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Senkrechte und Mittelsenkrechte

Hier lernst du, was eine Senkrechte und eine Mittelsenkrechte ist und wie du sie mit Zirkel und Lineal zeichnest.

Hier lernst du, was eine Senkrechte und eine Mittelsenkrechte ist und wie du sie mit Zirkel und Lineal zeichnest.

Senkrechten und Mittelsenkrechten


Wenn sich Geraden, Strahlen oder Strecken kreuzen, dann immer in einem bestimmten Winkel.
Ein besonderer und (nicht nur) in der Geometrie wichtiger Winkel ist der rechte Winkel.
Der rechte Winkel ist sogar so besonders, dass Geraden, die andere Linien im rechten Winkel kreuzen, einen eigenen Namen bekommen: Senkrechte.



Senkrechte

Eine Senkrechte ist eine Gerade, die eine andere Gerade, eine Strecke oder eine Halbgerade im rechten Winkel kreuzt.

Die Gerade h ist eine Senkrechte zur Geraden g. Man sagt auch: Die Geraden (oder Strecken oder Halbgeraden) sind rechtwinklig.
Dass sich zwei Geraden, Strecken oder Halbgeraden im rechten Winkel kreuzen, markierst du in der Zeichnung so:

Fällt dir was auf? Wenn h eine Senkrechte zu g ist, ist immer auch g eine Senkrechte zu h!
Anders ausgedrückt: Wenn h\perp g ist, dann ist immer auch g\perp h.

"Muss ich einen bestimmten Winkel am Schnittpunkt als rechten Winkel kennzeichnen?"
Nein, der Winkel ist egal: Wenn zwei Geraden oder Strecken oder Halbgeraden rechtwinklig sind, sind automatisch alle vier Winkel, die am Schnittpunkt anliegen, rechte Winkel:



Das Wort senkrecht hast du sicher schon gehört.
Man sagt zum Beispiel: "Ein Stein fällt senkrecht herunter", wenn er ganz genau nach unten fällt, also nicht schräg oder im Bogen.

Die Fallstrecke des Steins bildet dann mit dem (ebenen) Boden, auf den er fällt, einen rechten Winkel.

Statt: //"Die Geraden g und h sind rechtwinklig"
sagt man daher manchmal auch: //"Die Geraden g und h sind senkrecht."
Damit ist nicht gemeint, dass die Geraden senkrecht "nach unten" verlaufen, sondern nur "senkrecht" in Bezug auf die andere Gerade. Also rechtwinklig.

Wie zeichne ich eine Senkrechte mit dem Geodreieck?

Um eine Senkrechte zu einer Geraden (oder einer Strecke oder einer Halbgeraden) zu zeichnen, kannst du ein Geodreieck verwenden: Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden g.

1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade. 2. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks. 3. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: g\perp h.



Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen Punkt?

Oft soll die Senkrechte durch einen vorgegebenen Punkt verlaufen. Das machst du so: Aufgabe: Zeichne eine Senkrechte zur Geraden g durch den Punkt P.

1. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade, Strecke oder Halbgerade. 2. Verschiebe das Geodreieck so, dass die lange Seite am Punkt anliegt. Wichtig: Die Mittellinie muss dabei auf der Geraden, Strecke oder Halbgeraden bleiben! 3. Zeichne eine gerade Linie an der langen Seite des Geodreiecks durch den Punkt und die Gerade. 4. Markiere den rechten Winkel mit einem Punkt oder schreibe: g\perp h.



Mittelsenkrechte

Eine besondere Senkrechte ist die Mittelsenkrechte: Eine Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte, die eine Strecke genau in der Mitte zwischen ihren beiden Endpunkten schneidet.

Der Punkt M ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und der Strecke.
Weil die Mittelsenkrechte h die Strecke g genau in der Mitte schneidet, müssen die Strecken \BarAM und \BarBM gleich lang sein. Das schreibst du so:|\BarAM|=|\BarBM|
Sprich: "Die Länge der Strecke zwischen den Punkten A und M ist gleich der Länge der Strecke zwischen den Punkten B und M."oder:"Die Strecke zwischen den Punkten A und M ist genauso lang wie die Strecke zwischen den Punkten B und M."

Eine Mittelsenkrechte kannst du mit dem Geodreieck zeichnen: Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke \BarAB.

1. Miss mit dem Geodreieck oder einem Lineal die Länge der Strecke \BarAB. Du misst: |\BarAB|=6\cm 2. Berechne die Hälfte der gemessenen Länge. Die Hälfte der Länge der Strecke \BarAB ist 3\cm. 3. Zeichne auf die Strecke einen Punkt, der 3\cm (also die Hälfte der Länge der Strecke) von Punkt A entfernt ist. Der Punkt M teilt die Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken. 4. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Strecke und mit dem Nullpunkt auf Punkt M. 5. Zeichne nun die Senkrechte zur Strecke \BarAB durch den Punkt M. Die Gerade g ist die Mittelsenkrechte der Strecke \BarAB.



Das eben beschriebenen Verfahren hat einen großen Nachteil: Es kann vieles schief gehen!
Zum Beispiel kannst du
  1. die Länge der Strecke falsch ablesen,
  2. dich bei der Berechnung der Hälfte der Streckenlänge verrechnen oder
  3. den Punkt M falsch einzeichnen.
Auch bleibt an der Zeichnung unklar, dass du wirklich eine Mittelsenkrechte gezeichnet hast.

Einfacher und genauer geht das Zeichnen der Mittelsenkrechte mit Zirkel und Lineal: Aufgabe: Zeichne die Mittelsenkrechte zur Strecke \BarAB.

1. Stich den Zirkel in Punkt A und öffne ihn etwas über die Hälfte der Streckenlänge hinaus. 2. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A. 3. Stich mit derselben Zirkelöffnung in Punkt B und zeichne einen Kreisbogen um Punkt B. Die beiden Kreisbögen kreuzen sich in zwei Punkten. 4. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade g ist die Mittelsenkrechte der Strecke \BarAB.

An den gezeichneten Kreisbögen kann man schnell sehen, dass du wirklich eine Mittelsenkrechte gezeichnet hast! Du solltest sie daher auf keinen Fall wegradieren!

Was ist eigentlich das Besondere an einer Mittelsenkrechten? Außer, dass sie die Strecke offensichtlich in zwei gleich lange Teilstrecken teilt?

Sieh dir die Animation an:



Für jeden der Punkte auf der Mittelsenkrechten g liegen die Punkte A und B auf demselben Kreisbogen. A und B sind also von diesem Punkt gleich weit entfernt.
Das gilt allgemein:
  1. Ein Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke ist von deren Endpunkten gleich weit entfernt.
  2. Alle Punkte, die denselben Abstand zu den Endpunkten einer Strecke haben, liegen auf der Mittelsenkrechten dieser Strecke.
Toll, was?

Die Lösungen der folgenden beiden Aufgabenbeispiele kannst du dir eigentlich selbst herleiten.

Wie zeichne ich eine Senkrechte mit Zirkel und Lineal?

Oben hast du das bereits mit einem Geodreieck gemacht. Nun eben mit Zirkel und Lineal: Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden.

1. Zeichne zwei beliebige Punkte auf die Gerade. Die Punkte "schneiden" aus der Geraden eine Strecke aus. Nun zeichnen wir die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke. 2. Stich den Zirkel in den ersten Punkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus. 3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Punkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade h ist eine Senkrechte auf der Geraden g.



Wie zeichne ich eine Senkrechte durch einen gegebenen Punkt mit Zirkel und Lineal?

Auch das hast du schon mit einem Geodreieck gemacht. Aufgabe: Zeichne mit Zirkel und Lineal eine Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt.

1. Stich den Zirkel in Punkt P und zeichne um ihn einen Kreisbogen, der die Gerade g in zwei Punkten kreuzt. Die beiden Schnittpunkte "schneiden" aus der Geraden eine Strecke aus. Jetzt musst du nur noch die Mittelsenkrechte zu dieser Strecke zeichnen. 2. Stich den Zirkel in den ersten Schnittpunkt und öffne ihn etwas über die Hälfte des Punktabstands hinaus. 3. Zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 4. Stich mit derselben Zirkelöffnung in den zweiten Schnittpunkt und zeichne einen Kreisbogen um diesen Punkt. 5. Zeichne eine Gerade durch die beiden Schnittpunkte der beiden Kreisbögen. Die Gerade h ist die Senkrechte auf der Geraden g durch Punkt P.



Die Konstruktion von Mittelsenkrechten nur mit Zirkel und Lineal erscheint dir vielleicht recht kompliziert zu sein. Aber sie hat zwei wesentliche Vorteile:
  1. Sie ist nicht anfällig für Messfehler.
  2. Anhand der Zeichnung kann man erkennen, was für eine Gerade du gezeichnet hast.
Übe daher gut die Konstruktion von Senkrechten und Mittelsenkrechten (und in anderen Lerneinheiten auch von anderen Objekten) nur mit Zirkel und Lineal! Konstruktionen von geometrischen Objekten nur mit Zirkel und Lineal heißen Grundkonstruktionen.

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Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

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