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Brüche vergleichen

Hier lernst du: wie du Brüche nach ihrer Größe vergleichst. Hier lernst du, Brüche zu vergleichen.

Brüche vergleichen

Was ist mehr? $\frac{2}{3}$ einer Tafel Schokolade, oder $\frac{3}{4}$ einer Tafel Schokolade? Hier lernst du: Zahlen kannst du auf dem Zahlenstrahl darstellen. Je weiter rechts eine Zahl auf dem Zahlenstrahl ist, desto größer ist diese Zahl: Du siehst sofort: 8 ist größer als 5. 5 ist größer als 2. Und 2 ist größer als $-1$. Das geht natürlich auch mit Brüchen:Auch hier siehst du sofort: $\frac{9}{4}$ ist größer als $\frac{5}{4}$. $\frac{5}{4}$ ist größer als $\frac{2}{4}$. Und $\frac{2}{4}$ ist größer als $-\frac{1}{4}$. Was haben die Brüche $\frac{9}{4}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{2}{4}$ und $-\frac{1}{4}$ gemeinsam? Na klar, sie haben denselben Nenner 4. Und genau das macht ihren Vergleich auch ganz einfach. Denn du kannst sie alle in einem gemeinsamen Zahlenstrahl eintragen, bei dem die Strecken zwischen den ganzen Zahlen in 4 Teilstrecken unterteilt sind:Mit dem Zähler zählst du die Striche dieser Unterteilung. Und je größer der Zähler ist (je mehr Striche du also zählst), desto größer ist auch der Bruch. Bei Brüchen mit gleichem Nenner ist der Bruch mit dem größten Zähler am größten. Bei negativen Brüchen musst du vorher noch das Minuszeichen vor den Zähler ziehen: Das war einfach, oder? Wie ist es aber, wenn die Brüche unterschiedliche Nenner haben? Wenn also die Brüche "ungleichnamig" sind? Bei ungleichnamigen Brüchen müssen wir die Brüche so erweitern, dass sie den gleichen Nenner haben, also "gleichnamig" sind. Das kannst du immer machen, indem du den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs erweiterst und umgekehrt: Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: $\frac{2}{3}$ oder $\frac{3}{4}$? Lösungsweg:1. Erweitere den linken Bruch mit dem Nenner des rechten Bruchs. 2. Dann erweitere den rechten Bruch mit dem Nenner des linken Bruchs. $8$ ist kleiner als $9$. Also ist auch $\frac{8}{12}$ kleiner als $\frac{9}{12}$, denn die beiden Brüche haben denselben Nenner. Damit hast du gezeigt: $\frac{2}{3}$ ist kleiner als $\frac{3}{4}$. Das Erweitern mit dem Nenner des jeweils anderen Bruch funktioniert immer: Manchmal geht es auch etwas einfacher. Nämlich immer dann, wenn der eine Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist. Um die beiden Brüche $\frac{1}{3}$ und $\frac{4}{9}$ gleichnamig zu machen (also auf denselben Nenner zu bringen), genügt es, wenn du nur den ersten Bruch mit 3 erweiterst: Bei vielen anderen Brüchen genügt es, wenn du ein gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner findest. Ein gemeinsames Vielfaches von 4 und 6 ist 12, denn $4\cdot3=12$ und $6\cdot2=12$. Also kannst du hier so rechnen: Andere Vielfache von 4 und 6 wären zum Beispiel 24 (das Produkt aus 4 und 6), 36, 48, ... Aber: Je kleiner das gemeinsame Vielfache, desto einfacher lässt es sich rechnen. Die kleinste ganze Zahl, die ein Vielfaches von zwei ganzen Zahlen zugleich ist, heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches. Du schreibst: $\kgV(4,\ 6)=12$ Das liest du so: "Das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6 ist (gleich) 12." Wie findest du das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Nennern (oder von zwei Zahlen allgemein)? Mit einem Trick! Aufgabe: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45? Lösungsweg:1. Zerlege die beiden Zahlen in ihre Primfaktoren. 2. Streiche nun die Primfaktoren aus, die in beiden Zahlen vorkommen. 3. Die restlichen Primfaktoren multiplizierst du mit der jeweils anderen Zahl /- und schon hast du das kleinste gemeinsame Vielfache! Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 45 ist 180. $\kgV(60,\ 45)=180$. Wenn du zwei Brüche mit ungleichen Nennern ("ungleichnamige Brüche") vergleichen willst, gehe so vor:
  1. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner der beiden Brüche.
  2. Erweitere die Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner.
  3. Vergleiche dann die Zähler der erweiterten Brüche.
Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: $\frac{17}{60}$ oder $\frac{13}{45}$? Lösungsweg:
  1. Berechnen des kgV der Nenner:
    $\align[4:r]{60}\align[11]{=2\cdot2\cdot3\cdot5}$| zerlegen in Primfaktoren
    $\align[4:r]{45}\align[11]{=3\cdot3\cdot5}$
    $\align[4:r]{\style[none]{60}}\align[11]{\style[none]{=}\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}\cdot\strikeout{3}\cdot\strikeout{5}}$| streichen gemeinsamer Faktoren
    $\align[4:r]{\style[none]{45}}\align[11]{\style[none]{=}\strikeout{3}\cdot\style[red]{3}\cdot\strikeout{5}}$
    $\align[15]{\kgV(60,\ 45)}$| kgV berechnen
    $\align[4:r]{}\align[11]{=60\cdot\style[red]{3}}$
    $\align[4:r]{}\align[11]{=45\cdot\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}}$
    $\align[4:r]{}\align[11]{=180}$
  2. Erweitern der Brüche:
    $\align[4:r]{\frac{17}{60}}\align[8.5]{=\frac{17\cdot\style[red]{3}}{60\cdot\style[red]{3}}}=\frac{51}{180}$
    $\align[4:r]{\frac{13}{45}}\align[8.5]{=\frac{13\cdot\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}}{45\cdot\style[green]{2}\cdot\style[green]{2}}}=\frac{52}{180}$
  3. Vergleichen:
    $\align[4:r]{\frac{51}{180}}\align[11]{\,?\,\frac{52}{180}}$| $51\lt52$, Nenner gleich
    $\align[4:r]{\frac{51}{180}}\align[11]{\lt\frac{52}{180}}$
    $\align[4:r]{\frac{17}{60}}\align[11]{\lt\frac{13}{45}}$
Ein besonderer Fall ist der, wenn die Zähler gleich sind und die Nenner ungleich: Aufgabe: Welcher Bruch ist größer: $\frac{5}{7}$ oder $\frac{5}{8}$? Lösungsweg:
  1. Die beiden Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler, denn 7 ist eine Primzahl und 8 ist kein Vielfaches von 7. Daher ist:
    $\align[12]{\kgV(7,\ 8)}$| Nenner multiplizieren
    $\align[4]{}\align[10]{=7\cdot8}$
    $\align[4]{}\align[10]{=56}$
  2. Erweitern der Brüche:
    $\align[4:r]{\frac{5}{7}}=\frac{5\cdot8}{7\cdot8}=\frac{40}{56}$
    $\align[4:r]{\frac{5}{8}}=\frac{5\cdot7}{8\cdot7}=\frac{35}{56}$
  3. Vergleichen:
    $\align[4:r]{\frac{40}{56}}\align[11]{\,?\,\frac{35}{56}}$| $40\gt35$, Nenner gleich
    $\align[4:r]{\frac{40}{56}}\align[11]{\gt\frac{35}{56}}$| und damit ist:
    $\align[4:r]{\frac{5}{7}}\align[11]{\gt\frac{5}{8}}$
Ist ja eigentlich auch klar. Denn man zählt bei beiden Brüchen gleich viele Teilstrecken, nur sind bei dem Bruch mit dem kleineren Nenner die Teilstrecken länger. Vergleiche zum Beispiel $\frac{5}{7}$ und $\frac{5}{8}$: Und genau deshalb kannst du solche Brüche auch einfacher vergleichen: Bei Brüchen mit gleichem Zähler ist der Bruch mit dem kleinsten Nenner am größten. (Hier kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.) Zum Schluss noch mal alle Merkregeln zusammen: Brüche addieren und subtrahieren (1) Brüche addieren und subtrahieren (2) Was ist ein Bruch? (2) Brüche erweitern und kürzen

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