Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Multiplikation und Division von ganzen Zahlen

Hier lernst du, wie du ganze Zahlen multipliziert und dividierst.

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Multiplikation und Division von ganzen Zahlen


Du hast gelernt, dass Addieren und Subtrahieren auch mit ganzen (also auch mit negativen) Zahlen geht.

Aber wie ist das beim Multiplizieren und Dividieren? Wie viel ist zum Beispiel usw.?



Die Multiplikation von natürlichen Zahlen hast du als kürzere Schreibweise für eine Addition mehrerer gleicher Summanden kennengelernt:

Das kannst du dir so vorstellen, dass die erste Zahl (der erste Faktor) angibt, wie oft die zweite Zahl (der zweite Faktor) miteinander addiert werden soll:
Beispiel: Wie viel ist 3⋅4?

1. Zähle vom Nullstrich 4 Striche ab. 2. Mache das insgesamt 3-mal und hänge die Pfeile aneinander an. Das Ergebnis kannst du jetzt am Zahlenstrahl ablesen: 3⋅4=12.



Ganz ähnlich kannst du dir eine Multiplikation vorstellen, bei der die zweite Zahl (der zweite Faktor) negativ ist. Hier musst du eben die "negativen Pfeile" aneinanderhängen: Aufgabe: Wie viel ist 3⋅(-4)?

1. Zähle für die -4 vom Nullstrich 4 Striche nach links ab. 2. Mache das wieder insgesamt 3-mal und hänge die Pfeile aneinander an. Denn 3⋅(-4)=(-4)+(-4)+(-4). Das Ergebnis kannst du wieder am Zahlenstrahl ablesen: 3⋅(-4)=-12.



Fällt dir was auf? 3⋅(-4) ist dasselbe wie -(3⋅4):
3⋅(-4)=-12
-(3⋅4)=-12


Um eine positive Zahl mit einer negativen Zahl zu multiplizieren, kannst du also so vorgehen:

1. Multipliziere den ersten Faktor mit der (positiven) Gegenzahl des zweiten Faktors. 2. Setze (gaaanz wichtig!) ein Minuszeichen vor die Klammern. (Erst jetzt sind die Rechenausdrücke gleich.) Die Multiplikation rechnest du sicher ganz leicht aus. Vergiss das Minus-Vorzeichen nicht!



Und was ist, wenn der erste Faktor negativ ist? Wie viel ist zum Beispiel (-4)⋅3?
Sich das am Zahlenstrahl vorzustellen ist schon schwieriger. Denn was heißt es, etwas "-4-mal" zu addieren?

Glücklicherweise wissen wir, dass man in einer Multiplikation die Faktoren miteinander austauschen kann.
Aus (-4)⋅3 wird so 3⋅(-4). Und das ist, wie wir eben gesehen haben, gleich -12.

Auch mit einem negativen ersten Faktor kannst du also so vorgehen:

1. Multipliziere die (positive) Gegenzahl des ersten Faktors mit dem zweiten Faktor. 2. Setze das wichtige Minuszeichen vor die Klammern. Und rechne die Multiplikation aus. Minuszeichen nicht vergessen!



Wenn du etwas geübter bist, kannst du den Zwischenschritt einfach überspringen und gleich das fertige Ergebnis ausrechnen. "Minus mal Plus ergibt Minus." Das soll heißen:
Wenn du eine negative Zahl ("Minus") und eine positive Zahl ("Plus") miteinander multiplizierst, ergibt das eine negative Zahl ("ergibt Minus"). Egal, in welcher Reihenfolge die negative und die positive Zahl stehen.



Das letzte Beispiel (-1)⋅100=-100 ist übrigens besonders interessant. Denn es bedeutet: Die Gegenzahl einer Zahl erhältst du durch Multiplikation mit \ -1.

Und was ist, wenn beide Faktoren negativ sind? Wie viel ist (-3)⋅(-4)?

1. Multipliziere den ersten Faktor mit der positiven Gegenzahl des zweiten Faktors und setze die Multiplikation in (eckige) Klammern. 2. Setze das wichtige Minuszeichen vor die Klammern. 3. Das innere der eckigen Klammen kannst du jetzt ja leicht ausrechnen. Das Ergebnis ist also die Gegenzahl von -12. Und die ist 12.



Das Verfahren kannst du dir mit dem folgenden Merkspruch natürlich mächtig abkürzen: "Minus mal Minus ergibt Plus." Das soll heißen:
Wenn du zwei negative Zahlen miteinander multiplizierst ("Minus mal Minus"), ergibt das eine positive Zahl ("ergibt Plus").

Und wenn du eine Multiplikation mit ganz vielen Faktoren hast? Zum Beispiel 3⋅(-4)⋅(-2)⋅1⋅(-2)? Nichts einfacher als das: Bei einer Multiplikation mit vielen Faktoren zähle die Anzahl der negativen Faktoren.

Aufgabe: Wie viel ist 3⋅(-4)⋅(-2)⋅1⋅(-2).
Lösung:
In dem Rechenausdruck (Term) gibt es die drei negativen Faktoren -4, -2 und -2, eine ungerade Anzahl. Also ist das Ergebnis negativ:
3⋅(-4)⋅(-2)⋅1⋅(-2)| Anzahl negativer Faktoren ungerade
=-(3⋅4⋅2⋅1⋅2)
=-48


Kommen wir zur Division. Glücklicherweise ist das nun ganz einfach.

Die Division ist die Umkehroperation zur Multiplikation. Um zum Beispiel 12:(-3) auszurechnen, müssen wir feststellen, welche Zahl multipliziert mit -3 denn 12 ergibt:
12:(-3)=?
können wir also auf die Rechnung
?⋅(-3)=12
zurückführen.

Und das können wir jetzt ganz einfach herausfinden:
Gleiches für die anderen Varianten:

Daher gilt für die Division genau wie für die Multiplikation: "Division von Minus und Plus ergibt Minus."
"Division von Minus und Minus ergibt Plus." Egal, ob die negativen und positiven Zahlen dabei die erste Zahl (Divident) oder die zweite Zahl (Divisor) der Division sind.

Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

Darum und um eine einfache Bedien­barkeit zu ermög­lichen, verzich­tet „Mathe? KLARO! auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lern­aktivi­täten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassen­verwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lern­inhalte und Auf­gaben bear­beiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO! den Prinzi­pien des nachhal­tigen Web­designs: Um für den Server­betrieb und die Daten­über­mittlung möglichst wenig Energie zu ver­brau­chen, sind die Anzahl der Server­anfragen und der Umfang der übert­ra­genen Daten sehr klein gehalten. Insbe­sondere wird auf auf­wändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuer­baren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO! ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funk­tiona­lität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

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