Brüche addieren und subtrahieren (1)

Hier lernst du: was gleichnamige Brüche sind, wie du gleichnamige Brüche addierst und wie du sie subtrahierst. Hier lernst du, Brüche mit gleichem Nenner zu addieren und zu subtrahieren. Bruchrechnen, Bruchrechnung, Addition, Subtraktion

Brüche addieren und subtrahieren (1)

Wie viel Schokolade hast du, wenn du zu $\frac{1}{6}$ einer Schokoladentafel noch $\frac{2}{6}$ der Tafel dazunimmst?Dann hast du $\frac{3}{6}$ einer Tafel Schokolade (also die Hälfte einer Tafel). Aber kannst du das auch ausrechnen, ohne Schokoladentafeln zu zerbrechen? Hier lernst du:

• was gleichnamige Brüche sind,
• wie du gleichnamige Brüche addierst und
• wie du sie subtrahierst.

Du weißt: Der Zähler in einem Bruch zählt gleich lange Teilstrecken der Strecke zwischen zwei ganzen Zahlen:Der Bruch $\frac{7}{8}$ zählt 7 Teilstrecken, jede ein Achtel einer ganzen Strecke. Gezähltes kann man miteinander addieren. Brüche auch? Na klar! Aufgabe: Wie viel ist $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$? Lösungsweg:Zeichne zuerst den Pfeil für den Bruch $\frac{3}{8}$ ein. Zeichne dann den Pfeil für den Bruch $\frac{2}{8}$ ein. Setze zuletzt den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten Pfeils. Beide Pfeile zusammen zeigen auf den Bruch $\frac{5}{8}$. Es ist also: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$. Eigentlich hast du nichts anderes gemacht als eine ganz normale Addition mit ganzen Zahlen: Du hast 2 Teilstrecken zu 3 Teilstrecken hinzugefügt. Das ergibt natürlich $\style[bold]{2+3=5}$ Teilstrecken. Brüche kannst du auch mit Anteilen an ganzen Kreisen darstellen. Und auch die Addition von Brüchen: Aufgabe: Wie viel ist $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}$? Lösungsweg: Bei den Kreisen hast du natürlich keine Teilstrecken zusammengezählt, sondern Achtelstücke eines Kreises. Egal, wie du die Brüche darstellst: Du hast immer die Anzahl von gleichen Teilen eines Ganzes zusammengezählt. Und diese Anzahl steht im Bruch im Zähler. Beim Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner addierst du nur die Zähler. Den Nenner übernimmst du unverändert.Brüche mit gleichem Nenner heißen gleichnamig. Das Ergebnis der Addition kannst du manchmal noch kürzen oder als ganze Zahl schreiben.

• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{3}}{8}}\align[12]{+\frac{\style[green]{2}}{8}}$| Zähler addieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{3}+\style[green]{2}}{8}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{5}{8}}$
  $\,$
• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{1}}{4}}\align[12]{+\frac{\style[green]{2}}{4}}$| Zähler addieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{1}+\style[green]{2}}{4}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{3}{4}}$
  $\,$
• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{1}}{6}}\align[12]{+\frac{\style[green]{2}}{6}}$| Zähler addieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{1}+\style[green]{2}}{6}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{3}{6}}$| kürzen
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{3:\style[red]{3}}{6:\style[red]{3}}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{1}{2}}$
  $\,$
• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{2}}{5}}\align[12]{+\frac{\style[green]{3}}{5}}$| Zähler addieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{2}+\style[green]{3}}{5}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{5}{5}}$| vereinfachen
  $\align[5]{}\align[10]{=1}$
  $\,$
• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{5}}{7}}\align[12]{+\frac{\style[green]{4}}{7}}$| Zähler addieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{5}+\style[green]{4}}{7}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{9}{7}}$
  $\,$

Ein häufiger Fehler ist es, auch die Nenner zu addieren. Aber:$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\style[bold]{\neq}\frac{2+1}{5+5}$ /Auch darfst du die Zähler nicht einfach addieren, wenn die Nenner ungleich sind!$\frac{2}{5}+\frac{1}{4}\style[bold]{\neq}\frac{2+1}{5\text{ oder }4?}$ Die Subtraktion von Brüchen geht eigentlich ganz genauso: Beim Subtrahieren von gleichnamigen Brüchen subtrahierst du die Zähler und übernimmst den Nenner unverändert. Auch hier kannst du das Ergebnis der Subtraktion manchmal noch kürzen oder als ganze Zahl schreiben.

• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{3}}{8}}\align[12]{\,-\,\frac{\style[green]{2}}{8}}$| Zähler subtrahieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{3}\,-\,\style[green]{2}}{8}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{1}{8}}$
  $\,$
• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{1}}{5}}\align[12]{\,-\,\frac{\style[green]{4}}{5}}$| Zähler subtrahieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{1}\,-\,\style[green]{4}}{5}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{-3}{5}}$| Vorzeichen vorziehen
  $\align[5]{}\align[10]{=-\frac{3}{5}}$
  $\,$
• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{5}}{6}}\align[12]{\,-\,\frac{\style[green]{2}}{6}}$| Zähler subtrahieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{5}\,-\,\style[green]{2}}{6}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{3}{6}}$| kürzen
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{3:\style[red]{3}}{6:\style[red]{3}}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{1}{2}}$
  $\,$
• $\align[3:r]{\frac{\style[red]{1}}{3}}\align[12]{\,-\,\frac{\style[green]{1}}{3}}$| Zähler subtrahieren
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{\style[red]{1}\,-\,\style[green]{1}}{3}}$
  $\align[5]{}\align[10]{=\frac{0}{3}}$| vereinfachen
  $\align[5]{}\align[10]{=0}$
  $\,$

Brüche addieren und subtrahieren (2) Brüche erweitern und kürzen Was ist ein Bruch? (2)