Was ist ein Bruch? (2)
Was sind rationale Zahlen?
Was sind natürliche Zahlen?
Division von natürlichen Zahlen
Brüche als Anteile
Hier lernst du: dass ein Bruch ein Anteil an einem Ganzen ist, was ein Nenner , ein Zähler und ein Bruchstrich sind und was eine Bruchzahl ist. Hier lernst du, das ein Bruch ein Anteil vom Ganzen ist, und was ein Nenner, ein Zähler, ein Bruchstrich und eine Bruchzahl sind.
Beschreibung: Hier lernst du, das ein Bruch ein Anteil vom Ganzen ist, und was ein Nenner, ein Zähler, ein Bruchstrich und eine Bruchzahl sind.
Brüche als Anteile
Paula: "Ich hab eine Hälfte der Schokoladentafel bekommen!"
John: "Und ich hab sogar drei Sechstel der Schokoladentafel bekommen!"
Wer von beiden hat mehr?
Hier lernst du:
- dass ein Bruch ein Anteil an einem Ganzen ist,
- was ein Nenner, ein Zähler und ein Bruchstrich sind und
- was eine Bruchzahl ist.
Eine Schokoladentafel kannst du leicht in kleinere Teile brechen, zum Beispiel in ...
... zwei Teile. ... drei Teile. ... sechs Teile. ... noch einmal zwei Teile. ... vier Teile. ... viele Teile. /
Besonders interessant sind solche Aufteilungen der Schokoladentafel, bei der die einzelnen Teilstücke
gleich groß sind:
/
(Natürlich sind auch noch weitere Zerlegungen in gleich große Teilstücke möglich, zum Beispiel in noch kleinere Teilstücke oder in Teilstücke, die nicht an den Vertiefungen geteilt wurden.)
Bei einer Zerlegung in gleich große Teilstücke lässt sich sehr leicht angeben, welchen
Anteil ein einzelnes Teilstück
an der ganzen Schokoladentafel hat, zum Beispiel:
Bei einer Aufteilung in 2 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von der Hälfte an der ganzen Tafel. Bei einer Aufteilung in 3 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von einem Drittel an der ganzen Tafel. Bei einer Aufteilung in 6 gleich große Teile hat jedes Teilstück einen Anteil von einem Sechstel an der ganzen Tafel. /
Solche Angaben von
Anteilen an einem Ganzen hast du schon ganz oft gemacht:
- "Der Stab ist einen halben Meter lang."
- "Es klingelt in einer viertel Stunde."
- "In das Trinkglas passt ein achtel Liter Milch."
- "Die Siegerin war eine hundertstel Sekunde schneller."
usw.
Das bedeutet:
- Ein "halber Meter" ist einer von zwei gleich großen Teilen eines ganzen Meters.
- Eine "viertel Stunde" ist einer von vier gleich großen Teilen einer ganzen Stunde.
Usw.
Eine
sechstel Schokoladentafel ist
einer von sechs gleich großen Anteilen an einer
ganzen Schokoladentafel./
Für die Formulierung "
einer von
sechs gleich großen Anteilen an einer
ganzen Schokoladentafel" gibt es eine besondere, viel kürzere Schreibweise:
Einer ... ... von ... ... sechs gleich großen Anteilen ... ... an einer ganzen Schokoladentafel.
Diese Schreibweise heißt ein
Bruch. Merke dir schon mal:
Ein
Bruch gibt den
Anteil an einem Ganzen an.
Beispiele:
2 gleich große Stücke. $\frac{1}{2}\text{ Schokoladentafel}$ 6 gleich große Stücke. $\frac{1}{6}\text{ Schokoladentafel}$ / 12 gleich große Stücke. $\frac{1}{12}\text{ Schokoladentafel}$ /
Ein
Bruch gibt
nicht an,
welche Teilstücke vom Ganzen gemeint sind. Sondern nur,
welchen Anteil dieses Teilstück
am Ganzen hat.
So zeigen alle folgenden Zerlegungen $\frac{1}{12}$ einer ganzen Schokoladentafel:
/
Hoppla!
In einer dieser Zerlegungen bestand das "Teilstück" eigentlich aus zwei kleineren Teilstücken!
Also aus zwei Teilstücken, von denen jedes $\frac{1}{24}$ einer ganzen Schokolade ist.
Auch das lässt sich als Bruch darstellen:
Zwei ... ... von ... ... vierundzwanzig gleich großen Anteilen ... ... an einer ganzen Schokoladentafel.
Ein
Bruch gibt den
Anteil an einem Ganzen an. Er besteht aus einem
Nenner, einem
Zähler und einem
Bruchstrich. - Der Nenner unter dem Bruchstrich gibt an, in wie viele gleich große Bruchteile das Ganze geteilt ist.
- Der Zähler über dem Bruchstrich gibt an, wie viele dieser Bruchteile der gesamte Anteil umfasst.
Merke dir die Eselsbrücke:
- "Der Zähler zählt die Anzahl der Anteile."
- "Der Nenner benennt die Zerlegung des Ganzen."
Wenn du die Schokolade bekommst, dann ist es dir sicher egal, ob du ein Stück bekommst, das $\frac{1}{12}$ der Schokoladentafel groß ist, oder ob du zwei Stücke bekommst, die jeweils $\frac{1}{24}$ der Schokoladentafel groß sind. Es ist immer gleich viel.
Unterschiedliche Brüche können also denselben Anteil angeben, zum Beispiel:
$\frac{1}{2}$ Schokoladentafel $= \frac{3}{6}$ Schokoladentafel $\frac{1}{3}$ Schokoladentafel $= \frac{2}{6}$ Schokoladentafel /
Den eigentlichen Anteil an einem Ganzen nennt man
Bruchzahl.
Dieselbe Bruchzahl, also denselben Anteil am Ganzen, kannst du mit
unterschiedlichen Brüchen darstellen.
Dass zwei (unterschiedliche) Brüche dieselbe Bruchzahl darstellen, zeigst du durch ein
Gleichheitszeichen:$\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$
Man sagt dann: "Die beiden Brüche sind
gleich groß."
Nochmal die Situation vom Anfang:
Paula: "Ich hab eine Hälfte der Schokoladentafel bekommen!"
John: "Und ich hab sogar drei Sechstel der Schokoladentafel bekommen!"
Jetzt kannst du sicher ganz leicht sagen, wer von beiden mehr Schokolade bekommen hat. Oder?
Was ist ein Bruch? (2)
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