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Primfaktorzerlegung

Hier lernst du: was eine Faktorzerlegung ist, was eine Primfaktorzerlegung ist und wie du eine natürliche Zahl in Primfaktoren zerlegst.

Primfaktorzerlegung


Jede natürliche Zahl kannst du als Ergebnis einer Multiplikation mit natürlichen Zahlen schreiben, am einfachsten als die Zahl selbst multipliziert mit 1. Beispiel: 24=24⋅1.
Aber welche Möglichkeiten gibt es sonst noch? Und zeichnet sich eine dieser Möglichkeiten besonders aus?



Jede natürliche Zahl lässt sich als Ergebnis einer Multiplikation schreiben. Am einfachsten mit den Faktoren 1 und der Zahl selbst:
Bei Primzahlen geht das sogar nur so!

Nicht-Primzahlen (außer der 1) kann man aber auch anders zerlegen, zum Beispiel:
Genau deshalb ist 24 ja auch keine Primzahl.

Aber welche Zerlegungen einer Zahl in Faktoren kann es überhaupt geben? Und ist eine von ihnen eine Besondere?

Sammeln wir einfach mal alle Möglichkeiten, die Zahl 24 als Produkt zweier Faktoren aufzuschreiben. Dazu suchen wir ihre Teiler:

Also sind 1 und 24 Teiler von 24. Damit sind auch 2 und 12 Teiler von 24. 3 und 8 sind also ebenfalls Teiler von 24. Und auch 4 und 6 sind Teiler von 24. 5 ist kein Teiler von 24! Auch größere Zahlen außer denen, die wir eben schon gefunden haben, können keine Teiler von 24 sein



Wir haben damit die Zahl 24 in unterschiedliche Paare von Faktoren "zerlegt":

Natürlich kann man die Faktoren auch vertauschen, aber es bleiben dieselben Paare.


Die Zerlegung 24=1⋅24 (oder 24=24⋅1) ist eh klar __ oder "trivial", wie Mathematiker*innen sagen. Das heißt ungefähr: "Das brauchen wir hier nicht genauer zu untersuchen", oder: "Das ist für uns im Moment nicht weiter interessant."

(Sag jetzt aber bitte nicht: "Mathematik ist trivial", wenn du Mathe nicht interessant findest ...)


"Interessant" sind also vor allem diese 3 Zerlegungen:



Betrachten wir die Faktoren dieser Zerlegungen mal genauer:

Einige Faktoren sind Primzahlen. Erkennst du sie? 2 und 3 sind Primzahlen. Die übrigen Faktoren sind keine Primzahlen. Zahlen, die keine Primzahlen sind, kannst du wieder in "interessante" Faktorenpaare zerlegen. Markiere wieder die Primzahlen und die Nicht-Primzahlen. Zerlege wieder die Zahlen, die keine Primzahlen sind, in "interessante" Faktorenpaare. Sieh dir wieder die neuen Faktoren an und markiere die Primzahlen und die Nicht-Primzahlen. Überraschung! Wenn man immer weiter zerlegt, sind am Ende alle Faktoren Primzahlen! Und noch mal Überraschung! Es sind sogar die gleichen Primzahlen (in unterschiedlichen Reihenfolgen)!



Jede natürliche Zahl größer als 1 kannst du als Ergebnis einer Multiplikation nur mit Primzahlen ("Primfaktoren") schreiben. (Primzahlen sind ihr eigener Primfaktor.)
Beispiele (Zahlen 2 bis 16):
  • 2=2
  • 3=3
  • 4=2⋅2
  • 5=5
  • 6=2⋅3
  • 7=7
  • 8=2⋅2⋅2
  • 9=3⋅3
  • 10=2⋅5
  • 11=11
  • 12=2⋅2⋅3
  • 13=13
  • 14=2⋅7
  • 15=3⋅5
  • 16=2⋅2⋅2⋅2

Die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primfaktoren heißt Primfaktorzerlegung. In einer Primzahlzerlegung schreibt man die kleineren Primzahlen zuerst.

Um eine natürliche Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen, gehe so vor: Aufgabe: Zerlege die Zahl 140 in ihre Primfaktoren.

Probiere, ob sich 140 durch die kleinste Primzahl 2 ohne Rest teilen lässt. 140:2=70, also 140=2⋅70. Schreibe die Faktoren auf. Probiere, ob sich der letzte Faktor 70 noch einmal durch 2 ohne Rest teilen lässt. 70:2=35, also 70=2⋅35. Schreibe wieder die Faktoren auf. Der letzte Faktor 35 ist ungerade, also lässt sich 35 nicht durch 2 teilen. Probiere, ob sich der letzte Faktor 35 durch die nächstgrößere Primzahl 3 ohne Rest teilen lässt. Die Quersumme von 35 ist 8. Da 8 nicht durch 3 teilbar ist, ist 35 nicht durch 3 teilbar. Probiere, ob sich der letzte Faktor 35 durch die wieder nächstgrößere Primzahl 5 ohne Rest teilen lässt. 35:5=7, also 35=5⋅7. Schreibe die Faktoren auf. Versuche immer weiter, den letzten Faktor durch Primzahlen zu teilen. Wenn der letzte Faktor selbst eine Primzahl ist (wie in diesem Beispiel), ist die Primfaktorzerlegung fertig! Es gilt also: 140=2⋅2⋅5⋅7.



Wenn du größere Teiler einer Zahl schon weißt (und möglichst auch deren Primfaktorzerlegungen), kannst du "abkürzen": Aufgabe: Zerlege die Zahl 1400 in ihre Primfaktoren.

Du siehst sofort: 1400=14⋅10⋅10. Von allen Faktoren weißt du die Primfaktorzerlegung: 14=2⋅7 und 10=2⋅5. Also kannst du alle Faktoren sofort zerlegen. Jetzt kannst du die Primfaktoren noch aufsteigend ordnen. Es gilt also: 1400=2⋅2⋅2⋅5⋅5⋅7. Fertig!



Gleiche Primzahlen einer Primfaktorzerlegung kannst du mit der Potenzschreibweise zusammenfassen.

Der Primfaktor 2 kommt 3-mal vor, der Primfaktor 5 kommt 2-mal vor, und der Primfaktor 7 nur 1-mal. Gleiche Primzahlen fasst du zusammen. Rechts über die Primzahl schreibst du, wie oft sie in der Zerlegung vorkommt. Diese Zahl heißt Exponent. (Den Exponent "1" kannst du weglassen.) Das liest du so: "1400 ist gleich 2 hoch 3 mal 5 hoch 2 mal 7."



Und was hast du von der Primfaktorenzerlegung?
Sie hilft dir, zum Beispiel den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden. Oder ihr kleinestes gemeinsames Vielfaches. Was das ist, lernst du in zwei anderen Lerneinheiten.

Mit der Primfaktorenzerlegung kannst du ausrechnen, wie viele Teiler eine natürliche Zahl hat. Es gilt nämlich: Die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl ist das Produkt der um 1 erhöhten Exponenten aller Primzahlen ihrer Primfaktorzerlegung.
Beispiel: Die Primfaktorenzerlegung von 1400 ist 2^3+5^2+7^1. Die Exponenten sind also 3, 2 und 1. Die Anzahl der Teiler von 1400 ist damit: (3+1)⋅(2+1)⋅(1+1)=4⋅3⋅2=24. Und welche Teiler hat 1400? Auch das lässt sich mit der Primfaktorzerlegung herausfinden. Aber das ist schon etwas komplizierter und kommt erst später dran ...

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