Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Primzahlen

Hier lernst du: was Primzahlen sind, wie du Primzahlen findest , und alle Primzahlen bis 20 .

Primzahlen


Wie viele Teiler hat eine natürliche Zahl?
Leider lässt sich das nicht so einfach sagen. Das musst du bei jeder einzelnen Zahl durch Rechnen herausfinden.

Dabei stellst du fest, dass es einige (sogar unendlich viele) ganz besondere natürliche Zahlen gibt: nämlich solche mit genau zwei Teilern.



Auf wie viele Kinder kannst du 8 Lollis so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele bekommt? Probieren wir's aus!

Natürlich kannst du alle Lollis selbst nehmen. Dann hättest du sie auf 1 Kind "aufgeteilt". Du hättest dann 8 Lollis. Oder du teilst sie mit einer Freundin oder einem Freund. Dann hättest du sie auf 2 Kinder aufgeteilt. Ihr beide hättet dann jeweils 4 Lollis. Oder du teilst sie auf drei Kinder auf. Oh, 8 Lollis lassen sich nicht auf 3 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele Lollis bekommt! Aber kannst du sie auf vier Kinder aufteilen? Kein Problem, jedes Kind bekommt 2 Lollis. Und kannst du die Lollis auf fünf Kinder aufteilen? Geht nicht, es bleiben 3 Lollis übrig. Ähnliches passiert bei 6 und 7 Kindern: Bei 6 Kindern bleiben 2 Lollis übrig, bei 7 Kindern ein Lolli. Aber auf 8 Kinder kannst du die 8 Lollis natürlich problemlos aufteilen. Jedes Kind erhält dann einen Lolli.



Und wie ist das bei 7 Lollis?

Natürlich kannst du alle Lollis selbst nehmen. Dann hättest du sie auf 1 Kind "aufgeteilt". Du hast dann alle 7 Lollis. Oder du teilst sie mit einer Freundin oder einem Freund. Dann hättest du sie auf 2 Kinder aufgeteilt. Geht leider nicht. Ein Lolli bleibt übrig. Kannst du sie auf drei Kinder aufteilen? Auch nicht, wieder bleibt 1 Lolli übrig. Und auf vier Kinder? Jetzt bleiben sogar 3 Lollis übrig. Ähnliches passiert bei 5 und 6 Kindern: Bei 5 Kindern bleiben 2 Lollis übrig, bei 6 Kindern ein Lolli. Aber auf 7 Kinder kannst du die 7 Lollis natürlich wieder aufteilen. Jedes Kind erhält dann einen Lolli.



8 Lollis kannst du also vollständig auf 1, 2, 4 und 8 Kinder so aufteilen, dass jedes Kind gleich viele Lollis bekommt.
Bei 7 Lollis geht das nur mit einem Kind und mit 7 Kindern.

Du weißt: Die Anzahl der Lollis und die Anzahl der Kinder sind natürliche Zahlen. Also kannst du das, was wir eben festgestellt haben, auch "auf Mathematisch" sagen:

Natürliche Zahlen können also unterschiedlich viele Teiler haben.
Überlege: Kann eine natürliche Zahl auch weniger als zwei Teiler haben?

Jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, hat mindestens zwei Teiler: die 1 und die Zahl selbst. Warum die Einschränkung "die größer ist als 1"?
Weil bei der 1 "die Zahl selbst" natürlich 1 ist. Die 1 hat also nur einen Teiler: die 1.

Zahlen mit genau zwei Teilern sind etwas ganz Besonderes. Daher bekommen sie auch einen eigenen Namen: Natürliche Zahlen mit genau zwei unterschiedlichen Teilern heißen Primzahlen. Die einzigen Teiler sind die 1 und die Primzahl selbst. Eine Primzahl hast du schon kennengelernt: 7.

Weitere Primzahlen kannst du mit dem Sieb des Eratosthenes herausfinden:

Schreibe alle Zahlen von 1 bis 100 als Quadrat auf. Streiche die 1 durch, denn die 1 hat nur einen Teiler und ist damit keine Primzahl. Kreise die 2 ein __ das ist die kleinste Primzahl. Streiche nun jede 2. Zahl durch. Alle eben durchgestrichen Zahlen haben als Teiler die 2 und sind damit keine Primzahlen. Gehe wieder nach oben und kreise die nächste, nicht durchgestrichene Zahl ein: die 3. Streiche von dort nun jede 3. Zahl durch __ also alle Zahlen mit 3 als Teiler. (Die durchgestrichenen Zahlen zählst du mit.) Gehe wieder nach oben und kreise wieder die nächste, nicht durchgestrichene Zahl ein: die 5. Streiche von dort nun jede 5. Zahl durch __ also alle Zahlen, die als Teiler die 5 haben. Wiederhole das mit der nächsten, nicht durchgestrichenen Zahl: der 7. Wenn du das Verfahren mit allen Zahlen der ersten Zeile des Zahlenquadrats ausgeführt hast, bist du fertig. Alle nicht durchgestrichenen (und hier eingekreisten) Zahlen sind Primzahlen, denn sie haben keine der kleineren Primzahlen als Teiler.

(Das Verfahren ist nach dem Gelehrten Eratosthenes benannt, der vor über 2200 Jahren in Griechenland und Ägypten gelebt hat.)

Mit dem Sieb des Eratosthenes kannst du alle Primzahlen finden, die kleiner als eine beliebig hohe Zahl sind. Du musst dazu nur noch mehr Zahlen in einem Quadrat aufschreiben und für alle Zahlen der ersten Reihe den Sieb anwenden.
Das ist bei wirklich großen Zahlen natürlich sehr mühsam.

Wie kannst du sonst noch Primzahlen finden? Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist, gehe so vor:
Versuche, ob sich die Zahl jeweils durch 2, 3, 5, 7 und alle weiteren Primzahlen, die mit sich selbst multipliziert kleiner sind als die Zahl, ohne Rest teilen lässt.

Aufgabe: Untersuche, ob die Zahlen 113 und 371 Primzahlen sind.

Untersuche die Zahl 113. Die erste Primzahl ist 2. 2⋅2=4 ist kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 2 zu teilen. Das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 3. 3⋅3=9 ist auch noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 3 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 5. 5⋅5=25 ist immer noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 5 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 7. 7⋅7=49 ist immer noch kleiner als 113. Also versuche, 113 durch 7 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 11. 11⋅11=121 ist größer als 113. 11 kann damit kein Teiler von 113 sein und auch alle größeren Primzahlen nicht. 113 hat also keine Primzahl als Teiler, die kleiner ist als 11. Also ist die 113 eine Primzahl. Untersuche nun die Zahl 371. Die erste Primzahl ist 2. 2⋅2=4 ist kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 2 zu teilen. Das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 3. 3⋅3=9 ist auch noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 3 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 5. 5⋅5=25 ist immer noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 5 zu teilen. Auch das ist nicht ohne Rest möglich. Die nächste Primzahl ist 7. 7⋅7=49 ist immer noch kleiner als 371. Also versuche, 371 durch 7 zu teilen. Das ist ohne Rest möglich. 7 ist damit ein Teiler von 371. Also ist 371 keine Primzahl.



Die Teilbarkeitsregeln machen dir zumindest den Anfang der Prüfung etwas einfacher: Für alle Zahlen (die größer als 5 sind) gilt:

"Gibt es keine einfachere Methode, um herauszufinden, ob eine Zahl eine Primzahl ist?"
Leider nein. Bei richtig großen Zahlen schaffen das nicht einmal mehr die schnellsten Computer!

Damit du für die Prüfung die Zahl auch wirklich nur durch Primzahlen teilst und keine Primzahl beim Teilen vergisst, ist es gut, möglichst viele von ihnen auswendig zu wissen.
Zumindest alle, die kleiner sind als 20. Lerne also auswendig:


Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

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Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

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