Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Mittelpunkte von Strecken

Hier lernst du: was die Mitte zwischen zwei Punkten mit der Mitte einer Strecke zu tun hat, wie lang die Hälfte einer Strecke ist und wie du den Mittelpunkt einer Strecke zeichnest.

Mittelpunkte von Strecken


Ein neuer Baum soll gepflanzt werden. Und zwar genau in der Mitte von zwei bereits vorhandenen Bäumen.

Aber wo ist diese Mitte?



Die Situation vom Anfang lässt sich "mathematisch" darstellen (modellieren):

Wir stellen die Standorte der Bäume als Punkte dar. "Und wo ist jetzt die genaue Mitte zwischen den beiden Punkten?"



Das kommt darauf an, was wir unter "Mitte" verstehen.
Fordern wir also zuerst, dass die "Mitte" gleich weit entfernt von den beiden Punkten sein soll. Dann können wir gleich mehrere "Mitten" einzeichnen:

Da die beiden Kreisbögen denselben Radius haben, liegt ihr Schnittpunkt von A und B gleich weit entfernt __ also in deren "Mitte"? Das gilt auch für die Schnittpunkte anderer Paare von Kreisbögen mit jeweils gleichem Radius. Hast du es bemerkt? Alle diese Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten der Strecke \BarAB.



Liegen also alle Punkte auf der Mittelsenkrechten in der Mitte der Punkte A und B?
Das wäre wenig zufriedenstellend. Wir wollen schließlich die Mitte zwischen A und B herausfinden.

Es gibt aber einen Punkt auf der Mittelsenkrechten, der sich ganz besonders auszeichnet:

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke \BarAB.



Damit können wir festlegen, was der Mittelpunkt einer Strecke ist: Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Punkt auf der Strecke, der von den beiden Endpunkten gleich weit entfernt ist.

Der Punkt M liegt auf der Mittelsenkrechten der Strecke \BarAB. M ist damit von A und B gleich weit entfernt. Und M liegt auf der Strecke \BarAB. Also ist M der Mittelpunkt der Strecke \BarAB.



Der Mittelpunkt einer Strecke teilt die Strecke auf eine ganz besondere Weise. Der Mittelpunkt einer Strecke teilt die Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken.

Die Strecken \BarAM und \BarBM sind gleich lang: |\BarAM|=|\BarBM| Die Strecken \BarAM und \BarBM bilden zusammen die Strecke \BarAB, also |\BarAM|+|\BarBM|=|\BarAB|



"OK, das also ist der Mittelpunkt einer Strecke. Aber was ist der Mittelpunkt zwischen zwei Punkten?"
Das festzulegen ist jetzt ganz einfach: Die Mitte zwischen zwei Punkten ist der Mittelpunkt der von ihnen gebildeten Strecke.



Jetzt zu den praktischen Beispielen:

Wie zeichne ich den Mittelpunkt einer Strecke?

Aufgabe: Zeichne den Mittelpunkt der Strecke \BarAB mit einem Lineal:

1. Miss mit dem Lineal die Länge der Strecke. Lege dazu das Lineal an die Strecke. Der Nullpunkt muss an einem der Endpunkte liegen. Die Länge der Strecke ist 5,2\cm, also: |\BarAB|=5,2\cm. 2. Teile die gemessene Länge durch 2. 5,2\cm:2=2,6\cm 3. Zeichne auf der Strecke einen Punkt mit diesem Abstand von einem der Endpunkte. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke \BarAB.



Ähnlich bestimmst du den Mittelpunkt "realer" Strecken, wie zum Beispiel die Mitte einer Tischkante oder die genaue Mitte zwischen zwei Gegenständen. Dazu nimmst du natürlich meistens einen Zollstock oder Ähnliches statt des (kurzen) Lineals.

Bei geometrischen Zeichnungen auf einem Blatt Papier kannst du den Mittelpunkt einer Strecke genauer und einfacher mit Zirkel und Lineal zeichnen: Aufgabe: Zeichne den Mittelpunkt der Strecke \BarAB mit Zirkel und Lineal:

1. Stich den Zirkel in einen Endpunkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Abstands zwischen den Endpunkten. 2. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 3. Stich den Zirkel mit derselben Öffnung in den zweiten Endpunkt und ziehe auch um diesen Punkt einen Kreisbogen. 4. Zeichne eine Gerade durch die zwei Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. 5. Markiere den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Strecke \BarAB mit einem Punkt M. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke \BarAB.



Um eine Strecke mit Zirkel und Lineal zu halbieren, zeichne ihre Mittelsenkrechte.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke halbiert die Strecke.

Es gilt: |\BarAC|=|\BarBC| und |\BarAC|=\frac12|\BarAB|



Den Mittelpunkt zwischen den zwei Bäumen können wir natürlich nicht mit einem Zirkel bestimmen (oder nur mit einem sehr, sehr großen). Aber mit zwei Schnüren:

1. "Zeichne" die Strecke zwischen den beiden Bäumen, indem du eine Schnur straff zwischen ihnen spannst. 2. Miss den Abstand zwischen den Bäumen mit einer zweiten straff gespannten Schnur. 3. Halbiere die "Abstandsschnur", indem du sie doppelt nimmst. Halte die Schlaufe der straffen, doppelt genommenen Schnur auf die "Streckenschnur". Die Schlaufe liegt jetzt genau in der Mitte zwischen den beiden Bäumen.



Die Mittelpunkte ganz großer Strecken kannst du mit einer langen Schnur bestimmen: Auf einem Fußballplatz sind bereits alle Außenlinien mit Kreide gezeichnet.
Aufgabe: Wie können John und Ela nur mit einer Schnur und Kreide die Mittelpunkte der langen Seitenlinien markieren?

So kannst du vorgehen: 1. John hält die Schnur an einem Eckpunkt fest. Ela spannt die Schnur straff bis zum anderen Eckpunkt und macht dort einen Knoten in die Schnur. 2. Ela bringt den Knoten zu Johns Ecke. John hält nun Schnurende und Knoten an die Ecke. 3. Ela zieht die so entstandene Schlaufe entlang der Seitenlinie stramm. Am Ende der Schlaufe markiert sie den Mittelpunkt der Seitenlinie. 4. Das Gleiche wiederholen sie an der anderen langen Seitenlinie. Nun können sie die Schnur straff zwischen den beiden neuen Punkten spannen und die Mittellinie einzeichnen.


Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

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Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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