaus erfolgen, wenn dies durch den europäischen oder nationalen Gesetzgeber in unionsrechtlichen Verordnungen, Gesetzen oder sonstigen Vorschriften, denen der Verantwortliche unterliegt, vorgesehen wurde.
Eine Sperrung oder Löschung der Daten erfolgt auch dann, wenn eine durch die genannten Normen vorgeschriebene Speicherfrist abläuft, es sei denn, dass eine Erforderlichkeit zur weiteren Speicherung der Daten für einen Vertragsabschluss oder eine Vertragserfüllung besteht.
2. Bereitstellung der Website und Erstellung von Logfiles
2.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Bei jedem Aufruf unserer Internetseite erfasst unser System automatisiert Daten und Informationen vom Computersystem des aufrufenden Rechners und speichert sie in Logfiles ab.
Folgende Daten werden hierbei erhoben:
IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist
Datum und Uhrzeit des Zugriffs
Informationen über den Browsertyp und die verwendete Version
Betriebssystem des aufrufenden Rechners
Website, von der aus die Internetseite aufgerufen wurde
Rechtsgrundlage für die vorübergehende Speicherung der Logfiles ist Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.
2.2 Zweck der Datenverarbeitung
Die vorübergehende Speicherung der IP-Adresse durch das System ist notwendig, um eine Auslieferung der Website an den Rechner des Nutzers/der Nutzerin zu ermöglichen.
Hierfür muss die IP-Adresse, mit der der Aufruf erfolgt ist, für die Dauer der Sitzung gespeichert bleiben.
Die Speicherung in Logfiles erfolgt, um die Funktionsfähigkeit der Website sicherzustellen.
Zudem dienen uns die Daten zur Sicherstellung der Sicherheit unserer informationstechnischen Systeme.
In diesen Zwecken liegt auch unser berechtigtes Interesse an der Datenverarbeitung nach Art. 6 Abs. 1 lit. f DSGVO.
Eine Auswertung der Daten zu Marketingzwecken findet in diesem Zusammenhang nicht statt.
2.3 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
Im Falle der Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website ist dies der Fall, wenn die jeweilige Sitzung beendet ist.
Im Falle der Speicherung der Daten in Logfiles ist dies nach spätestens sieben Tagen der Fall.
Eine darüberhinausgehende Speicherung ist möglich. In diesem Fall werden die IP-Adressen der Nutzer verfremdet, sodass eine Zuordnung des aufrufenden Clients nicht mehr möglich ist.
2.4 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Die Erfassung der Daten zur Bereitstellung der Website und die Speicherung der Daten in Logfiles ist für den Betrieb der Internetseite zwingend erforderlich.
Es besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
3. Verwendung von Cookies
Unsere Webseite verwendet keine Cookies.
4. Kontaktformular
4.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website ist ein Kontaktformular vorhanden, welches für die elektronische Kontaktaufnahme genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
Betreff (optional)
E-Mail-Adresse des Absenders/der Absenderin (optional)
Text der Nachricht
Im Zeitpunkt der Absendung der Nachricht werden zudem folgende Daten gespeichert:
Datum und Uhrzeit des Absendens
Für die Verarbeitung der Daten wird im Rahmen des Absendevorgangs die Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin eingeholt und auf diese Datenschutzerklärung verwiesen.
Es erfolgt in diesem Zusammenhang keine Weitergabe der Daten an Dritte. Die Daten werden ausschließlich für die Verarbeitung der Konversation verwendet.
4.2 Rechtsgrundlage für die Datenverarbeitung
Rechtsgrundlage für die Verarbeitung der Daten ist bei Vorliegen einer Einwilligung des Nutzers/der Nutzerin Art. 6 Abs. 1 lit. a DSGVO.
4.3 Zweck der Datenverarbeitung
Die Verarbeitung der personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske dient uns allein zur Bearbeitung der Kontaktaufnahme.
4.4 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
Für die personenbezogenen Daten aus der Eingabemaske des Kontaktformulars ist dies dann der Fall, wenn die jeweilige Konversation mit dem Nutzer/der Nutzerin beendet ist.
Beendet ist die Konversation dann, wenn sich aus den Umständen entnehmen lässt, dass der betroffene Sachverhalt abschließend geklärt ist.
4.5 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Der Nutzer/die Nutzerin hat jederzeit die Möglichkeit, seine Einwilligung zur Verarbeitung der personenbezogenen Daten zu widerrufen.
Alle personenbezogenen Daten, die im Zuge der Kontaktaufnahme gespeichert wurden, werden in diesem Fall gelöscht. Die Konversation kann dann nicht fortgeführt werden.
Der Wideruf der Einwilligung und der Widerspruch der Speicherung kann über das Kontaktformular übermittelt werden.
5. Feedbackformulare
5.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Feedbackformulare vorhanden, welches für die elektronische Übermittlung von Anmerkungen zu einzelnen Inhalten genutzt werden kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so wird der Inhalt der Anmerkung sowie der Zeitpunkt des Absendens an uns übermittelt und gespeichert.
Es werden keinerlei personenbezogenen Daten erhoben oder gespeichert.
5.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden gelöscht, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
5.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten erfasst und gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.
6. Formular zum Mailen von Lerncodes
6.1 Beschreibung und Umfang der Datenverarbeitung
Auf unserer Website sind Formulare vorhanden, über die ein Nutzer/eine Nutzerin einen Lerncode oder eine Lerncode-Internetadresse an eine E-Mail-Adresse senden lassen kann.
Nimmt ein Nutzer/eine Nutzerin diese Möglichkeit wahr, so werden die in der Eingabemaske eingegeben Daten an uns übermittelt und gespeichert.
Diese Daten sind:
E-Mail-Adresse
Lerncode
6.2 Dauer der Speicherung
Die Daten werden unmittelbar nach dem Versenden des Lerncodes und der Lerncode-Internetadresse gelöscht, spätestens aber dann, sobald sie für die Erreichung des Zweckes ihrer Erhebung nicht mehr erforderlich sind.
6.3 Widerspruchs- und Beseitigungsmöglichkeit
Da keine personenbezogenen Daten gespeichert werden, besteht folglich seitens des Nutzers/der Nutzerin keine Widerspruchsmöglichkeit.