Was ist eine Gleichung?

Hier lernst du:

Ähnliche Lernthemen:

  • Einfache Gleichungen lösen
  • Äquivalenz von Gleichungen
  • Was ist ein Term?
  • Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)?
  • Was ist eine Gleichung?

    Hier lernst du: was eine Gleichung ist, was Gleichungen mit Variablen zu tun haben und was die Lösungsmenge einer Gleichung ist. Hier lernst du, was eine Gleichung ist. Variable, Lösungsmenge.

    Beschreibung: Hier lernst du, was eine Gleichung ist. Variable, Lösungsmenge.

    Was ist eine Gleichung?


    Um den Balkon zu schmücken, kauft Nadja auf dem Markt 4 Töpfe mit Geranien. Sie zahlt insgesamt 8 Euro.
    Wie viel kostet ein Topf mit Geranien?

    Hier lernst du:



    Die Antwort auf die Eingangsfrage fällt dir sicher ganz leicht:
    Wenn 4 Töpfe mit Geranien 8 Euro kosten, dann kostet ein Topf mit Geranien 2 Euro.
    /

    Wie lässt sich die Eingangsfrage "mathematisch" beschreiben ("modellieren")? Sei $x$ der Preis für einen Topf Geranien (in Euro). Es gilt:
    $4x=8$
    Wie viel ist $x$?

    Den Ausdruck
    $4x=8$
    nennt man eine Gleichung.
    /

    Eine Gleichung sind zwei Terme, die mit einem Gleichheitszeichen verbunden sind.
    Das Gleichheitszeichen sagt aus, dass die beiden Terme gleichwertig sind.

    $\align[5:r]{3+4}=2+5$ $\align[5:r]{0\cdot14}=0$ $\align[5:r]{4x}=8$ $\align[5:r]{x+4}=2x$



    Eine Gleichung sieht also aus wie eine Termumformung.
    Im Prinzip lässt sich also der rechte Term einer Gleichung aus dem linken Term der Gleichung per Termumformung herleiten.

    "Äh, Moment! Bei der Gleichung $4x=8$ enthält der linke Term eine Variable und kann also damit ganz verschiedene Werte annehmen! Wie kann der Term dann gleichwertig mit 8 sein?"
    Richtig beobachtet!
    Denn mit $x=1$ ist erhält der linke Term den Wert 4, der Wert des rechten Terms bleibt aber 8. Doch 4 und 8 sind ganz bestimmt nicht gleichwertig!

    Bei einer Gleichung sind die beiden Terme nicht immer für jeden Wert anstelle der Variablen gleichwertig, sondern nur für manche Werte.

    Ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Termen mit einer Variablen kann Unterschiedliches kennzeichnen:

    Termumformung: $2x+4=2(x+2)$ Terme sind gleichwertig für alle Zahlen anstelle des $x$ (Gleichung: $4x=8$ Terme sind gleichwertig nur für $x=2$.



    Eine Gleichung mit einer Variablen kannst du dir als Rätsel vorstellen:
    "Mit welchen Werten anstelle der Variablen werden die beiden Terme gleichwertig?"

    Alle Zahlen, mit denen die beiden Terme gleichwertig sind, sind Lösungen der Gleichung.
    /

    Eine Gleichung kannst du dir auch gut mit einer Balkenwaage veranschaulichen:

    Wenn die "Terme" auf beiden Waagschalen gleich viel wiegen (= gleichwertig sind), ist die Waage im Gleichgewicht. Das $x$ steht dann für ein ganz bestimmtes Gewicht: die Lösung der Gleichung.


    /

    Die Lösungsmenge einer Gleichung ist die Menge aller Zahlen, mit denen die beiden Terme einer Gleichung gleichwertig werden.
    Oft gibt es nur eine Zahl als Lösung. Dann kannst du die Lösung der Gleichung so angeben:
    Das liest du so: //"4 x ist gleich 8 genau dann, wenn x ist gleich 2." Der Doppelpfeil $\Leftrightarrow$ steht also für "genau dann, wenn".

    Manchmal wird der Doppelpfeil auch weggelassen.
    /

    Die Terme einer Gleichung können beliebig komplex sein:

    $\align[6:r]{4x+3}=19$ $\align[6:r]{3x+5x}=24$ $\align[6:r]{20}=(y+2)\cdot 5$
    Die Variable kann auch in beiden Termen vorkommen: $\align[6:r]{4x+3}=2x+7$ $\align[6:r]{a}=4a$


    /

    Hier die Lösungen unserer Beispiele. Rechne nach!

    $4x+3=19$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{x}\align[7]{=4}$ Lies: "4 x plus 3 ist gleich 19 genau dann, wenn x ist gleich 4."
    $\ $ $3x+5x=24$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{x}\align[7]{=3}$ Lies: "3 x plus 5 x ist gleich 24 genau dann, wenn x ist gleich 3."
    $\ $ $20=(y+2)\cdot 5$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{y}\align[7]{=2}$
    $\ $ $4x+3=2x+7$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{x}\align[7]{=2}$
    $\ $ $a=4a$ $\align[2]{\Leftrightarrow}\align[4:r]{a}\align[7]{=0}$



    Es gibt auch Gleichungen, die keine Lösung haben. Zum Beispiel: Es gibt keine Zahl anstelle der Variablen, mit der die beiden Terme der Gleichungen gleichwertig werden. Probier's aus!
  • Einfache Gleichungen lösen
  • Äquivalenz von Gleichungen
  • Was ist ein Term?
  • Wann sind Terme mit Variablen gleichwertig (äquivalent)?
  • Impressum,  Kontakt  und Datenschutzerklärung

     

    © 2021 Martin Hoos, Hamburg