Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Geraden und Halbgeraden

Hier lernst du: was eine Gerade ist, was eine Halbgerade ist und welche Eigenschaften Geraden und Halbgeraden haben.

Geraden und Halbgeraden


Sieh dir die kleine Animation an:



Ups, was ist passiert? Wurde da die Strecke zu lang gezeichnet? Über die Endpunkte hinaus?
Darf man das?

Ja, das darf man. Wir haben nämlich keine Strecke gezeichnet, sondern eine Gerade.



Was eine Strecke ist, weißt du schon: die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten.
Eine Strecke zeichnest du, indem du zwei Punkte mit einer geraden Linie verbindest:



Eine Strecke endet in ihren Endpunkten.
Verlängerst du eine Strecke über diese Punkte hinaus immer weiter, erhältst du eine Gerade: Eine Gerade ist die unendliche Verlängerung einer Strecke.



Für Geraden gilt:
  1. Eine Gerade hat keinen Anfang und kein Ende. Eine Gerade geht einfach immer weiter.


Eine Strecke kannst du dir sicher noch gut vorstellen: als straff gespannten Bindfaden zwischen zwei Punkten.
Sich eine Gerade vorzustellen, ist viel schwieriger. Es "gibt" nichts, was einer Gerade auch nur irgendwie ähnlich ist. Um dir eine Gerade vorzustellen, denke daran, wie sie "gemacht" wird: Eine Gerade entsteht, wenn du eine Strecke in beide Richtungen immer weiter verlängerst.

  1. Durch einen Punkt verlaufen unendlich viele Geraden.

Alle Geraden durch einen Punkt heißen zusammen Geradenbündel.

  1. Durch zwei Punkte verläuft genau eine Gerade (wie bei einer Strecke).

    Genau eine! Nicht mehr und nicht weniger.


Eine Gerade zeichnest du wie eine Strecke mit einem Lineal oder Geodreieck.
Die Gerade musst du nicht bis zum Blattrand zeichnen! Aber um sie von einer Strecke unterscheiden zu können, muss du sie mit zwei offenen Enden zeichnen.

Geraden bezeichnest du wie Strecken mit Kleinbuchstaben: a,b,c\,\dots oder g,h\,\dots

Du hast gelernt, dass eine Gerade die unendliche Verlängerung einer Strecke ist. Umgekehrt gilt: Eine Strecke ist ein Abschnitt einer Geraden.

Die beiden Punkte A und B "schneiden" aus der Geraden g die Strecke s (oder \BarAB) aus.

Aber was ist das?

Die Linie beginnt (oder endet) zwar in einem Punkt, wird aber über den zweiten Punkt hinausgeführt. Irgendwie ist das ein "Mittelding" zwischen Gerade und Strecke.
Man nennt diese Linie eine Halbgerade oder auch einen Strahl.

Eine Halbgerade (oder ein Strahl) ist eine Strecke, die in eine Richtung unendlich "verlängert" wird.
Eine Halbgerade hat einen Anfangspunkt. Vom Anfangspunkt aus geht die Halbgerade unendlich weiter.



Halbgeraden haben ein paar interessante Eigenschaften:
  1. Ein Punkt auf einer Geraden teilt diese Gerade in zwei Halbgeraden.

    Der Punkt P teilt die Gerade g in die zwei Halbgeraden a und b.
    Damit ist auch die Bezeichnung "Halbgerade" klar, oder?


  1. Von einem Anfangspunkt aus führt durch einen gegebenen zweiten Punkt genau eine Halbgerade.

    Genau eine! Nicht keine, nicht zwei, nicht viele. Genau eine!


  1. Von einem Anfangspunkt führen unendlich viele Halbgeraden weg:

    Weil die Halbgeraden strahlenförmig vom Punkt wegführen, heißen Halbgeraden auch "Strahlen".


Eine Halbgerade kannst du dir als einen ganz dünnen Laserstrahl vorstellen. Der Laser wäre dann der Anfangspunkt.

Um eine Halbgerade zu zeichnen, brauchst du immer einen Anfangspunkt: Eine Halbgerade zeichnest du, indem du vom Anfangspunkt aus mit dem Lineal oder dem Geodreieck eine gerade Linie mit offenem Ende ziehst.
Soll die Halbgerade durch einen zweiten Punkt führen, musst du die Linie etwas über diesen Punkt hinaus zeichnen:

Halbgeraden bezeichnest du wie Strecken und Geraden mit Kleinbuchstaben: a,b,c\,\dots oder s,t\,\dots

Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

Darum und um eine einfache Bedien­barkeit zu ermög­lichen, verzich­tet „Mathe? KLARO! auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lern­aktivi­täten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassen­verwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lern­inhalte und Auf­gaben bear­beiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO! den Prinzi­pien des nachhal­tigen Web­designs: Um für den Server­betrieb und die Daten­über­mittlung möglichst wenig Energie zu ver­brau­chen, sind die Anzahl der Server­anfragen und der Umfang der übert­ra­genen Daten sehr klein gehalten. Insbe­sondere wird auf auf­wändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuer­baren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO! ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funk­tiona­lität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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