Äquivalenz von Gleichungen
Äquivalenzumformung von Gleichungen
Was ist eine Gleichung?
Einfache Gleichungen lösen
Hier lernst du: wie du eine einfache Gleichung mit Ausprobieren und mit Umkehroperationen löst. Hier lernst du, wie du eine einfache Gleichung mit Ausprobieren und mit Umkehroperationen löst.
Beschreibung: Hier lernst du, wie du eine einfache Gleichung mit Ausprobieren und mit Umkehroperationen löst.
Einfache Gleichungen lösen
Sascha leiht sich einen E-Scooter aus. Die Ausleihgebühr beträgt 1 Euro, dazu fallen pro Minute noch 25 Cent Gebühren an. Nach dem Ende der Fahrt zeigt die Handy-App die Gesamtkosten an: 3 Euro.
Wie viele Minuten ist Sascha mit dem E-Scooter gefahren?
Hier lernst du:
- wie du eine einfache Gleichung mit Ausprobieren und
- mit Umkehroperationen löst.
Um eine Aufgabe zu lösen, musst du sie erst in "Mathematiksprache" übersetzen ("
modellieren"). Unsere Ausgangssituation kannst du so modellieren:
Die
Unbekannte, nach der gefragt wird, ist die
Länge der Ausleihzeit in Minuten. Nennen wir diese Unbekannte $x$.
Die
Gesamtkosten für die Benutzung des E-Scooters setzen sich aus der
Ausleihgebür von 1 Euro und einem
Minutenpreis von $0,25$ Euro zusammen. Die Gesamtkosten für Saschas Fahrt betragen 3 Euro.
Die Aufgabenstellung entspricht damit der
Gleichung$\tab 1+0,25x=3$.
Die Frage ist also: Welcher Wert für die Variable $x$ löst die Gleichung
$\tab 1+0,25x=3$?
/
Um diesen Wert (oder diese Werte) zu finden, kannst du verschiedene Werte ausprobieren, zum Beispiel mithilfe einer Tabelle:
| x | $1+0,25x$ |
| 1 | $1,25$ |
| 2 | $1,50$ |
| 3 | $1,75$ |
| 4 | $2,00$ |
| 5 | $2,25$ |
| 6 | $2,50$ |
| 7 | $2,75$ |
| 8 | $3,00$ |
| 9 | $3,25$ |
| 10 | $3,50$ |
/Du siehst:
$\tab x=8$
löst die Gleichung
$\tab 1+0,25x=3$.
Weil es keine andere Lösung der Gleichung gibt (probier's aus!), gilt
$\tab 1+0,25x=3$
$\tab\Leftrightarrow\tab x=8$
(Lies: "1 plus $0,25x$ ist gleich 3
genau dann, wenn $x$ ist gleich 8.")
/Die Lösung ist also:
"Sascha hatte den E-Scooter 8 Minuten lang ausgeliehen."
Am nächsten Tag leiht sich Sascha einen E-Scooter bei einem anderen Anbieter.
Die Ausleihgebühr beträgt
$1,20$ Euro und der Minutenpreis 18 Cent, sekundengenau berechnet. Am Ende der Fahrt bezahlt Sascha
$3,09$ Euro.
Die Situation kannst du mit der Gleichung
$\tab 1,20+0,18x=3,09$
modellieren.
/
Probieren wir wieder einige Werte für $x$ aus:
| x | $1,20+0,18x$ |
| 5 | $2,10$ |
| 6 | $2,28$ |
| 7 | $2,46$ |
| 8 | $2,64$ |
| 9 | $2,82$ |
| 10 | $3,00$ |
| 11 | $3,18$ |
| 12 | $3,36$ |
/Hm, mit keinem der Werte für $x$ ist der linke Term $1,20+0,18x$ gleichwertig mit dem rechten Term $3,09$.
Du kannst jetzt natürlich noch ganz viele weitere Werte ausprobieren und so irgendwann die richtige Lösung finden.
Geht es aber auch systematischer und damit schneller?
/
Ja, das geht! Sogar ganz einfach:
- Ziehe zuerst die Ausleihgebühr von den Gesamtkosten ab:
$\tab 3,09-1,20=1,89$ - Teile den Restbetrag durch den Minutenpreis (verwende einen Taschenrechner):
$\tab 1,89:0,18=10,5$
/"Sascha hatte den E-Scooter also 10 und eine halbe Minute ausgeliehen."
/
Das Verfahren können wir auch allgemeiner formulieren:
Seien $a$, $b$ und $c$ beliebige Zahlen. Eine
Gleichung der Form
$\tab ax+b=c$
kannst du mit
zwei Umkehroperationen lösen:
- Subtrahiere $b$ von $c$
(= Umkehroperation von "Addition von $b$") - Teile das Ergebnis durch $a$
(= Umkehroperation von "Multiplikation mit $a$")
Du kannst die
Lösung der Gleichung
$\tab ax+b=c$
auch
in einem einzigen Schritt mit folgender Gleichung ausrechnen:
$\tab x=(c-b):a$
oder
$\tab x=\frac{c-b}{a}$
$\align[6:r]{3x+4}=6$ $\align[6:r]{3x+4}\align[11]{=6}$| per Subtraktion und Division $\align[3:r]{\Leftrightarrow}\align[3:r]{x}=\frac{6-4}{3}$ $\align[6:r]{}=\frac{2}{3}$
$\,$ $\align[17]{500x+750=1000}$ $\align[17]{500x+750=1000}$| per Subtraktion und Division $\align[3:r]{\Leftrightarrow}\align[3:r]{x}=\frac{1000-750}{500}$ $\align[6:r]{}=\frac{250}{500}$ $\align[6:r]{}\align[11]{=\frac{250}{500}}$| kürzen durch 250 $\align[6:r]{}=\frac{1}{2}$
Hast du bemerkt, dass der Doppelpfeil $\Leftrightarrow$ in jedem Beispiel nur nach der ersten Zeile vorkommt? Die weiteren Zeilen sind Termumformungen.
Wenn die Gleichung eine
Subtraktion oder eine
Division enthält, musst du als Umkehroperation die
Addition bzw. die
Multiplikation anwenden:
$\align[6:r]{3x-4}=6$ $\align[6:r]{3x-4}\align[11]{=6}$| per Addition und Division $\align[3:r]{\Leftrightarrow}\align[3:r]{x}=\frac{6+4}{3}$ $\align[6:r]{}=\frac{10}{3}$
$\,$ $\align[6:r]{\frac{x}{3}+2}=5$ $\align[6:r]{\frac{x}{3}+2}\align[11]{=5}$| per Subtraktion und Multiplikation $\align[3:r]{\Leftrightarrow}\align[3:r]{x}=(5-2)\cdot 3$ $\align[6:r]{}=3\cdot 3$ $\align[6:r]{}=9$
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