Mathe?Klaro!

Was ist „Mathe? KLARO!“?

Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks

Hier lernst du ein paar Tricks bei der Umformung von Termen mit Variablen.

Hier lernst du ein paar Tricks bei der Umformung von Termen mit Variablen.

Terme mit Variablen umformen


Hast du die Lerneinheit "Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze" bearbeitet?
Am Ende kam eine ziemlich lange Termumformung vor:

\blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6 \blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6| Klammer auflösen =2+x⋅6+4⋅3+4⋅ x+6 =2+x⋅6+4⋅3+4⋅ x+6| multiplizieren =2+x⋅6+12+4⋅ x+6 =2+x⋅6+12+4⋅ x+6| Summanden tauschen =2+12+x⋅6+4⋅ x+6 =2+12+x⋅6+4⋅ x+6| addieren =14+x⋅6+4⋅ x+6 =14+x⋅6+4⋅ x+6| ausklammern =14+(6+4)⋅ x+6 =14+(6+4)⋅ x+6| addieren =14+10⋅ x+6 =14+10⋅ x+6| Summanden tauschen =10⋅ x+14+6 =10⋅ x+14+6| Summanden verbinden =10⋅ x+(14+6) =10⋅ x+(14+6)| addieren =10⋅ x+20 =10⋅ x+20 \,



"Ja, was war wirklich kompliziert! Das werde ich nie können!"
Doch, wirst du! Mit ein paar Tricks ist das nämlich ganz einfach! Wie so ziemlich alles in Mathe. (Kleiner Scherz ...)



Fangen wir mit ein paar praktischen Regeln an. Sie machen dir das Schreiben und Lesen von Termen leichter: Werden in einem Term Zahlen und Variablen miteinander multipliziert, schreibe diese Faktoren in folgender Reihenfolge:
  1. zuerst die Zahl oder die Zahlen,
  2. dann die Variable und
  3. unterschiedliche Variablen in alphabetischer Reihenfolge.
Schreibe also
  • 4⋅ xstatt: x⋅ 4
  • 2⋅5⋅ ystatt: 2⋅ y⋅5
  • a⋅ bstatt: b⋅ a
  • 2⋅ x⋅ ystatt: 2⋅ y⋅ x oder x⋅ y⋅ 2


Die nächste Regel darfst du nur anwenden, wenn der Term dennoch eindeutig bleibt: Den Mal-Punkt (oder Mal-Operator) ⋅ kannst du weglassen. Schreibe also:
  • 4xstatt: 4⋅ x
  • 3abstatt: 3⋅ a⋅ b
  • x(4+y)statt: x⋅ (4+y)
  • (a+3)bstatt: (a+3)⋅ b
  • (a+3)(a+4)statt: (a+3)⋅(a+4)

Das liest du so:
Aber: Bei Klammern musst du den weggelassenen Mal-Operator "mitlesen"! Du musst den Mal-Punkt nicht weglassen! Wenn du dir unsicher bist, schreibe besser den Malpunkt.

Der folgende Tipp ist immer dann hilfreich, wenn du mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen willst: Eine Termumformung kannst du abkürzen, indem du Die Rechenschritte, die du dabei "überspringst" (meist Kommutativgesetz und Multiplikation), musst du nicht unbedingt aufschreiben.

\blacksquare (x+4)⋅ 3 \blacksquare (x+4)⋅ 3| Klammer auflösen =3x+12 \, \blacksquare b⋅(3+a) \blacksquare b⋅(3+a)| Klammer auflösen =3b+ab \,

Auch hier gilt: Wenn du dir unsicher bist, schreibe besser alle Schritte auf.

Mit dem Tipp kannst du die Termumformung vom Anfang schon ein wenig abkürzen:

\blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6 \blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6| Klammer auflösen =2+6x+12+4x+6 =2+6x+12+4x+6| Summanden tauschen =2+12+6x+4x+6 =2+12+6x+4x+6| addieren =14+6x+4x+6 =14+6x+4x+6| ausklammern =14+(6+4)x+6 =14+(6+4)x+6| addieren =14+10x+6 =14+10x+6| Summanden tauschen =10x+14+6 =10x+14+6| Summanden verbinden =10x+(14+6) =10x+(14+6)| addieren =10x+20 =10x+20



"Immer noch kompliziert!"
Stimmt, immer noch kompliziert.


Aber mit dem nächsten Tipp geht es schon sehr viel einfacher: Um einen Term mit einer Variablen zu vereinfachen, gehe so vor:
  1. Löse zuerst alle Klammern auf (mit dem Distributivgesetz).
  2. Rechne dabei Multiplikationen von Zahlen gleich aus und bringe Multiplikationen mit der Variablen in die richtige Reihenfolge.
  3. Addiere dann die Terme mit derselben Variablen als Faktor.
  4. Addiere schließlich die Zahlterme /- also diejenigen Zahlen, die keine Faktoren vor Variablen sind.


\blacksquare 5+(x+3)⋅ 5+x⋅ 2 \blacksquare 5+(x+3)⋅ 5+x⋅ 2| Klammer auflösen = 5+5x+15+2x =5+5x+15+2x| Terme mit x zusammenfassen = 5+7x+15 =5+7x+15| Zahlterme zusammenfassen = 7x+20 =7x+20 \, \blacksquare 2+3a+4b+5+4a+6b \blacksquare 2+3a+4b+5+4a+6b| Terme mit a zusammenfassen = 2+7a+4b+5+6b =2+7a+4b+5+6b| Terme mit b zusammenfassen = 2+7a+10b+5 =2+7a+10b+5| Zahlterme zusammenfassen = 7a+10b+7 =7a+10b+7



Mit ein wenig Übung kannst du die verschiedenen Terme auch in einem Schritt zusammenfassen:

\blacksquare 5+(x+3)⋅ 5+x⋅ 2 \blacksquare 5+(x+3)⋅ 5+x⋅ 2| Klammer auflösen = 5+5x+15+2x =5+5x+15+2x| Terme zusammenfassen =7x+20 =7x+20 \, \blacksquare 2+3a+4b+5+4a+6b \blacksquare 2+3a+4b+5+4a+6b| Terme zusammenfassen = 7a+10b+7 =7a+10b+7



Um Terme zusammenzufassen, nutze den "Bleistiftrechner":

1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit genau einer Variablen als Faktor (also hier mit der Variablen a). Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm. 2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor a. Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm. Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch. 3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem a errechnet. Schreibe sie mit dem Faktor a als Teilergebnis auf. 4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Teilterme mit der zweiten Variablen zusammen (also hier mit der Variablen b). 5. Jetzt hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem b errechnet. Addiere sie mit dem Faktor b zum bisherigen Ergebnisterm. 6. Gehe wieder zurück zum ersten Teilterm und addiere alle reinen Zahlterme. 7. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm. Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.



Mit diesem Tipp ist die Vereinfachung des Terms vom Anfang jetzt ganz leicht: Aufgabe: Vereinfache den Term
2+x⋅6+4⋅(3+x)+6
so weit wie möglich.
Lösung:

\blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6 \blacksquare 2+x⋅6+4⋅(3+x)+6| Klammer auflösen =2+6x+12+4x+6 =2+6x+12+4x+6| Terme zusammenfassen =10x+20 =10x+20



Auch das konntest du wieder mithilfe des "Bleistiftrechners" machen:

1. Suche mit dem Bleistift den ersten Teilterm mit dem Faktor x. Merke dir den Zahlfaktor und unterstreiche den Teilterm. 2. Suche den nächsten Teilterm mit dem Faktor x. Addiere den Zahlfaktor zur gemerkten Zahl und unterstreiche wieder den Teilterm. Gehe auf diese Weise alle Teilterme durch. 3. Wenn du alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlfaktoren vor dem x errechnet. Schreibe sie mit x als Faktor auf. 4. Gehe nun zurück zum ersten Teilterm und zähle auf die gleiche Weise alle Zahlterme zusammen. 5. Wenn du wieder alle Teilterme durchgegangen bist, hast du die Summe der Zahlterme errechnet. Addiere diese Summe zum bisherigen Ergebnisterm. Wenn alle Teilterme unterstrichen sind, bist du fertig.



Bisher kamen in allen Termen nur Additionen vor. Aber können Variablen auch in Termen mit Subtraktionen vorkommen?
Ja, klar!


Du erinnerst dich sicher an folgende Rechenregel: Eine Subtraktion kannst du in eine Addition mit der Gegenzahl umformen:

\blacksquare9-5 \blacksquare9-5| als Addition =9+(-5) \, \blacksquare15-27 \blacksquare15-27| als Addition =15+(-27) \, \blacksquare3-(-4) \blacksquare3-(-4)| als Addition =3+4 \, \blacksquare200-0 \blacksquare200-0| als Addition =200+(-0)



Außerdem: Die Gegenzahl einer Zahl erhältst du, indem du die Zahl mit -1 multiplizierst:
Für die Umformung einer Subtraktion in eine Addition folgt damit:

\blacksquare9-5 \blacksquare9-5| als Addition =9+(-1)⋅ 5 \, \blacksquare15-27 \blacksquare15-27| als Addition =15+(-1)⋅ 27 \, \blacksquare3-(-4) \blacksquare3-(-4)| als Addition =3+(-1)⋅(-4) \, \blacksquare200-0 \blacksquare200-0| als Addition =200+(-1)⋅ 0



Weil diese Umformung mit jeder Zahl möglich ist, klappt das auch mit Variablen:

\blacksquare9-x \blacksquare9-x| als Addition =9+(-1)⋅ x \, \blacksquarea-b \blacksquarea-b| als Addition =a+(-1)⋅ b



Statt (-1)⋅ x schreibst du kurz: -x. Die Umformung von oben kannst du also auch so schreiben:

\blacksquare9-x \blacksquare9-x| als Addition =9+(-x) \, \blacksquarea-b \blacksquarea-b| als Addition =a+(-b)



Damit kannst du das Distributivgesetz auch dann anwenden, wenn statt mit einer Addition mit einer Subtraktion multipliziert wird:

\blacksquare 4⋅(3-x) \blacksquare 4⋅(3\minus x)| als Addition =4⋅(3+(-x)) =4⋅(3+(-x))| Klammer auflösen =12+4(-x) =12+4(-x)| -x auflösen =12+4(-1)x =12+4(-1)x| Faktoren vertauschen =12+(-1)4x =12+(-1)4x| als Subtraktion =12\minus4x =12-4x



Das war jetzt auch wieder seeehr ausführlich. (Das war Absicht, um dir ein weiteres Beispiel für eine exakte Termumformung zu zeigen.)
Merken musst du dir nur: Das Distributivgesetz gilt auch für die Subtraktion.

\blacksquarea⋅ b\minusa⋅ c=a⋅(b\minusc)



Und schon wird das Auflösen einer Subtraktion als Faktor sehr viel kürzer:

\blacksquare 4⋅(3-x) \blacksquare 4⋅(3-x)| Klammer auflösen =12-4x


Mit „Mathe? KLARO! können Schü­lerin­nen und Schüler der Klassen 5 bis 10 mathe­mati­sche Kompe­tenzen und Fertig­keiten erlernen, wieder­holen und üben.

Die Lernangebote von „Mathe? KLARO! orientieren sich an den Bildungs­plänen der Bundes­länder und sind lehrwerks­übergreifend nutzbar.

„Mathe? KLARO! ist absolut kostenlos und werbefrei. Die Umsetzung ist so datensparsam wie möglich angelegt: Es werden keinerlei personen­bezo­genen Daten gespeichert oder an Dritte weiter­gegeben (siehe Daten­schutz­hinweise).

Darum und um eine einfache Bedien­barkeit zu ermög­lichen, verzich­tet „Mathe? KLARO! auf Verwaltungsfunktionen wie das Speichern der Lern­aktivi­täten der Schülerinnen und Schüler oder eine Klassen­verwaltung. Die Nutzung ist ohne Registrierung möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollen „unbeobachtet“ von ihren Lehrerinnen und Lehrern oder ihren Eltern die Lern­inhalte und Auf­gaben bear­beiten können.

Zudem folgt die Umsetzung von „Mathe? KLARO! den Prinzi­pien des nachhal­tigen Web­designs: Um für den Server­betrieb und die Daten­über­mittlung möglichst wenig Energie zu ver­brau­chen, sind die Anzahl der Server­anfragen und der Umfang der übert­ra­genen Daten sehr klein gehalten. Insbe­sondere wird auf auf­wändige Videos bewusst verzichtet. Der Server wird zu 100% mit erneuer­baren Energien betrieben.

„Mathe? KLARO! ist ein noch sehr junges Angebot und „Work-in-Progress“: Der Bestand an Lernthemen wird ständig erweitert. Derzeit ist auch nur ein geringer Teil der geplanten Funk­tiona­lität umgesetzt, um schon jetzt möglichst vielen Schülerinnen und Schülern die Nutzung der Inhalte zu ermöglichen.

Insbesondere ist die Möglichkeit der freien Auswahl von Lernthemen nur vorläufig. Die Lernforschung zeigt: Wenn Schülerinnen und Schüler an mathe­matischen Aufgaben­stellungen scheitern, dann fast immer wegen fehlender oder fehler­hafter Vorkennt­nisse. Kern des fertigen Ausbaus ist daher eine intelli­gente Diagnose des indivi­duellen Kompetenz­stands.

Unter Nutzung von Methoden der künst­lichen Intelli­genz wird „Mathe? KLARO! dann ganz gezielt solche Lernthemen und Aufgaben vorschlagen, mit denen die erkann­ten Lern­defizite umfassend beseitigt und die indivi­duel­len Lern­ziele jeder Schülerin und jedes Schülers schnell und nachhaltig erreicht werden können.

Unsere Überzeugung ist: Mathe geht für jede und jeden KLARO!

Lernen und Üben

Dein Lernplan wurde abgespeichert.

Du kannst den Lehrplan mit dem Lerncode oder mit dem Link https://www.matheklaro.de/ jederzeit wieder laden.

Lerncode oder Link in die Zwischenablage kopieren:

Die Angabe wurde in die Zwischenablage kopiert.

Lerncode und Link als E-Mail versenden:

Gib eine E-Mail-Adresse ein!

Beim Versenden der E-Mail ist ein Fehler aufgetreten!

Der Lerncode wurde verschickt!

Die E-Mail-Adresse wird nicht gespeichert!

Lernplan laden
 

Gib einen Lerncode ein!

Fehler: Der Lerncode ist ungültig!

Die neuen Inhalte findest du jetzt in deinem Lernplan.

Den Lerncode bekommst du von deiner Lehrerin oder deinem Lehrer.
Wenn du deinen Lernplan gespeichert hast, hast du ebenfalls einen Lerncode bekommen.

Alle Lernthemen

Lernen Vertiefen Profi

Editortest Funktionstest Hilfetexte

5. Klasse
Zahlen und Rechnen
Größen und Messen

Noch keine Inhalte vorhanden

Raum und Form
Daten und Zufall
6. Klasse
Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Zehnerpotenzschreibweise von natürlichen Zahlen Große natürliche Zahlen vergleichen Runden von natürlichen Zahlen Gibt es eine größte natürliche Zahl? Binärsystem Römische Zahlen Weitere Zahlensysteme

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Schriftliche Multiplikation (2) Quadratzahlen Potenzen Schriftliche Division (2) Teilbarkeit Rechenregeln (1) Rechenregeln (2) Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 Teilbarkeitsregeln für 4, 6, 9 und 25 Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Negative Zahlen und ganze Zahlen

Negative und ganze Zahlen Ordnen und Vergleichen von ganzen Zahlen Was ist der Betrag einer ganzen Zahl? Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (1) Addition und Subtraktion von ganzen Zahlen (2) Multiplikation und Division von ganzen Zahlen

Brüche

Was ist ein Bruch? (1) Was ist ein Bruch? (2) Was sind rationale Zahlen? Divisionsrest als Bruch Brüche erweitern und kürzen Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Brüche vergleichen und ordnen Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent

Terme

Rechentricks Überschlagsrechnungen mit natürlichen Zahlen Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks
Größen und Messen

Noch keine Inhalte vorhanden

Raum und Form
Gleichungen und Funktionen
Daten und Zufall
7. Klasse
Zahlen und Rechnen

Natürliche Zahlen

Potenzen Primzahlen Primfaktorzerlegung Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Was sind Quadratwurzeln? Quadratwurzeln abschätzen

Brüche

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) Liegen zwischen Brüchen andere Brüche? Brüche mit ganzen Zahlen multiplizieren Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren Brüche mit Brüchen multiplizieren Einen Bruch durch einen Bruch dividieren Was sind gemischte Zahlen? Umwandeln unechter Brüche in gemischte Zahlen Addition und Subtraktion von gemischten Zahlen Multiplikation und Division von gemischten Zahlen Was sind Dezimalzahlen? Stellenwerttafel für Dezimalzahlen Rest bei Division als Dezimalzahl Dezimalzahlen als Darstellungsform von Brüchen Brüche als Dezimalzahlen Genauigkeit von Dezimalzahlen Abbrechende und periodische Dezimalzahlen Runden von Dezimalzahlen Genauigkeit von gerundeten Zahlen bewerten Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen Multiplikation von Dezimalzahlen Division von Dezimalzahlen (1) Division von Dezimalzahlen (2) Zahlen in Normdarstellung angeben Was sind irrationale Zahlen? Beispiele für irrationale Zahlen Irrationale Zahlen annähernd berechnen Was heißt Prozent? Prozentzahlen als Darstellungsform von Dezimalzahlen Berechnen von prozentualen Anteilen Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent Prozentwert berechnen Grundwert berechnen Prozentsatz berechnen Einfache Zinsrechnung Zinssatz, Anfangskapitel, Endkapital Zinseszinsrechnung mit Tabellen

Terme

Was ist ein Term? Terme umformen (1): Kommutativgesetz Terme umformen (2): Assoziativgesetz und Distributivgesetz Was ist eine Variable? Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)? Terme mit Variablen umformen (1): Rechengesetze Terme mit Variablen umformen (2): Tipps und Tricks Binomische Formeln Quadratische Ergänzung
Raum und Form
Gleichungen und Funktionen
Daten und Zufall
Wahrscheinlichkeiten

Noch keine Inhalte vorhanden

8. Klasse
Zahlen und Rechnen
Raum und Form

Noch keine Inhalte vorhanden

Gleichungen und Funktionen

Noch keine Inhalte vorhanden

Dreisatzrechnung Was ist eine Gleichung? Einfache Gleichungen nach einer Variablen auflösen Äquivalenzumformungen (1) Äquivalenzumformungen (2) Äquivalenzumformungen (3) Äquivalenzumformungen (4) Bruchgleichungen lösen Wurzelgleichungen lösen Was ist eine lineare Gleichung? Lineare Gleichungen im Koordinatensystem darstellen Graphen und Terme linearer Gleichungen interpretieren Parameter der Termdarstellung linearer Gleichungen deuten Aus den Koordinaten von zwei Punkten die lineare Gleichung angeben Lagebeziehung zweier Geraden untersuchen Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (1) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (2) Lineare Gleichung mit einer Unbekannten lösen (3) Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen Lineare Gleichung mit zwei Variablen Was ist ein lineares Gleichungssystem? Ein lineares Gleichungssystem graphisch lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Gleichsetzungsverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Einsetzverfahren lösen Ein lineares Gleichungssystem mit Additionsverfahren lösen Sachaufgaben mithilfe linearer Gleichungssysteme lösen Was ist eine quadratische Funktion? Lineare und quadratische Funktionen voneinander abgrenzen Quadratische Funktionen darstellen Graphen und Terme quadratischer Funktionen interpretieren Eigenschaften von Parabeln Parameter der Termdarstellung einer quadratischer Funktion Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen Scheitelform einer quadratischen Gleichung Reinquadratische Gleichungen lösen Gemischtquadratische Gleichungen lösen Funktionsbegriff, Definitionsmenge und Wertemenge Linearfaktordarstellung einer quadratischen Gleichung Exponentielle Zusammenhänge darstellen Was ist eine Exponentialfunktion? Exponentielle Gleichungen durch Probieren näherungsweise lösen Wachstumsvorgänge mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben
Daten und Zufall
Wahrscheinlichkeiten

Noch keine Inhalte vorhanden

9. Klasse
Zahlen und Rechnen
Raum und Form

Noch keine Inhalte vorhanden

Gleichungen und Funktionen
Daten und Zufall

Noch keine Inhalte vorhanden

Angabe der relativen Häufigkeit in Prozent
Wahrscheinlichkeiten

Noch keine Inhalte vorhanden

10. Klasse
Zahlen und Rechnen
Raum und Form

Noch keine Inhalte vorhanden

Gleichungen und Funktionen
Wahrscheinlichkeiten

Noch keine Inhalte vorhanden

Impressum,  Kontakt  und Datenschutzerklärung

 

© 2021 Martin Hoos, Hamburg

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 1 2 3 1 2 3