Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze

Hier lernst du, wie du Terme mit Variablen mit dem Kommutativgesetz, dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz zu gleichwertigen (äquivalenten) Termen umformst.

Hier lernst du, wie du Terme mit Variablen mit dem Kommutativgesetz, dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz zu gleichwertigen (äquivalenten) Termen umformst.

Terme mit Variablen umformen


Lisa schreibt auf die Tafel den Term
2+x⋅6+4⋅(3+x)+6.
Sie sagt: "Sagt mir Zahlen für x und ich rechne euch ganz schnell den Wert des Terms aus!"
/

Jemand ruft: "Zwei!", und Lisa antwortet sofort: "Vierzig!"
Eine ruft: "Fünf!" Lisa sofort: "Siebzig!"
"Minus Vier!" Lisa: "Minus Zwanzig!"
"Zehn" Lisa: "Einhundertzwanzig!"
"Zweitausendvierhundertunddrei!" Lisa: "Vierundzwanzigtausendundfünfzig!"


"Lisa, verrate uns deinen Trick!"
/



Du hast gelernt: Eine Variable in einem Term ist ein Platzhalter für eine Zahl. Wenn du die Variable durch eine Zahl ersetzt, kannst du den Term mithilfe der Rechenregeln ausrechnen: Aufgabe: Berechne geschickt den Wert des Terms
2⋅ x + x⋅ 8
für x=56.
Lösung:

\blacksquare 2⋅ x+x⋅ 8 \blacksquare 2⋅ x+x⋅ 8| Variable durch Zahl ersetzen =2⋅56+56⋅8 =2⋅56+56⋅8|

Aber wenn eine Variable für jede beliebige Zahl stehen kann - dann kann man doch auch gleich mit der Variable "rechnen", oder? Und die Variable erst am Schluss gegen die Zahl austauschen: Aufgabe: Berechne geschickt den Wert des Terms
2⋅ x + x⋅ 8
für x=56.
Lösung:

\blacksquare 2⋅ x+x⋅ 8 \blacksquare 2⋅ x+x⋅ 8|

Wir haben also den Ausgangsterm durch die Anwendung von Rechenregeln nach und nach in gleichwertige (äquivalente) Terme umgeformt, die alle dieselbe Variable enthalten.


"Und was habe ich davon?"
Du erhältst einen gleichwertigen Term, den du wesentlich einfacher ausrechnen kannst.


Denn du weißt jetzt: Wenn du für mehrere Zahlen den Term
2⋅ x + x⋅8
ausrechnen willst, genügt es, mit diesen Zahlen den gleichwertigen Term
x⋅ 10
auszurechnen. Toll, was?


"Und welche Rechenregeln gibt es?"
Gehen wir sie der Reihe nach durch.


Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz besagt, dass du bei der Addition und der Multiplikation die Operanden (also die Zahlen, die du addieren oder multiplizieren willst) tauschen kannst:

\blacksquare3+4 \blacksquare3+4| Summanden tauschen =4+3 \, \blacksquare2+(-8) \blacksquare2+(-8)| Summanden tauschen =-8+2 \, \blacksquare4⋅9 \blacksquare4⋅9| Faktoren tauschen =9⋅4 \, \blacksquare-3⋅7 \blacksquare-3⋅7| Faktoren tauschen =7⋅(-3)



In Additionen und Multiplikationen können die Operanden auch dann getauscht werden, wenn eine der Operanden eine Variable ist /- oder sogar beide.
Addition:

\blacksquare3+x=x+3 \blacksquared+e=e+d


Multiplikation:

\blacksquarea⋅ b=b⋅ a \blacksquarey⋅ 4=4⋅ y



Für die Addition kannst du dir das Kommutativgesetz so vorstellen:

In welcher Reihenfolge du die Zahlenpfeile "aneinanderhängst", ist egal. Der Summenpfeil bleibt gleich lang.

Die Multiplikation kannst du dir immer als Flächenberechnung eines Rechtecks vorstellen:



Die tauschbaren Operanden können übrigens nicht nur Zahlen und einfache Variablen sein, sondern Terme jeder Art:

\blacksquare y+2+x⋅3 \blacksquare y+2+x⋅3| Terme tauschen =x⋅3+y+2 =x⋅3+y+2| Terme tauschen =3⋅ x+y+2



Distributivgesetz

Mit dem Distributivgesetz kannst du gleiche Faktoren in bestimmten Termen "ausklammern":

\blacksquare3⋅14+7⋅14 \blacksquare3⋅14+7⋅14| ausklammern =(3+7)⋅14 \, \blacksquare15⋅8-15⋅6 \blacksquare15⋅8-15⋅6| ausklammern =15⋅(8-6) \, \blacksquare12⋅16+14⋅12 \blacksquare12⋅16+14⋅12| ausklammern =12⋅(16+14)



Weil das Distributivgesetz für alle Zahlen gilt, gilt es auch für Terme mit Variablen. Egal, wo sie stehen: Enthalten die Operanden einer Addition oder Subtraktion den gleichen Faktor, kannst du diesen Faktor ausklammern.



Wenn der gleiche Faktor eine Variable ist, lässt sich der Term mit dem Distributionsgesetz oft vereinfachen.

\blacksquare x⋅4+x⋅6 \blacksquare x⋅4+x⋅6| ausklammern =x⋅(4+6) =x⋅(4+6)| addieren =x⋅10 \, \blacksquare 15⋅ a+13⋅ a \blacksquare 15⋅ a+13⋅ a| ausklammern =(15+13)⋅ a =(15+13)⋅ a| addieren =28⋅ a



Die "umgekehrte" Anwendung des Distributionsgesetzes ist immer dann interessant, wenn die Variable innerhalb der Klammer steht:

Indem du die Klammer auflöst, kannst du die Variable aus der Klammer "befreien".

\blacksquare 4⋅(x+5) \blacksquare 4⋅(x+5)| Klammer auflösen =4⋅ x+4⋅5 =4⋅ x+4⋅5| multiplizieren =4⋅ x+20 \, \blacksquare 10⋅(10+x) \blacksquare 10⋅(10+x)| Klammer auflösen =10⋅10+10⋅ x =10⋅10+10⋅ x| multiplizieren =100+10⋅ x



Das Distributivgesetz kannst du dir als Berechnung der Gesamtfläche von zwei Rechtecken vorstellen, die eine gleich lange Seite haben:

Die Fläche des grünen Rechtecks ist 2⋅ x. Die Fläche des blauen Rechtecks ist 3⋅ x. Die Fläche beider Rechtecke zusammen ist: 2⋅ x+3⋅ x 2⋅ x+3⋅ x\text| ausklammern =(2+3)⋅ x =5⋅ x



Da fehlt noch ein Rechengesetz ... Ach ja, das ...


Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz gibt es für die Addition und die Multiplikation: Bei der Addition mehrerer Zahlen oder Terme ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Terme addierst. Du kannst die Summanden also in beliebiger Reihenfolge miteinander verbinden.
Auch bei der Multiplikation mehrerer Zahlen oder Terme ist die Reihenfolge, in der du die Terme multiplizierst, egal.

\blacksquare x+4+9 \blacksquare x+4+9| Summanden verbinden =x+(4+9) =x+(4+9)| addieren =x+13


/

\blacksquare a⋅5⋅4 \blacksquare a⋅5⋅4| Faktoren verbinden =a⋅(5⋅4) =a⋅(5⋅4)| multiplizieren =a⋅20



"Und wozu brauche ich diese Rechengesetze?"
Mit den Rechengesetzen kannst du Terme mit Variablen vereinfachen. Damit du den Wert der Terme für unterschiedliche Zahlen anstelle der Variable viel schneller ausrechnen kannst.
So, wie Lisa das vorhin getan hat.

Aufgabe: Berechne die Werte des Terms
\blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6
für x=2, x=5, x=-4 und x=100.
Lösung:
1. Vereinfache den Term so, dass die Variable x nur noch möglichst wenig vorkommt und weitere Rechenoperationen so weit wie möglich bereits ausgeführt sind:

\blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6 \blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6| Klammer auflösen =2+x⋅6+4⋅3+4⋅ x+6 =2+x⋅6+4⋅3+4⋅ x+6| multiplizieren =2+x⋅6+12+4⋅ x+6 =2+x⋅6+12+4⋅ x+6| Summanden tauschen =2+12+x⋅6+4⋅ x+6 =2+12+x⋅6+4⋅ x+6| addieren =14+x⋅6+4⋅ x+6 =14+x⋅6+4⋅ x+6| ausklammern =14+(6+4)⋅ x+6 =14+(6+4)⋅ x+6| addieren =14+10⋅ x+6 =14+10⋅ x+6| Summanden tauschen =10⋅ x+14+6 =10⋅ x+14+6| Summanden verbinden =10⋅ x+(14+6) =10⋅ x+(14+6)| addieren =10⋅ x+20 =10⋅ x+20 \, 2. Berechne den Wert des Terms für die verschiedenen Zahlen: \blacksquare x=2: 10⋅ x+20 10⋅ x+20| Zahl einsetzen =10⋅ 2+20 =40 \blacksquare x=5: 10⋅ x+20 10⋅ x+20| Zahl einsetzen =10⋅ 5+20 =70 \blacksquare x=-4: 10⋅ x+20 10⋅ x+20| Zahl einsetzen =10⋅ (-4)+20 =-20 \blacksquare x=100: 10⋅ x+20 10⋅ x+20| Zahl einsetzen =10⋅ 100+20 =1020



Ok, die Termumformung eben war jetzt seeeehr kleinschrittig.
Mit ein wenig Übung und ein paar Tricks geht's aber deutlich schneller. Die Tricks lernst du in der Lerneinheit "Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks".
Vor dem Link zu dieser Lerneinheit aber zunächst noch ein kleiner Test!

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