Einfache Gleichungen lösen
Äquivalenz von Gleichungen
Was ist ein Term?
Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)?
Was ist eine Gleichung?
Hier lernst du: was eine Gleichung ist, was Gleichungen mit Variablen zu tun haben und was die Lösungsmenge einer Gleichung ist. Hier lernst du, was eine Gleichung ist. Variable, Lösungsmenge.
Beschreibung: Hier lernst du, was eine Gleichung ist. Variable, Lösungsmenge.
Was ist eine Gleichung?
Um den Balkon zu schmücken, kauft Nadja auf dem Markt 4 Töpfe mit Geranien. Sie zahlt insgesamt 8 Euro.
Wie viel kostet ein Topf mit Geranien?
Hier lernst du:
- was eine Gleichung ist,
- was Gleichungen mit Variablen zu tun haben und
- was die Lösungsmenge einer Gleichung ist.
Die Antwort auf die Eingangsfrage fällt dir sicher ganz leicht:
Wenn 4 Töpfe mit Geranien 8 Euro kosten, dann kostet ein Topf mit Geranien 2 Euro.
/
Wie lässt sich die Eingangsfrage "mathematisch" beschreiben ("modellieren")?
Sei $x$ der Preis für einen Topf Geranien (in Euro). Es gilt:
$4x=8$
Wie viel ist $x$?
Den Ausdruck
$4x=8$
nennt man eine
Gleichung.
/
Eine
Gleichung sind
zwei Terme, die mit einem
Gleichheitszeichen verbunden sind.
Das Gleichheitszeichen sagt aus, dass die beiden Terme
gleichwertig sind.
$\align[5:r]{3+4}=2+5$ $\align[5:r]{0\cdot14}=0$ $\align[5:r]{4x}=8$ $\align[5:r]{x+4}=2x$
Eine Gleichung sieht also aus wie eine
Termumformung.
Im Prinzip lässt sich also der
rechte Term einer Gleichung aus dem
linken Term der Gleichung per Termumformung herleiten.
Richtig beobachtet!
Denn mit $x=1$ ist erhält der linke Term den Wert 4, der Wert des rechten Terms bleibt aber 8. Doch 4 und 8 sind ganz bestimmt nicht gleichwertig!
Bei einer
Gleichung sind die beiden Terme
nicht immer für jeden Wert anstelle der Variablen gleichwertig, sondern nur für
manche Werte.
Ein
Gleichheitszeichen zwischen zwei Termen mit einer Variablen kann Unterschiedliches kennzeichnen:
- Steht das Gleichheitszeichen für eine Termumformung, sind die beiden Terme für alle Werte anstelle der Variablen gleichwertig.
- Steht das Gleichheitszeichen aber für eine Gleichung, sind die beiden Terme nur für bestimmte Werte anstelle der Variablen gleichwertig.
Termumformung: $2x+4=2(x+2)$ Terme sind gleichwertig für alle Zahlen anstelle des $x$ (Gleichung: $4x=8$ Terme sind gleichwertig nur für $x=2$.
Eine
Gleichung mit einer Variablen kannst du dir als
Rätsel vorstellen:
"Mit welchen
Werten anstelle der Variablen werden die
beiden Terme gleichwertig?"
Alle Zahlen, mit denen die beiden Terme gleichwertig sind, sind
Lösungen der Gleichung.
/
Eine Gleichung kannst du dir auch gut mit einer
Balkenwaage veranschaulichen:
Wenn die "Terme" auf beiden Waagschalen gleich viel wiegen (= gleichwertig sind), ist die Waage im Gleichgewicht. Das $x$ steht dann für ein ganz bestimmtes Gewicht: die Lösung der Gleichung.
/
Die
Lösungsmenge einer Gleichung ist die Menge
aller Zahlen, mit denen die beiden Terme einer Gleichung
gleichwertig werden.
Oft gibt es nur
eine Zahl als Lösung. Dann kannst du die Lösung der Gleichung so angeben:
- $4x=8$
$\align[4:c]{\Leftrightarrow}x=2$
Das liest du so: //"4 x ist gleich 8
genau dann, wenn x ist gleich 2."
Der Doppelpfeil $\Leftrightarrow$ steht also für "genau dann, wenn".
Manchmal wird der Doppelpfeil auch weggelassen.
/
Die Terme einer Gleichung können beliebig komplex sein:
$\align[6:r]{4x+3}=19$ $\align[6:r]{3x+5x}=24$ $\align[6:r]{20}=(y+2)\cdot 5$
Die Variable kann auch in beiden Termen vorkommen: $\align[6:r]{4x+3}=2x+7$ $\align[6:r]{a}=4a$
/
Hier die Lösungen unserer Beispiele. Rechne nach!
$4x+3=19$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{x}\align[7]{=4}$ Lies: "4 x plus 3 ist gleich 19 genau dann, wenn x ist gleich 4."
$\ $ $3x+5x=24$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{x}\align[7]{=3}$ Lies: "3 x plus 5 x ist gleich 24 genau dann, wenn x ist gleich 3."
$\ $ $20=(y+2)\cdot 5$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{y}\align[7]{=2}$
$\ $ $4x+3=2x+7$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{x}\align[7]{=2}$
$\ $ $a=4a$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{a}\align[7]{=0}$
Es gibt auch
Gleichungen, die
keine Lösung haben. Zum Beispiel:
- $\align[3:r]{x}=x+2$
- $\align[3:r]{3}=0\cdot x$
- $\align[3:r]{a^2}=-4$
Es gibt keine Zahl anstelle der Variablen, mit der die beiden Terme der Gleichungen gleichwertig werden. Probier's aus!
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